Question:৭.যদি `a : b = b : c` হয়, তবে প্রমাণ কর যে, (i). `a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` (ii). `a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3` (iii). `(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1` (iv). `a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`
Answer সমাধান: (i).ধরি, `a/b = b/c = k` `:. b = ck` `a = bk = ck.k = ck^2` বামপক্ষ `= a/c` `= (ck^2)/c` `= k^2` ডানপক্ষ `= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` `= ((ck^2)^2 + (ck)^2)/((ck)^2 + c^2)` `= (c^2k^4 + c^2k^2)/(c^2k^2 + c^2)` `= (c^2k^2(k^2 + 1))/(c^2(k^2 + 1))` `=k^2` `:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত )বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে, `a : b = b : c` বা,`a/b = b/c` বা, `a^2/b^2 = b^2/c^2` [ উভয়পক্ষকে বর্গ করে ] বা, `(a^2 + b^2)/b^2 = (b^2 + c^2)/c^2` [ যোজন করে ] বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = b^2/c^2` [ একান্তরকরণ করে ] বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (ac)/c^2` [ `:. a/b = b/c :. ac = b^2` ] বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = a/c` `:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত ) (ii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` বা, `a/b = b/c` `:. b^2 = ac` বামপক্ষ `= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)` `= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3` `= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c` `= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c` `= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c` [ `:.`মান বসিয়ে ] `= c^3 + b^4/b + a^3` `= c^3 + b^3 + a^3` `= a^3 + b^3 + c^3` `=`ডানপক্ষ `:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`( প্রমাণিত ) (iii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c` মনে করি, `a/b = b/c = k` `:. b=ck` এবং `a=bk=ck.k=ck^2` বামপক্ষ `= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)` `= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)` `= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)` `= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)` `= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)` `= 1` `=`ডানপক্ষ `:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1` ( প্রমাণিত ) (iv).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c` মনে করি, `a/b = b/c = k` `:. b = ck` ` a = bk = ck.k = ck^2` প্রথম রাশি `= a - 2b + c` `= ck^2 - 2ck + c` `= c(k^2 - 2k + 1)` `= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}` `= c(k - 1)^2` দ্বিতীয় রাশি `= ((a - b)^2)/a` `= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)` `=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)` `= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)` `= c((k - 1)^2` তৃতীয় রাশি `= ((b - c)^2)/c` `= ((ck - c)^2)/c` `= ({c(k - 1)}^2)/c` `= (c^2(k - 1)^2)/c` `= c(k - 1)^2` `:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c` ( প্রমাণিত )
+ Report
Total Preview: 1959
৭.jodi `a : b = b : c` hoyo, tobe proman kar je, (i). `a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` (ii). `a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3` (iii). `(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1` (iv). `a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`