Question:নিচের বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা কি বোঝায় ? 

 (i) 9x

 (ii) 5x + 3

 (iii) 3a + 4b

 (iv) `3a xx b xx 4c`

 (v)`(4x + 5y)/2`

 (vi) `(7x - 3y)/4`

 (vii) `x/3 + y/2 - z/5`

 (viii) `2x - 5y + 7z`

 (ix) `2/3 (x + y + z)`

 (x)`(ac - bx)/7` 

(i)  সমাধান : 9x হচ্ছে  `9 xx xx`বা `xx xx 9`অথাৎ x এর 9 গুণ ।


                 (ii)  সমাধান : 5x + 3 হচ্ছে  x এর  5 গুনের সাথে 3 যোগ ।


                 (iii) সমাধান : 3a + 4b হচ্ছে  a এর  3 গুনের সাথে b এর 4 গুনের যোগ ।


                 (iv) সমাধান :`3a xx b xx 4c` হচ্ছে  a এর  3 গুণ  b এবং c এর  4 গুনের গুণফল ।


                 (v) সমাধান :`(4x + 5y)/2` হচ্ছে  x এর  4 গুণ এবং y এর 5 গুণের সমষ্টির অর্ধেক ।


                (vi) সমাধান :`(7x - 3y)/4` হচ্ছে  x এর 7 গুণ থেকে y এর 3 গুণ বিয়োগফলের এক

                              চতুথাংশ ।


                (vii) সমাধান :`x/3 + y/2 - x/5` হচ্ছে  x কে 3 দ্বারা এবং y কে  2 দ্বারা ভাগ করে 

                                প্রাপ্ত ভাগফলের সমষ্টি থেকে z কে 5 দ্বারা ভাগ করে বিয়োগ ।


                (viii) সমাধান :`2x - 5y + 7z` হচ্ছে x এর দ্বিগুণ থেকে y এর 5 গুণ বিয়োগ করে 


                       প্রাপ্ত বিয়োগফলের সাথে z এর 7 গুণ যোগ ।


               (ix) সমাধান :`2/3 (x + y + z)`হচ্ছে x, y এবং z এর সমষ্টি দুই তৃতীয়াংশ ।


               (x) সমাধান :`(ac - bx)/7` হচ্ছে a ও c এর গুণফল থেকে b ও x 

                   এর গুণফলের বিয়োগফলের এক-সপ্তমাংশ ।

Question:2.   +, -, xx, -:` সাহায্যে লেখ : 

(i) x এর চারগুনের সাথে y এর পাচগুণ যোগ

(ii) a এর দ্বিগুণ থেকে b বিয়োগ 

(iii) একটি সংখ্যার তিনগুনের সাথে অপর একটি সংখ্যার দ্বিগুণ যোগ

(iv) একটি সংখ্যার চারগুণ থেকে অপর একটি সংখ্যার তিনগুণ বিয়োগ

(v) a থেকে b এর বিয়োগফলকে a ও b এর যোগফল দ্বারা ভাগ

(vi) x কে y দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের সাথে যোগ 

(vii) 2 কে x দ্বারা 5 কে  y দ্বারা  3 কে z দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফলগুলোর যোগ

(viii) a কে b দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের সাথে 3 যোগ

(ix) p কে q দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলের সাথে r যোগ

(x) x কে y দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফল থেকে 7 বিয়োগ। 

(i) x এর চারগুনের সাথে y এর পাচগুণ যোগ


(i) সমাধান : x এর 4 গুণ হলো 4x

              এবং y এর 5 গুণ হলো 5y 

              নির্ণেয় যোগ = 4x + 5y

(ii)  সমাধান : a এর দ্বিগুণ হলো 2a

                নির্ণেয় বিয়োগ = 2a - b

(iii) সমাধান : মনে করি , একটি সংখ্যা x যার তিনগুণ হলো 3x

                এবং অপর একটি সংখ্যা y যার তিনগুণ হলো 2y

                নির্ণেয় বিয়োগ = 3x + 2y

(iv) সমাধান: মনে করি, একটি সংখ্যা x যার চারগুণ হলো 4x

               এবং অপর একটি সংখ্যা y যার তিনগুণ হলো 3y

               নির্ণেয় বিয়োগ = 4x - 3y 

(v) সমাধান: a থেকে b এর বিয়োগফল হলো a - b

               এবং a ও b এর যোগফল হলো a + b

            নির্ণেয় ভাগফল `= (a - b)/(a + b)`

(vi)  সমাধান: x কে y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হলো `x/y`

               নির্ণেয় যোগ `= x/y + 5`

(vii) সমাধান: 2 কে x দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হলো `2/x`

                এবং 5 কে  y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হলো `5/y`

                এবং 3 কে z দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হলো `3/z`

              নির্ণেয় যোগ `= 2/x + 5/y + 3/z`

(viii) সমাধান: a কে b দ্বারা ভাগ করলে প্রাপ্ত ভাগফল হলো `a/b`

                নির্ণেয় যোগ `= a/b + 3`

(ix)  সমাধান:  p কে q দ্বারা গুণ করলে গুণফল হলো pq

               নির্ণেয় যোগ = pq + r

(x) সমাধান: x কে y দ্বারা গুণ করলে গুণফল হলো xy

             নির্ণেয় বিয়োগ = xy - 7

Question:সরল কর : 

 (i) `x^3 xx x^7`

 (ii) `a^3 xx a xx a^5`

 (iii) `x^4 xx x^2 xx x^9`

 (iv) `m xx m^2 xx n^3 xx m^3 xx n^7`

 (v) `3a xx 4b xx 2a xx 5c xx 3b`

 (vi) `2x^2 xx y^2 xx 2z^2 xx 3y^2 xx 4x^2` 

সমাধান : `x^3 xx x^7`

            `= (x xx x xx x) xx (x xx x xx x xx x xx x xx x xx x)`

           `= x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x`

          `= x^10`

          বিকল্প পদ্ধতি ;

          `x^3 xx x^7`

         `= x^3+7; [:. a^m xx a^n = a^m+n]`

         `= x^10`

     (ii) সমাধান : `a^3 xx a xx a^5`

                  `= (a xx a xx a) xx a xx (a xx a xx a xx a xx a)`

                 `= a xx a xx a xx a xx a xx a xx a xx a`

                 `= a^9`

                 বিকল্প পদ্ধতি ;

                `a^3 xx a xx a^5`

                `= a^3+1 xx a^5 ;[:. a^m xx a^n = a^m+n]`

                `= a^4 xx a^5`

                `= a^4+5`
 
                `= a^9`

             (iii)  সমাধান : `x^4 xx x^2 xx x^9`

                     `= (x xx x xx x xx x) xx (x xx x) xx (x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x)`

                     `= (x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x)`

                     `= x^15`

                     বিকল্প পদ্ধতি ;

                    `x^4 xx x^2 xx x^9`

                   `= x^4+2 xx x^9 [:. a^m xx a^n = a^m+n]`

                   `= x^6 xx x^9`

                   `= x^6+9`

                   `= x^15`

             (iv)  সমাধান : `m xx m^2 xx n^2 xx m^3 xx n^7`

                 `= (m xx m^2 xx m^3) xx (n^3 xx n^7)`

                 `= (m^2+1 xx m^3) xx (n^3+7); [:. a^m xx a^n = a^m+n]`

                 `= (m^3 xx m^3) xx n^10`

                `= m^3+3 xx n^10; [:. a^m xx a^n = a^m+n]`

                `= m^6 xx n^10`

                `= m^6 n^10`


           (v) সমাধান: `3a xx 4b xx 2a xx 5c xx 3b`

                      `= (3a xx 2a) xx (4b xx 3b) xx 5c`

                      `= (3 xx 2 xx a xx a) xx (4 xx 3 xx b xx b) xx 5c`

                      `= (6 xx a^1+1) xx (12 xx b^1+1) xx 5c`

                     `= 6a^2 xx 12b^2 xx 5c`

                     `= (6 xx 12 xx 5) a^2 b^2 c`

                    `= 360 a^2 b^2 c`

           (vi)   সমাধান : `2x^2 xx y^2 xx 2z^2 xx 3y^2 xx 4x^2`

                       `= (2x^2 xx 4x^2) xx (y^2 xx 3y^2) xx 2z^2`

                      `= (2 xx 4 xx x^2 xx x^2) xx (3 xx y^2 xx y^2) xx 2z^2`

                      `= (2 xx 4 xx x^2+2) xx (3 xx y^2+2) xx 2z^2`

                      `= 8x^4 xx 3y^4 xx 2z^2`

                      `= (8 xx 3 xx 2) x^4 y^4 z^4`

                     `= 48 x^4 y^4 z^4`

Question:a = 2, b = 3, c = 1 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর : 

 (i) `a^3 + b^3`

 (ii)  `b^3 + c^3`

 (iii)  `a^2 - b^2 + c^2`

 (iv)  `b^2 - 2ab + a^2`

 (v) `a^2 - 2ac + c^2` 

(i) সমাধান : দেওয়া আছে,`a = 2 ও b = 3`

                প্রদত্ত রাশি   `= a^3 + b^2`

                           `= (2)^3 + (3)^2; `[ a ও b এর মাস বসিয়ে]

                           `= (2 xx 2 xx 2) + (3 xx 3)`

                           `= 8 + 9`

                            `= 17`



 (ii) দেওয়া আছে, b = 3 c = 1

       প্রদত্ত রাশি `= b^3 + c^3`

                  `= (3)^3 + (1)^3 ;` [b ও c এর মাস বসিয়ে ]

                  `= (3 xx 3 xx 3) + (1 xx 1 xx 1)`

                  `= 27 + 1`

                  `= 28`


(iii)   দেওয়া আছে, `a = 2, b = 3 c = 1`

       প্রদত্ত রাশি`= a^2 - b^2 + c^2`

                 `= (2)^2 - (3)^2 + (1)^2 ;`[a, b ও c এর মান বসিয়ে ]

                 `= (2 xx 2) - (3 xx 3) + (1 xx 1)`

                 `= 4 - 9 + 1`

                `= (4 + 1) - 9`

                 `= 5 - 9`

                 `= -4`


(iv) দেওয়া আছে, a = 2 b = 3

          প্রদত্ত রাশি`= b^2 - 2ab + a^2`

                    `= (3)^2 - 2 xx 2 xx 3 +(2)^2 ;`[a ও b এর মান বসিয়ে]

                    `= (3 xx 3) - 12 + (2 xx 2)`

                   `= 9 - 12 + 4`

                   `= (9 + 4) - 12`

                   `= 13 - 12`

                    `= 1`


(v)  দেওয়া আছে, `a = 2 c = 1`

      প্রদত্ত রাশি`= a^2 - 2ac + c^2`

                `= (2)^2 - 2 xx 2 xx 1 + (1)^2 ;`[a ও b এর মান বসিয়ে]

               `= (2 xx 2) - 4 + (1 + 1)`

               `= 4 - 4 + 1`

               `= (4 + 1) - 4`

              `= 5 - 4`

              `= 1`

Question:x = 3, y = 5, z = 2 হলে, দেখাও যে,  

 (i) `y^2 - x^2 = (x + y) (y - x)`

 (ii) `(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy`

 (iii) `(y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2`

 (iv) `(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2` 

(i) সমাধান : দেওয়া আছে, `x = 3, y = 5`

            দেখাতে হবে যে, `= y^2 - x^2 = (x + y) (y - x)`

                   বামপক্ষ   `= y^2 - x^2`

                              `= (5)^2 - (3)^2 ;`[x y]

                              `= (5 xx 5) - (3 xx 3)`

                              `= 25 - 9`

                              `= 16`


           ডানপক্ষ`= (x + y) (y - x)`

                   `= (3 + 5) (5 - 3) ;`[x y]

                   `= 8 xx 2`

                   `= 16`

                `:. y^2 - x^2 = (x + y)(x - x)`(দেখানো হলো)

(ii) দেওয়া আছে,`x = 3, y = 5`

  দেখাতে হবে যে,`(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy`

          বামপক্ষ`= (x + y)^2`

                  `= (3 + 5)^2 ;` [x y]

                  `= (8)^2 = 8 xx 8 = 64`

                 

          ডানপক্ষ `= (x - y) + 4xy`

                  `= (3 - 5)^2 + 4 xx 3 xx 5 ;`[x ও y এর মান বসিয়ে ]

                  `= (-2)^2 + 60`

                  `= (-2) xx (- 2) + 60`

                  `= 4 + 60 = 64`

            `:. (x + y)^2 = (x - y) + 4xy`( দেখানো হলো )


(iii) সমাধান : দেওয়া আছে, `y = 5, z = 2`

    দেখাতে হবে যে,`(y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2`
   
                           বামপক্ষ`= (y + z)^2`

                                   `= (5 + 2)^2 ;` [y z]

                                   `= (7)^2 = 7 xx 7 = 49`



                            ডানপক্ষ`= y^2 + 2yz + z^2`

                                     `= (5)^2 + 2 xx 5 xx 2 + (2)^2`[y ও z এর মান বসিয়ে]

                                     `= (5 xx 5) + 20 + (2 xx 2)`
   
                                     `= 25 + 20 + 4 = 49`

                                   `:. (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2`(দখানো হলো)


(iv) সমাধান : দেওয়া আছে, `x = 3, z = 2`

   দেখাতে হবে যে,`(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2`
 
                          বামপক্ষ`= (x + z)^2`

                                  `= (3 + 2)^2 ;`[x z]

                                  `= (5)^2`

                                  `= 5 xx 5`

                                 `= 25`

                         ডানপক্ষ`= x^2 + 2xz + z^2`

                                 `= (3)^2 + 2 xx 3 xx 2 + (2)^2`[x z]

                                 `= (3 xx 3) + 12 + (2 xx 2)`

                                 `= 9 + 12 + 4`

                                 `= 25`

               `:. (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2`(দেখানো হলো)

Question:(i) `a^4 + 2ab + b^4`

(ii) `(x + y)^2, (x - y)^2 + 4xy`

 ক. সূচক ও ভিত্তি বলতে কি বুঝায় ?                                              ২

 খ. a = 2 এবং b = 3 হলে (i) এর মান নির্ণয় কর ।                            ৪

 গ. x = 5, y = 3 হলে, দেখাও যে, (ii) এর দুইটি রাশির মান সমান ।          ৪ 

ক.  সূচক ও ‍ভিত্তি : কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, 

            সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয় ।

            যেমন `- 8 = 2 xx 2 xx 2 = 2^3` এখানে 2 গুণ আকারে আছে 3 বার ।

          `8 = 2^3->`সূচক   [:. 2এর সূচক 3 এবং ভিত্তি 2]
         
           `darr`ভিত্তি



      খ. দেওয়া আছে,a = 2 এবং b = 3

 `:. a^4 + 2ab + b^4 = 2^4 + 2 xx 2 xx 3 + 3^4`[মান বসিয়ে]

                             `= (2 xx 2 xx 2 xx 2) + (2 xx 2 xx 3) + (3 xx 3 xx 3 xx 3)`

                             `= 16 + 12 + 81 = 109`

গ. দেওয়া আছে, `x = 5, y = 3`

  (ii) নং এর ১ম রাশি `= (x + y)^2 `

                   `= (5 + 3)^2`

                   `= 8^2 = 8 xx 8 `

                   `= 64`

  এবং ২য় রাশি`= (x - y)^2 + 4xy`

                  `= (5 - 3)^2 + 4 xx 5 xx 3`[মান বসিয়ে]

                  `= 2^2 + 60`

                   `= 2 xx 2 + 60`

                   `= 4 + 60 = 64`

:. x = 5, y = 3 হলে, (ii) এর রাশি দুটির মান সমান ।

Question:`4a xx 4b xx 3a xx 5c xx 3b`একটি বীজগণিতীয় রাশি । 

 ক.  `3a xx 4a এ a `এর সূচক নির্ণয় কর ।                 2

 খ. রাশিটির সরল মান বের কর ।                                 4

 গ. খ হতে প্রাপ্ত ফলাফলে a = 2, b = 3, c = 1 বসিয়ে মান নির্ণয় কর ।            4 

ক. এখানে, `3a xx 4a = 3 xx a xx 4 xx a`

                        `= 3 xx 4 xx a xx a`

                       `= 12 xx a^2`


                        :. a এর সূচক 2

খ.  `4a xx 4b xx 3a xx 5c xx 3b`

    `= 4 xx a xx 4 xx b xx 3 xx a xx 5 xx c xx 3 xx b`

    `= 4 xx 4 xx 3 xx 5 xx 3 xx a xx a xx b xx b xx c`

    `= 720 xx a^2 xx b^2 xx c`

    `= 720a^2 b^2 c`

গ. দেওয়া আছে, a = 2, b = 3 c = 1

:. ’খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল`= 720a^2 b^2 c`

   `= 720 xx (2)^2 xx (3)^2 xx 1`[মান বসিয়ে]

   `= 720 xx 2 xx 2 xx 3 xx 3 xx 1`

   `= 720 xx 36`

   `= 25920`

Question:`2a xx 3b xx 6a xx 5b` একটি বীজগণিতীয় রাশি ।

 ক. রাশিটির সরল বের কর ।

 খ.  a = 1, b = 2 হলে রাশিটির মান নির্ণয় কর ।

 গ. দেখাও যে a = 2, b = 4 হয় তবে রাশিটির মান থেকে 10800 বেশি হয় । 

ক. প্রদত্ত রাশিটি, `2a xx 3b xx 6a xx 5b`

                `= 2 xx a xx 3 xx b xx 6 xx a xx 5 xx b`

                `= 2 xx 3 xx 6 xx 5 xx a xx a xx b xx b`

                `= 180 xx a^2 xx b^2`

                `= 180a^2 b^2`


খ. দেওয়া আছে, `a = 1,b = 2`

প্রদত্ত রাশিটির সরল মান `= 180a^2 b^2`

                         `= 180 xx (1)^2 xx (2)^2`[মান বসিয়ে]

                         `= 180 xx 1 xx 1 xx 2 xx 2`

                         `= 180 xx 4`

                         `= 720`


গ.  দেওয়া আছে,`a = 2, b = 4`

:. ’খ’ হতে প্রাপ্ত ফলাফল`= 180a^2 b^2`

                         `= 180 xx (2)^2 xx (4)^2`

                         `= 180 xx 2 xx 2 xx 4 xx 4`

                         `= 180 xx 64`

                         `= 11520`


:. ‘গ’ এর ফলাফল - ‘খ’ এর ফলাফল

           `= 11520 - 720`

           `= 10800`

:. খ এর প্রাপ্ত ফলাফল হতে 10800 বেশি ।

Question:`2a xx 2a, 3b xx 3b, 2 xx 2a xx 3b`বীজগাণিতিক রাশি ।

 ক. প্রথম রাশিতে এর ঘাত এবং সাংখ্যিক সহগ নির্ণয় কর ।        ২

 খ. সরল কর ; প্রথম রাশি + দ্বিতীয় রাশি - তৃতীয় রাশি           ৪

 গ. a = 2 এবং b = 1 হলে সরলকৃত রাশির মান নির্ণয় কর ।     ৪ 

ক. প্রথম রাশি `= 2a xx 2a`

               `= (2 xx 2) xx (a xx a)`

               `= 4a^2`

প্রথম রাশিতে a এর ঘাত 2 এবং সাংখ্যিক সহগ 4

খ. প্রথম রাশি + দ্বিতীয় রাশি - তৃতীয় রাশি

  `= 2a xx 2a + 3b xx 3b - 2 xx 2a xx 3b`

 `= 4a^2 + (3 xx 3) (b xx b) - (2 xx 2 xx 3) (a xx b)`

 `= 4a^2 + 9b^2 - 12ab`

:. নির্ণেয় সরল `: 4a^2 + 9b^2 - 12ab`

Question:`(x + y)^3`এবং `x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3`বীজগণিতীয় রাশি ।

 ক.  দ্বিতীয় রাশিটির ক্ষেত্রে  x এর সর্বোচ্চ ঘাত কত ?             ২

 খ. x = 2, y = 1 হলে দ্বিতীয় রাশিটির মান নির্ণয় কর ।          ৪

 গ. `x = 2, y = 1` হয়, তবে দেখাও যে, উপরোক্ত রাশি দুইটির মান একই । 

ক. প্রদত্ত দ্বিতীয় রাশিতে x এর ঘাতসমৃহ হলো :

    3, 2, 1 ও 0

    :. x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3


খ. দেওয়া আছে,

               x = 2 এবং y = 1
 
:. দ্বিতীয় রাশি`= x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3`

              `= (2)^3 + 3 xx (2)^2 xx 1 + 3 xx 2 xx (1)^2 + (1)^3`[মান বসিয়ে]

              `= 2 xx 2 xx 2 + 3 xx 2 xx 2 xx 1 + 3 xx 2 xx 1 xx 1 + 1 xx 1 xx 1`
 
              `= 27`

গ. দেওয়া আছে, x = 2 এবং y = 1

    :. প্রথম রাশি `= (x + y)^3`

                   `= (2 + 1)^3` মান বসিয়ে
  
                   `= (3)^3 = 3 xx 3 xx 3 = 27` 

 এবং দ্বিতীয় রাশি `= x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3`

                  `= 27`

 [’খ’ হতে `(x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3)` এর মান বসিয়ে ]

 :. রাশি দুটির মান সমান ।