Question:`5x^2 + xy + 3y^2, x^2 - 8xy, y^2 - x^2 + 10xy`তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,

 ক. প্রথম রাশির পদসংখ্যা কয়টি এবং কী কী ?

 খ.  রাশি তিনটি যোগ করে । যোগফলের xy এর সহগ কত ?

 গ.  `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy) - (y^2 - x^2 + 10xy)`

     সরল করে এর মান নির্ণয় কর ; যখন x = 2 এবং y = 1 

ক. প্রথম রাশি `5x^2 + xy + 3y^2`

       প্রথম রাশির পদসংখ্যা তিনটি এবং পদগুলো হলো `5x^2, xy` এবং `3y^2`


 খ.   `5x^2 + xy + 3y^2, x^2 - 8xy, y^2 - x^2 + 10xy`রাশি তিনটি যোগ করে 

      `5x^2 + xy + 3y^2`

       `x^2 - 8xy`

    `- x^2 + 10xy + y^2`
      ___________________
      `5x^2 + 3xy + 4y^2`

   :. নির্ণেয় যোগফল `5x^2 + 3xy + 4y^2`

  :. যোগফলের xy  এর সহগ 3


গ. `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy) - (y^2 - x^2 + 10xy)`

      `= 5x^2 + xy + 3y^2 - x^2 + 8xy - y^2 + x^2 - 10xy`

      `= (5x^2 - x^2 + x^2) + (xy + 8xy - 10xy) + (3y^2 - y^2)`

      `= 5x^2 - xy + 2y^2`

      `= 5 xx (2)^2 - 2 xx 1 + 2 xx (1)^2 ;` [x = 2 y = 1 বসিয়ে ]

      `= 5 xx 2 xx 2 - 2 + 2 xx 1 xx 1`

      `= 20 - 2 + 2`

      `= 20`

Question:`4x^2 + xy + 2y^2, x^2 - 6xy, y^2 - x^2 + 4xy` তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে-

 ক.  প্রথম রাশিটির পদসংখ্যা কয়টি ও কি কি ?

 খ.  রাশি তিনটির যোগফল বের কর । যোগফল থেকে xy এর সহগ বের কর ।

 গ. উদ্দীপকের ১ম রাশি থেকে বিয়োগ কর এবং ৩য় রাশির `x^2 xy` এর সহগ নির্ণয় কর । 

ক. প্রথম রাশি = `4x^2 + xy + 2y^2`

     প্রথম রাশির পদসংখ্যা তিনটি এবং পদগুলো হলো `4x^2, xy` এবং`2y^2`


 খ. `4x^2 + xy + 2y^2, x^2 - 6xy, y^2 - x^2 + 4xy` রাশি তিনটির যোগফল

         `4x^2 + xy + 2y^2`

          `x^2 - 6xy`

        `- x^2 + 4xy + y^2`
        ____________________
         `4x^2 - xy + 3y^2`

      :.নির্ণেয় যোগফল `4x^2 - xy + 3y^2`

      এবং যোগফলের xy এর সহগ -1


 গ.  ১ম রাশি - ২য় রাশি `= 4x^2 + xy + 2y^2 - (x^2 - 6xy)`

                          `= 4x^2 + xy + 2y^2 - x^2 + 6xy`

                          `= 4x^2 - x^2 + xy + 6xy + 2y^2`

                          `= 3x^2 + 7xy + 2y^2`


     ৩য় রাশি   `= y^2 - x^2 + 4xy`

                `= y^2 + (-1) x^2 + (+4) xy`

     রাশিটিতে `x^2` এর সহগ  -1  এবং xy  এর সহগ 4

Question:`(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy) - (y^2 - x^2 + 10xy)`

একটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy)`নির্ণয় কর ।               ২

খ.  রাশিটির সরল মান বের কর ।                      ৪

গ.  x = 2, y = 1 হলে রাশিটির মান নির্ণয় কর ।     ৪ 

ক.  `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy)`

      `= 5x^2 + xy + 3y^2 - x^2 + 8xy`

     `= 5x^2 - x^2 + xy + 8xy + 3y^2`

     `= 4x^2 + 9xy + 3y^2`



খ.দেওয়া আছে,

    `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy) - (y^2 - x^2 + 10xy)`

   `= 4x^2 + 9xy + 3y^2 - (y^2 - x^2 + 10xy)`

              [ক হতে `(5x^2 + xy + 3y^2) - (x^2 - 8xy)` এর মান বসিয়ে  ]

   `= 4x^2 + 9xy + 3y^2 - y^2 + x^2 - 10xy`

  `= 4x^2 + x^2 + 9xy - 10xy + 3y^2 - y^2`

  `= 5x^2 - xy + 2y^2`


 গ.  দেওয়া আছে, x = 2, y = 1

    ’খ’ হতে পাই,

   `5x^2 - xy + 2y^2 = 5 xx (2)^2 - 2 xx 1 + 2 xx (1)^2`

                          `= 5 xx 2 xx 2 - 2 xx 1 + 2 xx 1 xx 1`

                          `= 20 - 2 + 2`

                         ` = 22 - 2 = 20`

Question:2a + 4b + 5c, 3a + 2b - 6c, 4a + 3b + 2c,

 5a + 2b + 3c চারটি বীজগুণতীয় রাশি 

ক. ১ম রাশি, ২য় রাশি ও ৩য় রাশির যোগফল নির্ণয় কর ।           ২

খ. ‘ক’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে ৪র্থ রাশিটি বিয়োগ কর ।               ৪

গ. ’খ ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে (2a + 2b + 2c) বিয়োগ কর ।       ৪ 

ক. ১ম রাশি, ২য় রাশি ও ৩য় রাশি সদৃশ পদগুলোকে তাদের চিহৃসহ নিচে সাজিয়ে পাই-


     2a + 4b + 5c

     3a + 2b - 6c

     4a + 3b + 2c
    ____________
     9a + 9b + c

   :. যোগফল = 9a + 8b + c


   খ. ’ক’ হতে প্রাপ্ত ফলাফল = 9a + 8b + c

      ক এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে ৪র্থ রাশিটি বিয়োগ করে,

     9a + 8b + c

     5a + 2b + 3c

      (-) (-) (-)
     ________________
     4a + 6b - 2c

       [এখানে বিয়োজ্যের প্রতিটি চিহৃ পরিবর্তন করে যোগ করা হলো ।]

        4a + 6b - 2c  




গ.  ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল = 4a + 6b - 2c
 
    ’খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে (2a + 2b + 2c) বিয়োগ করে,


      4a + 6b - 2c

      2a + 2b + 2c
 
      (-)  (-)  (-)
     ____________
      2a + 4b - 4c

        [ বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহৃ পরিবর্তন করে যোগ করা হলো । ]

   :. নির্ণেয় বিয়োগফল:  2a + 4b - 4c

Question:যদি x = 5a + 7b + 9c, y = b - 3a - 4c, 

    z = c - 2b + a হয় তবে -

 ক. x +y = কত ?

 খ. ( x + y + z) - 6 (b + c) = কত ?

 গ. x - y + z = কত ? 

ক. দেওয়া আছে,

     x = 5a + 7b + 9c, y = b - 3a - 4c, z = c - 2b + a

      :. x + y = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c

                  = 5a - 3a + 7b + b + 9c - 4c

                  = 2a + 8b + 5c



 খ. x + y + z - 6 (b + c)

         = 2a + 8b + 5c + c - 2b + a - 6 (b + c)

                         [ক হতে x + y এর মান বসিয়ে ]

        = 2a + a + 8b - 2b + 5c + c - 6b - 6c

        = 3a + 6b + 6c - 6b - 6c

        = 3a  


  গ. x - y + z

          = 5a + 7b + 9c - (b - 3a - 4c) + c - 2b + a

          = 5a + 7b + 9c - b + 3a + 4c + c - 2b + a

          = 5a + 3a + a + 7b - b - 2b + 9c + 4c + c

          = 9a + 4b + 14c

Question:`p = a^2 + 3a^2 b^2 + 2b^(y + 2), Q = 2a - b^2, r = a^2 - 2ab`

 ক. x = 1, y = 0 এর জন্য p রাশিটির সর্ব্বোচ ঘাত কত ?

 খ. p - Q + R নির্ণয় কর, যখন x = 1, y = 0

 গ.  a = 2, b = 1 হলে, দেখাও যে, Q + R = Q - R 

ক. p রাশিটি হলো `a^x + 3a^x b^y + 2b^(y + 2)`

  x = 1, y = 0 এর জন্য `p = a^1 + 3a^1 b^o + 2b^(o +2)`

                                 `= a + 3a.1 + 2b^2 ; [:. b^o = 1]`

                                 `= 4a + 2b^2`

                                :. রাশিটির সর্ব্বোচ ঘাত  2


খ. x = 1, y = 0  এর জন্য `p = 4a + 2b^2, Q = 2a - b^2`

                                 `R = a^2 - 2ab`

   সুতরাং p - Q + R

                `= 4a + 2b^2 - (2a - b^2) + a^2 - 2ab`

                `= 4a + 2b^2 - 2a + b^2 + a^2 - 2ab`

              ` = (4a - 2a) + (2b^2 + b^2) + a^2 - 2ab`

              ` = 2a + 3b^2 + a^2 - 2ab`  (Ans)



 গ. a = 2, b = 1 হলে `Q = 2a - b^2 = 2.2 - (1)^2 = 4 -1`

        = 3

            এবং R `= a^2 - 2ab = (2)^2 - 2.1.2 = 4 - 4 = 0`

            সুতরাং Q + R = 3 + 0 = 3

            Q - R = 3 - 0 = 3

            :. Q + R = Q - R

Question:x = 5a + 7b + 9c, y = b - 3a - 4c, z = c - 2b + a.

 ক. z থেকে a - c বিয়োগ কর ।

 খ. দেখাও যে, x + y + z = 3(a + 2b + 2c)

 গ. প্রমান কর যে, (x + y) - (a + 10b + 4c) = z 

ক. দেওয়া আছে, z = c - 2b + a

:. z - (a - c) = c - 2b + a - a + c = 2c - 2b


খ. দেওয়া আছে, x = 5a + 7b + 9c, y = b - 3a - 4c, z = c - 2b + a



 x + y + z = (5a + 7b + 9c) + (b - 3a - 4c) + (c - 2b + a)

               = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a

               = (5a - 3a + a) + (7b + b - 2b) + (9c - 4c + c)

               = 3a + 6b + 6c

               = 3 (a + 2b + 2c)

     :. (x + y + z) = 3 (a + 2b + 2c)



 গ.  (x + y) - (a + 10b + 4c)

        = (5a + 7b + 9c) + (b - 3a - 4c) - (a + 10b + 4c)

        = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c - a - 10b - 4c

        = (5a - a - 3a) + (7b + b - 10b) + (9c - 4c - 4c)

        = a - 2b + c = c - 2b + a = z

        :. (x + y) - (a + 10b + 4c) = z

Question:যদি `a^2 = x^2 + y^2 - z^2, b^2 = y^2 + z^2 - x^2, c^2 = x^2 + z^2 - y^2`

হয় তবে -

ক `a^2 + b^2` = কত ?               ২

খ. `a^2 + b^2 - c^2` = কত ?             ৪

গ. খ এর প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে `(x^2 + z^2)` যোগ কর ।                  ৪ 

ক. দেওয়া আছে, `a^2 = x^2 + y^2 - z^2, b^2 = y^2 + z^2 - x^2`

`:. a^2 + b^2 = x^2 + y^2 - z^2 + y^2 + z^2 - x^2`

                    `= x^2 - x^2 + y^2 + y^2 + z^2 - z^2`

                    `= 0 + 2y^2 + 0 = 2y^2`



খ. প্রদত্ত রাশি `= a^2 + b^2 - c^2`

               `= 2y^2 - (x^2 + z^2 - y^2)`  [`(a^2 + b^2)`]

               `= 2y^2 - x^2 - z^2 + y^2  [:. c^2 = x^2 + z^2 - y^2]`

               `= 3y^2 - x^2 - z^2`

               `= - x^2 + 3y^2 - z^2`



গ. ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল `= - x^2 + 3y^2 - z^2`

    প্রাপ্ত ফলাফল ও `(x^2 + z^2)` রাশির সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে 

    বসিয়ে পাই,

   `- x^ + 3y^2 - z^2`

    `x^2 + 0 + z^2`
   _________________
   `0 + 3y^2 + 0`   [যোগ করে]

:. নির্ণেয় যোগফল `3y^2`

Question:একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম z টাকা হলে,

   ক. 5 টি খাতা 2 টি কলমের মোট দাম কত ?        ২

   খ. 5 টি খাতা 2 টি কলমের মোট দাম থেকে 5 টি পেন্সিলের দাম বাদ দিলে কত হবে 

      বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর ।     ৪

   গ. খ থেকে প্রাপ্ত রাশিতে x = 20, y = 5 এবং z = 5 বসিয়ে মান নির্ণয় কর ।     ৪ 

ক.  দেওয়া আছে, 

     1 টি খাতার দাম x টাকা

     :. 5 ,,    ,,   `(x xx 5)` = 5x টাকা

     1 টি কলমের দাম y টাকা 

     :. 2   ,,     ,,   `(y xx 2)` ,, = 2y টাকা

     :. 5 টি খাতা 2 টি কলমের মোট দাম (5x + 2y) টাকা


    খ. ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত ফলাফল 

       5 টি খাতা 2 টি কলমের মোট দাম (5x + 2y) টাকা

      এবং 1 টি পেন্সিলের দাম z টাকা

      :. 5    ,,     ,,     `(z xx 5) `,, = 5z টাকা ।

      :.5 টি খাতা 2 টি কলমের মোট দাম থেকে 5 টি পেন্সিলের 

       দাম বাদ দিলে হবে = 5x + 2y - 5z 

      :. বীজগণিতীয় রাশি 5x + 2y - 5z

      গ. দেওয়া আছে,  x = 20, y = 5 এবং z = 5 

       ’খ’ থেকে প্রাপ্ত রাশি হয় = (5x + 2y - 5z) টাকা

                              `= 5 xx 20 + 2 xx 5 - 5 xx 5`  [মান বসিয়ে ]

                                = 100 + 10 - 25 = 110 - 25

                                = 85

Question:`a^2, b^2, c^2 ` তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে-

    ক. `a^2` এর দ্বিগুণের সাথে `c^2` এর চার গুণ যোগ কর।                ২

    খ. ক এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে `b^` এর পাচ গুণ বিয়োগ কর।                ৪

    গ. খ থেকে প্রাপ্ত রাশির মধ্যে a = 2, b = 4 c = 5 বসিয়ে মান নির্ণয় কর।   ৪ 

ক. `a^2` এর দ্বিগুণ `= 2a^2`

    `c^2` এর চার গুণ `= 4c^2`

    `:. a^2` এর দ্বিগুণের সাথে `c^2` এর চার গুণের যোগফল 

       ` = 2a^2 + 4c^2` (Ans)


    খ ‘ক’ হতে প্রাপ্ত ফলাফল ` = 2a^2 + 4c^2`

        `b^2`এর পাচগুণ ` = 5b^2`

       ’ক’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে `b^2` এর পাচ গুণ বিয়োগ করলে,

          বিয়োগফল `= 2a^2 + 4c^2 - 5b^2`  (Ans)



      গ.  দেওযা আছে, a = 2, b = 4 এবং c = 5

         ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল

       `= 2a^2 + 4c^2 - 5b^2 = 2 xx (2)^2 + 4 xx (5)^2 - 5 xx (4)^2`

                                 ` = 2 xx 2 xx 2 + 4 xx 5 xx 5 - 5 xx 4 xx 4`

                                    = 8 + 100 - 80 = 108 - 80 = 28  (Ans)