Question:5x, 6y এবং `4z xx 2y xx 2x` তিনটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. `5x xx 6y` নির্ণয় কর এবং xy এর সহগ লেখ । 

খ. `5x xx 6y xx 4z xx 2y xx 2x`এর সরল কর ।

গ.  খ এর প্রাপ্ত ফলাফলে x = 1, y = 2  এবং z = 3 বসিয়ে মান নির্ণয় কর । 

ক. দেওয়া আছে, `5x xx 6y = 5 xx x xx 6 xx y`

                               `= 5 xx 6 xx x xx y = 30xy`

 আবার, `30xy = 30 xx xy`

   :. xy এর সহগ = 30


খ.  `:. 5x xx 6y xx 4z xx 2y xx 2x`

     `= 5 xx x xx 6 xx y xx 4 xx z xx 2 xx y xx 2 xx x` 

   `  = 5 xx 6 xx 4 xx 2 xx 2 xx x xx y xx z xx y xx x`

     `= 30 xx 16 xx x xx x xx y xx y xx z`

     `= 480 xx x^2 xx y^2 xx z`

     `= 480 x^2 y^2 z`


 
 গ. দেওয়া আছে,  x = 1, y = 2 এবং z = 3

  :. ’খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল `= 480 x^2 y^2 z`

                           `= 480 xx (1)^2 xx (2)^2 xx (3)` [মান বসিয়ে ]

                          ` =  480 xx 1 xx 1 xx 2 xx 2 xx 3`

                          ` = 480 xx 12 = 5760`

Question:`2a xx 3b xx 4c xx 4a xx 3b xx 6c xx a xx c`একটি বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. `2a xx 3b xx 4c xx 4a` নির্ণয় কর ।

খ. রাশিটির সরল কর ।

গ. ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে a, b এবং c এর সূচক লেখ । 

ক. `2a xx 3b xx 4c xx 4a`

        `= 2 xx a xx 3 xx b xx 4 xx cxx 4 xx a`

        `= 2 xx 3 xx 4 xx 4 xx a xx b xx c xx a`

        `= 6 xx 16 xx a xx a xx b xx c`

       ` = 96 xx a^2 xx b xx c = 96 a^2 bc`



খ. `2a xx 3b xxx 4c xx 4a xx 3b xx 6c xx a xx c`

      `= 2 xx a xx 3 xx b xx 4 xx c xx 4 xx a xx b xx 6 xx c xx a xx c`

     ` = 2 xx 3 xx 4 xx 4 xx 3 xx 6 xx a xx b xx c xx a xx b xx c xx a xx c`

      `= 24 xx 72 xx a xx a xx a xx b xx b xx c xx c xx c`

      `= 1728 xx a^3 xx b^2 xx c^3`


গ.  ‘খ’ হতে প্রাপ্ত ফলাফল` = 1728 a^3 b^2 c^3`

   `a^3` এর ক্ষেত্রে a এর সূচক  3 

 ` b^2` এর ক্ষেত্রে b এর সূচক  2

  `c^3`  এর ক্ষেত্রে  c এর সূচক  3

    3 ; 2 এবং 3

Question:7x + 5y + 6z, 6x + 3y + 4z, 5x + 4y + 7z তিনটি বীজগণিতীয় রাশি ।

  ক. রাশি তিনটির যোগফল নির্ণয় কর । 

  খ.  ‘ক’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে 2x + 2y + 2z বিয়োগ কর ।

   গ.  ’খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফলে x = 1, y = 2  এবং z = 3 বসিয়ে মান নির্ণয় কর । 

ক.   ১ম রাশি, ২য় রাশি এবং ৩য় রাশি সদৃশ পদগুলোকে তাদের চিহৃসহ 

নিচে নিচে সাজিয়ে পাই,

      7x + 5y + 6z

      6x + 3y + 4z

      5x + 4y + 7z
     _____________
     18x + 12y + 17z

   :. যোগফল = 18x + 12y + 17z


খ. ‘ক’ এর প্রাপ্ত ফলাফল = 18x + 12y + 17z 

   ‘ক’ এর প্রাপ্ত ফলাফল থেকে (2x + 2y + 2z) বিয়োগ করি,


       18x + 12y + 17z

        2x + 2y + 2z

        (-)    (-)   (-)
       __________________
        16x + 10y + 15z

   [এখানে বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহৃ পরিবর্তন করে যোগ করা হলো ।]


      :. বিয়োগফল = 16x + 10y + 15z



গ.  দেওয়া আছে, x = 1, y = 2 z = 3

  :. 'খ' এর প্রাপ্ত ফলাফল  = 16x + 10y + 15z

                           `= 16 xx 1 + 10 xx 2 + 15 xx 3` [মান বসিয়ে]

                             = 16 + 20 + 45 = 81

Question:`5a + 3b - c^2, 4a + 4b + 4c^2, 2a - 8b + 2c^2` তিনটি
  
  বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. ১ম রাশি, ২য় রাশি ও ৩য় রাশির যোগফল বের কর ।              ২

খ. প্রাপ্ত যোগফল থেকে `(- 15a - 10b - 10c^2)` বিয়োগ কর ।        ৪

গ. ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফলে a = 2, b = 3 এবং c = 1 বসিয়ে মান নির্ণয় কর ।       ৪ 

ক. সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই,

       `5a + 3b - c^2`

       `4a + 4b + 4c^2`

       `2a - 8b + 2c^2`
        _______________
        11a - b + 5c^2

  :.  যোগফল `= 11a - b + 5c^2`


খ.  ‘ক’ এর প্রাপ্ত যোগফল `= 11a - b + 5c^2`

 এখন বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহৃ পরিবর্তন করে পাই, 

    `15a + 10b + 10c^2`

এখন প্রাপ্ত যোগফলের রাশির সাথে রুপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,


    `11a - b + 5c^2`

    `15a + 10b + 10c^2`
  _____________________
  `= 26a + 9b + 15c^2`


 :. বিয়োগফল `= 26a + 9b + 15c^2`

 গ. দেওয়া আছে, a = 2, b = 3 এবং c = 1

 ‘খ’ এর প্রাপ্ত ফলাফল 

       `= 26a + 9b + 15c^2`

       `= 26 xx 2 + 9 xx 3 + 15 xx (1)^2`  [মান বসিয়ে]

       `= 52 + 27 + 15 xx 1 xx 1`

       `= 52 + 27 + 15 = 94`

Question:7x + 5y + 6z, 3x + y + 3z  4x + 4y + 3z  তিনটি 

বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. প্রথম রাশিটির x,y ও z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর নির্ণয় কর ।                ২

খ. দেখাও যে, রাশি তিনটির যোগফল প্রথম রাশিটির দ্বিগুণ ।                         ৪

গ. x = 1, y = 3 এবং z = 2 এর জন্য ‘খ’ এর সত্যতা যাচাই কর ।                    ৪ 

ক. প্রথম রাশিটি হলো, 7x + 5y + 6z

 রাশিটিতে x, y ও z  এর সহগ যথাক্রমে 7, 5 ও 6

  :. সাংখ্যিক সহগগুলোর যোগফল (7 + 5 + 6) = 18

    উত্তর = 18



খ. প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি যথাক্রমে 

   7x + 5y + 6z, 3x + y + 3z  এবং 4x + 4y + 3z

     রাশিগুলোর যোগফল  7x + 5y + 6z

                            3x + y + 3z

                            4x + 4y + 3z
                          _____________
                           14x + 10y + 12z

 রাশিটির তিনটির যোগফল  = 14x + 10y + 12z

                              = 2 (7x + 5y + 6z)

                            `= 2 xx` প্রথম রাশি ।

 :. রাশিটি তিনটির যোগফল, প্রথম রাশিটির দ্বিগুণ ।


 গ.  দেওয়া আছে,   x = 1, y = 3 z = 2

  ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত

 রাশিগুলোর যোগফল  14x + 10y + 12z

                     = 14.1 + 10.3 + 12.2  []

                     = 14 + 30 + 24 = 68

  প্রথম রাশি = 7x + 5y + 6z 

             = 7.1 + 5.3 + 6.2

              = 7 + 15 + 12 = 34

:. রাশিগুলোর যোগফল = 68 `= 2 xx 34 = 2 xx ` প্রথম রাশি ।

সুতরাং রাশিগুলোর যোগফল, প্রথম রাশির দ্বিগুণ ।

Question:7x + 5y + 6z, 3x + y + 3z  4x + 4y + 3z  তিনটি 

বীজগণিতীয় রাশি ।

ক. প্রথম রাশিটির x,y ও z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর নির্ণয় কর ।                ২

খ. দেখাও যে, রাশি তিনটির যোগফল প্রথম রাশিটির দ্বিগুণ ।                         ৪

গ. x = 1, y = 3 এবং z = 2 এর জন্য ‘খ’ এর সত্যতা যাচাই কর ।                    ৪ 

ক. প্রথম রাশিটি হলো, 7x + 5y + 6z

 রাশিটিতে x, y ও z  এর সহগ যথাক্রমে 7, 5 ও 6

  :. সাংখ্যিক সহগগুলোর যোগফল (7 + 5 + 6) = 18

    উত্তর = 18



খ. প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি যথাক্রমে 

   7x + 5y + 6z, 3x + y + 3z  এবং 4x + 4y + 3z

     রাশিগুলোর যোগফল  7x + 5y + 6z

                            3x + y + 3z

                            4x + 4y + 3z
                          _____________
                           14x + 10y + 12z

 রাশিটির তিনটির যোগফল  = 14x + 10y + 12z

                              = 2 (7x + 5y + 6z)

                            `= 2 xx` প্রথম রাশি ।

 :. রাশিটি তিনটির যোগফল, প্রথম রাশিটির দ্বিগুণ ।


 গ.  দেওয়া আছে,   x = 1, y = 3 z = 2

  ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত

 রাশিগুলোর যোগফল  14x + 10y + 12z

                     = 14.1 + 10.3 + 12.2  []

                     = 14 + 30 + 24 = 68

  প্রথম রাশি = 7x + 5y + 6z 

             = 7.1 + 5.3 + 6.2

              = 7 + 15 + 12 = 34

:. রাশিগুলোর যোগফল = 68 `= 2 xx 34 = 2 xx ` প্রথম রাশি ।

সুতরাং রাশিগুলোর যোগফল, প্রথম রাশির দ্বিগুণ ।

Question:`x^2 + y^2, x^2 - y^2` `2x^2 + 2y^2 + 3x^2 y^2`তিনটি বীজগণিতীয় রাশি ।

 ক. প্রথম ও ২য় রাশির x ও y এর সহগ ও ঘাত কত ?    ২

খ. প্রথম রাশি থেকে দ্বিতীয় রাশির বিয়োগফল এবং প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির যোগফল নির্ণয় কর ।

গ. রাশি দুইটির যোগফল এবং বিয়োগফলের মান যথাক্রমে 4 এবং 2 হলে তৃতীয় রাশিটির মান নির্ণয় মান কর । 

ক.  প্রথম রাশিতে x ও y এর সহগ 1 এবং ঘাত 2 দ্বিতীয় রাশিতে

    x ও y এর সহগ যথাক্রমে 1 এবং -1 ও ঘাত 2


খ.  প্রথম রাশি ও ‍দ্বিতীয় রাশির যোগফল `x^2 + y^2`

                                          `x^2 - y^2`
                                          __________
                                          `2x^2`

    প্রথম রাশি থেকে দ্বিতীয় রাশির বিয়োগফল,


       `x^2 + y^2`

      `- x^2 + y^2`
      _____________
              `2y^2`           [এখানে দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহৃ পরিবর্তন করে যোগ করা হয়]

   :. নির্ণেয় যোগফল `2x^2` এবং বিয়োগফল `2y^2`



   গ. ‘খ’ হতে 

       রাশি দুইটির যোগফল `2x^2`

       রাশি দুইটির বিয়োগফল `2y^2`

       শর্তমতে, `2x^2 = 4`

       বা, `(2x^2)/2 = 4/2`  [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

     `:. x^2 = 2`

     আবার, `2y^2 = 2`

     বা, `(2y^2)/2 = 2/2`[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে ]

     `:. y^2 1`

     ৩য় রাশিটি,  `2x^2 +2y^2 + 3x^2 y^2`

               = 2.2 + 2.1 + 3.2.1 [মান বসিয়ে]

               = 4 + 2 + 6

               = 12

Question:`2x + 3y :- 4x - 5x xx 8y` রাশিটিতে কয়টি পদ আছে এবং পদগুলো কী কী ? 

`2x + 3y :- 4x - 5x xx 8y` রাশিটিতে 3টি পদ আছে। পদগুলো হলো 

              `2x, 3y :- 4x`এবং `5x xx 8y`

Question:রাশির পদ সংখ্যা নির্ণয় কর :

4. (i) 7xy

   (ii) 2a + b

   (iii) x - 3y + 5z

  (iv)`  5a + 7b xx x - 3c :- y`

  (v)`  x + 5x xx b xx x - 3c :- y`

  (v)`  x + 5x xx b - 3y :- c` 

(i) 7xy রাশিটি একটি একপদী রাশি।

            অর্থাৎ 7xy রাশির পদ সংখ্যা 1টি (Ans)


        (ii) 2a + b রাশিটি একটি দ্বিপদী রাশি। রাশিটিতে 2a, b দুইটি পদ আছে।

              সুতরাং 2a + b রাশির পদ সংখ্যা 2টি।


    (iii)  x - 3y + 5z রাশিটি একটি ত্রিপদী রাশি।

           রাশিটিতে x, 3y এবং 5z তিনটি পদ আছে।

           সুতরাং x - 3y + 5z রাশির পদ সংখ্যা 3


     (iv)` 5a + 7b xx x - 3c :- y` রাশিটি একটি ত্রিপদী রাশি।

           রাশিটিতে `5a, 7b xx x` এবং`3c :- y` তিনটি পদ আছে।

           সুতরাং ` 5a + 7b xx x - 3c :- y`রাশির পদ সংখ্যা 3টি।

      (v)` x + 5x xx b - 3y :- c`রাশিটি একটি ত্রিপদী রাশি।

            রাশিটিতে `x, 5x xx b` এবং `3y :- c` তিনটি পদ আছে।

            সুতরাং `x + 5x xx b - 3y :- c` রাশির পদ সংখ্যা 3টি।

Question:`2x + 3y :- 4x - 5x xx 8y, 3x + 5y`দুইটি বীজগাণিতীক রাশি।

    ক. ২য় রাশির পদগুলো সহগের যোগফল কত ?                  ২

    খ.১ম রাশির এর সহগকে এর সহগ দ্বারা গুণ কর।               ২

    গ. একটি গরুর দাম টাকা এবং একটি ছাগলের দাম টাকা হলে, 

       ২য় রাশি দ্বারা কী বোঝায় ? অনুশীলনী-৪.১                   ৪ 

ক. দেওয়া আছে,

   ২য় রাশি = 3x + 5y

   ২য় রাশি ১ম পদ = 3x `= 3 xx x` :. x এর সহগ 3

   এবং ২য় পদ = 5y `= 5 xx y` এর সহগ 5

   এখন, সহগগুলোর যোগফল = 3 + 5 = 8 (Ans)



খ. দেওয়া আছে,

    ১ম রাশি`= 2x + 3y :- 4x - 5x xx 8y`

           ` = 2x + 3y xx 1/(4x) - 5 xx 8 xx x xx y`

            `= 2x + 3/4 y/x - 40xy`

    এখানে x এর সহগ = 2 এবং xy এর সহগ = -40

   :. সহগদ্বয়ের গুণফল `= 2 xx (- 40) = - 80` (Ans)


গ. 1 টি গুরুর দাম x টাকা

    3 টি    ,,      ,,       ,,`(3 xx x) `,, = 3x  টাকা

    1 টি ছাগলের দাম y টাকা

   :.    5      ,,              ,,  `(5 xx y)` = 5y টাকা

   সুতরাং ২য় রাশি 3x + 5y দ্বারা 3 টি গুরু ও 5 টি ছাগলের দামের যোগফল বোঝায়। (Ans)