Question:`x - 1/x = 3` হলে `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `x - 1/x = 3`

  :. প্রদত্ত রাশি, `= x^2 + 1/x^2`

                    `= (x - 1/x)^2 + 2. x. 1/x`

                    `= (3)^2 + 2`  [মান বসিয়ে]

                    `= 9 + 2`

                  :. নির্ণেয় মান = 11

      উত্তর: 11

Question:‍`a + 1/a = 4` হলে `a^4 + 1/a^4` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `= a^4 + 1/a^4`

  :. প্রদত্ত রাশি `= (a^2)^2 + (1/a^2)^2`

                  `= (a^2 + 1/a^2) - 2. a^2. 1/a^2`

                  `= {(a + 1/a)^2 - 2.a. 1/a}^2 - 2`

                  `= {(4)^2 - 2}^2 - 2` [মান বসিয়ে]

                  `= (16 - 2)^2 - 2`

                  `= (14)^2 - 2`

                  `= 196 - 2`

                    = 194

   :. নির্ণেয় মান = 194

        উত্তর  : 194

Question:m = 6, n = 7  হলে `16(m^2 + n^2)^2 + 56(m^2 + n^2) (3m^2 - 2n^2) `

   `+ 49(3m^2 - 2n^2)^2` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, m = 6 এবং n = 7

  প্রদত্ত রাশি :.` = 16(m^2 + n^2)^2 + 56 (m^2 + n^2) (3m^2 - 2n^2) `

                    `+ 49 (3m^2 - 2n^2)^2`

                   `= {4(m^2 + n^2)}^2 + 2. 4(m^2 + n^2) 7(3m^2 - 2n^2)` 

                       `+ {7 (3m^2 - 2n^2)}^2`

                   `= {4(m^2 + n^2) + 7(3m^2 - 2n^2)}^2`

                   `= (4m^2 + 4n^2 + 21m^2 - 14n^2)^2`

                   `= (25m^2 - 10n^2)^2`

                   `= (25. 6^2 - 10. 7^2)^2` [m = 6 এবং n = 7 বসিয়ে]

                   `= (25. 36 - 10. 49)^2`

                   `= (900 - 490)^2`

                   `= (410)^2`

                     = 168100

        :. নির্ণেয় মান = 168100

            : 168100

Question:`a - 1/a = m` হলে দেখাও যে, `a^4 + 1/a^4 = m^4 + 4m^2 + 2` 

দেওয়া আছে, `a - 1/a = m`

  বামপক্ষ = `a^4 + 1/a^4`

         `= (a^2)^2 + (1/a^2)^2`

         `= (a^2 + 1/a^2) - 2. a^2. 1/a^2`

         `= {(a - 1/a)^2 + 2. a. 1/a}^2 - 2`

          `= (m^2 + 2)^2 - 2`   [মান বসিয়ে]

          `= (m^2)^2 + 2. m^2. 2 + (2)^2 - 2`

          `= m^4 + 4m^2 + 4 - 2`

          `= m^4 + 4m^2 + 2`

            = ডানপক্ষ

   :. `a^4 + 1/a^4 = m^4 + 4m^2 + 2`

Question:`x - 1/x = 4` হলে প্রমাণ কর যে, `x^2 + (1/x)^2 = 18` 

দেওয়া আছে, `x - 1/x = 4`

  এখন বামপক্ষ, `= x^2 + (1/x)^2`

                    `= (x - 1/x)^2 + 2.x. 1/x`

                    `= (4)^2 + 2` [মান বসিয়ে]

                    `= 16 + 2`

                      = 18

                      = ডানপক্ষ

         :. `x^2 + (1/x)^2`

             ` = 18`

Question:`m + 1/m = 2` হলে প্রমাণ কর যে, `m^4 + 1/m^4 = 2` 

দেওয়া আছে, 

       `m + 1/m = 2`

  এখন বামপক্ষ `= m^4 + 1/m^4`

                  `= (m^2)^2 + (1/m^2)^2`

                  `= (m^2 + 1/m^2)^2 - 2. m^2. 1/m^2`

                  `= {(m + 1/m)^2 - 2. m. 1/m}^2 - 2`

                  `= {(2)^2 - 2}^2 - 2`  [মান বসিয়ে]

                  `= (4 - 2)^2 - 2`

                  `= (2)^2 - 2`

                  `= 4 - 2`

                    = 2

                    = ডানপক্ষ

          :. `m^4 + 1/m^4 = 2`

Question:x + y = 12 এবং xy = 27 হলে  `(x - y)^2 x^2 + y^2` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, x + y = 12 এবং xy = 27

  এখন, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

                         `= (12)^2 - 4. 27`  [মান বসিয়ে]

                         `= 144 - 108`

                           = 36

   আবার, `x^2 + y^2 = (x + y) - 2xy`

                              `= (12)^2 - 2. 27`  [মান বসিয়ে]

                              `= 144 - 54`

                                = 90

                       :. নির্ণেয় মান = 36 ও 90

                   উত্তর: 36 ও 90

Question:‍a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে `2a^2 + 2b^2` ও ab এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a + b = 13

        এবং      a - b  = 3

   এখন, `2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)`

                                   = `(a + b)^2 + (a - b)^2`

                                   = `(13)^2 + (3)^2` [মান বসিয়ে]

                                   = 169 + 9

                                   = 178

    আবার, `ab = ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

                  `= ((13)/2)^2 - (3/2)^2`  [মান বসিয়ে]

                  `= (169)/4 - 9/4`

                    = `(169 - 9)/4`

                    = `(160)/4`

                    = 40

       :. নির্ণেয় মান   178 ও 40

             উত্তর: 178 ও 40

Question:দুইটি রাশির  বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ কর:

 ক.(5p - 3q) (p + 7q)

 খ. (6a + 9b) (7b - 8a)

 গ. (3x + 5y) (7x - 5y)

 ঘ. (5x + 13) (5x - 13) 

ক. ‍(5p - 3q) (p + 7q)

আমরা জানি, 
   ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (5p - 3q) (p + 7q)

  `= {((5p - 3q) + (p + 7q))/2}^2 - {((5p - 3q) - (p + 7q))/2}^2`

  `= ((5p - 3q + p + 7q)/2)^2 - ((5p - 3q - p - 7q)/2)^2`

  `= ((6p + 4q)/2)^2 - ((4p - 10q)/2)^2`

  `= {(2(3p + 2q))/2}^2 - {(2(2p - 5q))/2}^2`

  `= (3p + 2q)^2 - (2p - 5q)^2`

  উত্তর: `(3p + 2q)^2 - (2p - 5q)^2`


  খ.(6a + 9b) (7b - 8a) 

আমরা জানি,

    ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

    :. (6a + 9b) (7b - 8a)

    = `{((6a + 9b) + (7b - 8a))/2)^2 - {((6a + 9b) - (7b - 8a))/2}^2`

    = `((6a + 9b + 7b - 8a)/2)^2 - ((6a + 9b - 7b + 8a)/2)^2`

    =` ((16b - 2a)/2)^2 - ((2b + 14a)/2)^2`

    =` {(2(8b - a))/2}^2 - {(2(b + 7a))/2}^2`

    =` (8b - a)^2 - (b + 7a)^2`

     উত্তর: ` (8b - a)^2 - (b + 7a)^2`


 গ. (3x + 5y) (7x - 5y) 

আমরা জানি,

   ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (3x + 5y) (7x - 5y)

   =` {((3x + 5y) + (7x - 5y))/2}^2 - {((3x + 5y) - (7x - 5y))/2}^2`

   =` ((3x + 5y + 7x - 5y)/2)^2 - ((3x + 5y - 7x + 5y)/2)^2`

   =` ((10x)/2)^2 - ((- 4x + 10y)/2)^2`

   =` (5x)^2 - {(- 2 (2x - 5y))/2}^2`

   =` (5x)^2 - (2x - 5y)^2`

   = `(5x)^2 - (2x - 5y)^2`

     উত্তর: `(5x)^2 - (2x - 5y)^2`

  ঘ. (5x + 13) (5x - 13)

আমরা জানি,

   ab = `((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (5x + 13) (5x - 13)

   =` {((5x + 13) + (5x - 13))/2}^2 - {((5x + 13) - (5x - 13))/2}^2`

   =` ((5x + 13 + 5x - 13)/2)^2 - ((5x + 13 - 5x + 13)/2)^2`

   =` ((10x)/2)^2 - ((26)/2)^2`

   = `(5x)^2 - (13)^2`

    উত্তর:  `(5x)^2 - (13)^2`

Question:দুইটি সংখ্যা যেখানে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল এবং গুণফল।

 ক. সূত্রের সাহায্যে গুণ কর: (2x + 3) (2x - 7)

 খ. `2a^2 + 2b^2` এর মান নির্ণয় কর।

 গ. প্রমান কর যে, `(a + 2b)^2 - 5b^2 = 176` 

ক. (2x + 3) (2x - 7)

   = `(2x)^2 + (3 - 7) 2x + 3. (- 7)`

   = `4x^2 + (- 4). 2x - 21`

   =` 4x^2 - 8x - 21`

  :. নির্ণেয় গুণফল =` 4x^2 - 8x - 21`

 
 খ. ‍দেওয়া আছে,

  সংখ্যা দুইটি a b যেখানে a > b

  শর্তমতে, a + b = 12

   এবং ab = 32

  :. প্রদত্ত রাশি =` 2a^2 + 2b^2`

                 = `2(a^2 + b^2)`

                 =` 2{(a + b)^2 - 2ab}`

                 =` 2{(12)^2 - 2.32}`  [মান বসিয়ে]

                 =` 2(144 - 64)`

                 = 2 80

                 = 160

       উত্তর: 160


 গ.  ‘খ’ থেকে পাই,

     a + b = 12 এবং ab = 32

     আমরা জানি,

    `(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab`

                    = `(12)^2 - 4 32`

                    = 144 - 128

                    = 16

  :. a - b = 4 [:. a > b]

  বামপক্ষ`= (a + 2b)^2 - 5b^2`

         `= a^2 + 2.a.2b + (2b)^2 - 5b^2`

         `= a^2 + 4ab + 4b^2 - 5b^2`

         `= a^2 - b^2 + 4ab`

         `= (a + b) (a - b) + 4ab`

          = 12 4 4 32

          =  48 + 128

          = 176

         =  ডানপক্ষ

         :.` (a + 2b)^2 - 5b^2 = 176`  (প্রমাণিত)