Question:সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় কর:

১. ক.3x + y খ. `x^2 + y` গ. 5p + 2q ঘ. `a^2b + o^2d`

   ঙ. 6p - 7 চ. ax - by ছ. `2p^2 - 3r^2` জ. `x^3 + 2`

   ঝ. 2m + 3n - 5p ঞ. `x^2 - y^2 + z^2` ট. `a^2b^2 - c^2d^2`

   ঠ. `a^2b - b^3c` ড. `x^3 - 2y^3` ঢ. 11a - 12b ণ.` x^3 + y^3` 

ক. `(3x + y)^3`

        `= (3x)^3 + 3.(3x)^2. y + 3.3x.y^2 + y^3`

        `= 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3`

 উত্তর: `27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3`ু
 

 খ. `(x^2 + y)^3`

    `= (x^2)^3 + 3.(x^2)^2. y + 3.x^2. y^2 + y^3`

    `= x^6 + 3x^4y + 3x^2y^2 + y^3`

    উত্তর:` x^6 + 3x^4y + 3x^2y^2 + y^3`

 
 গ. `(5p + 2q)^3`

    `= (5p)^3 + 3.(5p)^2. 2q + 3. 5p.(2q)^2 + (2q)^3`

    `= 125p^3 + 150p^2q + 60pq^2 + 8q^3` 

     উত্তর: `125p^3 + 150p^2q + 60pq^2 + 8q^3`

 ঘ. `(a^2b + o^2d)^3`

   `= (a^2b)^3 + 3.(a^2b)^2. c^2d + 3. a^2b.(c^2d)^2 + (c^2d)^3`

   `= a^6b^3 + 3a^4b^2.c^2d + 3a^2b.c^4d^2 + c^6d^3`

   `= a^6b^3 + 3a^4b^2c^2d + 3a^2bc^4d^2 + c^6d^3`

    উত্তর: `a^6b^3 + 3a^4b^2c^2d + 3a^2bc^4d^2 + c^6d^3`


  ঙ. `(6p - 7)^3`

     `= (6p)^3 - 3.(6p)^2. 7 + 3.6p.7^2 - 7^3`

     `= 216p^3 - 3.36p^2. 7 + 3.6p.49 - 343`

     `= 216p^3 - 75p^2 + 882p - 343` 

     উত্তর: `216p^3 - 75p^2 + 882p - 343` 


  চ. `(ax - by)^3`

     `= (ax)^3 - 3.(ax)^2. by + 3. ax.(by)^2 - (by)^3`

     `= a^3x^3 - 3.a^2x^2. by + 3. ax. b^2 y^2 - b^3 y^3`

     `= a^3x^3 - 3.a^2bx^2y + 3ab^2xy^2 - b^3y^3`

   উত্তর: `a^3x^3 - 3.a^2bx^2y + 3ab^2xy^2 - b^3y^3`


 ছ. `(2p^2 - 3r^2)^3`

    `= (2p^2)^3 - 3(2p^2)^2. 3r^2 + 3. 2p^2.(3r^2)^2 - (3r^2)^3`

    `= 8p^6 - 3. 4p^4. 3r^2 + 3. 2p^2. 9r^4 - 27r^6`

   `= 8p^6 - 36p^4r^2 + 54p^2r^4 - 27r^6`

    উত্তর: ` 8p^6 - 36p^4r^2 + 54p^2r^4 - 27r^6`


 জ. `(x^3 + 2)^3`

     `= (x^3)^3 + 3.(x^3)^2. 2 + 3.x^3. 2^2 + 2^3`

     `= x^9 + 3.x^6. 2 + 3.x^3. 4 + 8`

     `= x^9 + 6x^6 + 12x^3 + 8`

   উত্তর: `x^9 + 6x^6 + 12x^3 + 8`



 ঝ. `(2m + 3n - 5p)^3`

    `= {2m + (3n - 5p)}^3`

    `= (2m)^3 + 3. (2m)^2. (3n - 5p) + 3. 2m. (3n - 5p)^2 + (3n - 5p)^3`

    `= 8m^3 + 12m^2 (3n - 5p) + 6m (9n^2 - 30np + 25p^2) + 27n^3 `
                                
                                         `- 3.9n^2. 5p + 3. 3n. 25p^2 - 12p^3`

    `= 8m^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 180mnp + 150mp^2 `
                                    
                                    `+ 27n^3 - 135pn^2 + 225np^2 - 125p^2`

    `= 8m^3 + 27n^3 - 125p^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 135 pn^2`
                                            
                                                     ` + 150mp^2 + 225np^2 - 180mnp`


     উত্তর: ` 8m^3 + 27n^3 - 125p^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 135 pn^2 `
                                     
                                                         `+ 150mp^2 + 225np^2 - 180mnp`
 

 ঞ. `(x^2 - y^2 + z^2)^3`

     `= {(x^2 - y^2) + z^2}^3`

     `= (x^2 - y^2)^3 + 3. (x^2 - y^2). z^2 + 3. (x^2 - y^2) (z^2)^2 + (z^2)^3`

     `= (x^2)^3 - 3. (x^2)^2 .y^2 + 3. x^2. (y^2)^2 - (y^2)^3 + 3{(x^2)^2 `

                      `- 2. x^2. y^2 + (y^2)^2}. z^2 + 3x^2z^4 - 3y^2z^4 + z^6`

     `= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6 + 3z^2x^4 - 6x^2y^2z^2 `

                             `+ 3y^4z^2 + 3z^4x^2 - 3y^2x^4 + z^6`

   উত্তর: `x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6 + 3z^2x^4 - 6x^2y^2z^2 `

                                   `+ 3y^4z^2 + 3z^4x^2 - 3y^2x^4 + z^6`

 ট. `(a^2b^2 - c^2d^2)^3`

    `= (a^2b^2)^3 - 3.(a^2b^2)^2. c^2d^2 + 3. a^2b^2. (c^2d^2)^2 - (c^2 d^2)^3`

    `= a^6b^6 - 3a^4b^4c^2d^2 + 3a^2b^2c^4d^4 - c^6d^6`

    উত্তর: `a^6b^6 - 3a^4b^4c^2d^2 + 3a^2b^2c^4d^4 - c^6d^6`


 ঠ. `(a^2b - b^3c)^3`

    `= (a^2b)^3 - 3. (a^2b)^2. b^3c + 3. a^2b. (b^3c^2) - (b^3c)^3`

    `= a^6b^3 - 3a^4b^2.b^3c + 3a^2b. b^6c^2 - b^9c^3`

    `= a^6b^3 - 3a^4b^5c + 3a^2b^7c^2 - b^9c^3`

   উত্তর: `a^6b^3 - 3a^4b^5c + 3a^2b^7c^2 - b^9c^3`


  ড. `(x^3 - 2y^3)^3`

     `= (x^3)^3 - 3.(x^3)^2 . 2y^3 + 3. x^3. (2y^3)^2 - (2y^3)^3`

     `= x^9 - 6x^6y^3 + 12x^3y^6 - 8y^9`

      উত্তর: `x^9 - 6x^6y^3 + 12x^3y^6 - 8y^9`


 ঢ. `(11a - 12b)^3`

    `= (11a)^3 - 3. (11a)^2 . 12b + 3.11a. (12b)^2 - (12b)^3`

    `= 1331a^3 - 4356a^2b + 4752ab^2 - 178b^3`

     উত্তর: `1331a^3 - 4356a^2b + 4752ab^2 - 178b^3`


 ণ.` (x^3 + y^3)^3`

     `= (x^3)^3 + 3. (x^3)^2 . y^3 + 3.x^3. (y^3)^2 + (y^3)^3`

     `= x^9 + 3x^6y^3 + 3x^3y^6 + y^9`

      উত্তর: `x^9 + 3x^6y^3 + 3x^3y^6 + y^9`

Question:সরল কর:

2. ক. `(3x + y)^3 + 3(3x + y)^2 (3x - y) + 3(3x + y) (3x - y)^2 `

                                                      `+ (3x - y)^3`

 খ. `(2p + 5q)^3 + 3.(2p + 5q)^2 (5q - 2p) + 3(2p + 5q) (5q - 2p)^2 `

                                                                    `+ (5q - 2p)^3`

 গ. `(x + 2y)^3 - 3(x + 2y)^2 (x - 2y) + 3(x + 2y) (x - 2y)^2 - (x - 2y)^3`

 ঘ. `(6m + 2)^3 - 3(6m + 2)^2 (6m - 4) + 3(6m + 2) (6m - 4)^2 - (6m - 4)^3`

 ঙ.` (x - y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 - y^2)` 

ক. `(3x + y)^3 + 3(3x + y)^2 (3x - y) + 3(3x + y) (3x - y)^2 + (3x - y)^3`

    মনে করি, 3x + y = a

     এবং 3x - y = b

     প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`

                 `= (a + b)^3`

                 `= (3x + y + 3x - y)^3`

                     [a b এর মান বসিয়ে]

               `= (6x)^3`

               `= 216x^3`

       উত্তর: ` 216x^3`


 খ. `(2p + 5q)^3 + 3.(2p + 5q)^2 (5q - 2p) + 3(2p + 5q) (5q - 2p)^2`

                                                                       ` + (5q - 2p)^3`

         মনে করি 2p + 5q = a এবং 5q - 2p = b

       প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`

                   `= (a + b)^3`

                  `= (2p + 5q + 5q - 2p)^3`

                               [a ও b এর মান বসিয়ে]

                 `= (10q)^3`

                 `= 1000q^3`

 গ. `(x + 2y)^3 - 3(x + 2y)^2 (x - 2y) + 3(x + 2y) (x - 2y)^2 - (x - 2y)^3`

     মনে করি, x + 2y = a

          এবং x - 2y = b

     প্রদত্ত রাশি, `= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3`

                 `= (a - b)^3`

                 `= {(x + 2y) - (x - 2y)}^3`

                                 [a ও b এর মান বসিয়ে]

                `= (x + 2y - x + 2y)^3`

                `= (4y)^3`

                `= 64y^3`

         উত্তর: `64y^3`


 ঘ. `(6m + 2)^3 - 3(6m + 2)^2 (6m - 4) + 3(6m + 2) (6m - 4)^2 - (6m - 4)^3`

    মনে করি  `6m + 2 = a` এবং 6m - 4 = b

     প্রদত্ত রাশি, = `a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3`

                  = `(a - b)^3`

                  =`{(6m + 2) - (6m - 4)}^3`

                                      [a ও b এর মান বসিয়ে]

                  =` (6m + 2 - 6m + 4)^3`

                  =` (6)^3`

                  = 216

                  উত্তর: 216     

 ঙ.` (x - y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 - y^2)`

     `= (x - y)^3 + (x + y)^3 + 3.(x - y) (x + y). 2x`

     মনে করি,   x - y = a

         এবং   x + y = b

     :. x - y + x + y = a + b

      :. 2x = a + b  [যোগ করে]

       প্রদত্ত রাশি `= a^3 + b^3 + 3ab (a + b)`

                   `= (a + b)^3`

                   `= (2x)^3 [(a + b)` এর মান বসিয়ে]

                   `= 8x^3`

                 উত্তর: `8x^3`

Question:a + b = 8 এবং ab = 15 হলে `a^3 + b^3` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, a + b = 8

           এবং ab = 15

    :. প্রদত্ত রাশি, = `a^3 + b^3`

                    = `(a + b)^3 - 3ab (a + b)`

                    =` 8^3 - 3. 15. 8 [মান বসিয়ে]

                    = 512 - 360

                    = 152

                   উত্তর: 152

Question:x + y = 2 হলে, দেখাও যে,

 `x^3 + y^3 + 6xy = 8` 

দেওয়া আছে, x + y = 2

   বামপক্ষ `= x^3 + y^3 + 6xy`

            `= (x + y)^3 - 3xy (x + y) + 6xy`

            `= (2)^3 - 3xy. 2 + 6xy` [মান বসিয়ে]

            `= 8 - 6xy + 6xy`

              = 8

              = ডানপক্ষ

      `:. x^3 + y^3 + 6xy = 8`

Question:2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে

 `8x^3 + 27y^3` এর মান বসিয়ে 

দেওয়া আছে,  2x + 3y = 13

            এবং, xy = 6

    :. প্রদত্ত রাশি, `= 8x^3 + 27y^3`

                    `= (2x)^3 + (3y)^3`

                    `= (2x + 3y)^3 - 3. 2x. 3y (2x + 3y)`

                    `= (2x + 3y)^3 - 18xy (2x + 3y)`

                    `= (13)^3 - 18. 6. 13` [মান বসিয়ে]

                    `= 2197 - 1404`

                      = 793

                   উত্তর: 793

Question:p - q = 5, pq = 3 হলে `p^3 - q^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, p - q = 5 এবং pq = 3

  :. প্রদত্ত রাশি, `= p^3 - q^3`

                  `= (p - q)^3 + 3pq (p - q)`

                  `= 5^3 + 3. 3. 5` [ মান বসিয়ে]

                  `= 125 + 45`

                    = 170

                  উত্তর :170

Question:x - 2y = 3 হলে `x^3 - 8y^3 - 18xy` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, x - 2y = 3
 
  প্রদত্ত রাশি, `= x^3 - 8y^3 - 18xy`

                `= x^3 - (2y)^3 - 18xy`

                `= (x - 2y)^3 + 3 . x. 2y (x - 2y) - 18xy`

                `= (3)^3 + 6xy . 3 - 18xy`

                `= 27 + 18xy - 18xy`

                `= 27`

                  উত্তর: 27

Question:4x - 3 = 5 হলে, প্রমাণ কর যে,

 `64x^3 - 27 - 180x = 125` 

দেওয়া আছে, 4x - 3 = 5

    প্রদত্ত রাশি, `= 64x^3 - 27 - 180x`

                  `= (4x)^3 - 3^3 - 180x`

                  `= (4x - 3)^3 + 3.4x. 3(4x - 3) - 180x`

                  `= (5)^3 + 36x. 5 - 180x`

                  `= 125 + 180x - 180x`

                  `= 125`

                    = ডানপক্ষ

          উত্তর: `:. 64x^3 - 27 - 180x = 125`

Question:‍a = - 3 এবং b = 2 হলে `8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a = - 3 এবং b = 2

  প্রদত্ত রাশি, `= 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3`

                `= (2a)^3 + 3. (2a)^2 . 3b + 3. 2a. (3b)^2 + (3b)^3`

                `= (2a + 3b)^3`

                `= {2. (- 3) + 3. 2}^3` [মান বসিয়ে]

                `= (- 6 + 6)^3`

                `= (0)^3`

                   = 0

                  উত্তর: 0

Question:‍a = 7 হলে `a^2 + 6a^2 + 12a + 1` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a = 7

  :. প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 6a^2 + 12a + 1`

                  `= a^3 + 3. a^2. 2 + 3. a. (2)^2 + (2)^3 - 7`

                  `= (a + 2)^3 - 7`

                  `= (7 + 2)^3 - 7` [মান বসিয়ে]

                  `= (9)^3 - 7`

                  `= 729 - 7`

                    = 722

                উত্তর  : 722