Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

 `x/a + y/b = 2/a + 1/b`

  `x/b - y/a = 2/b - 1/a` 

প্রদত্ত সমীকরণ

  `x/a + y/b = 2/a + 1/b`.................(i)

  `x/b - y/a = 2/b - 1/a`..................(ii)

    সমীকরণ (i) থেকে পাই,

    `(bx + ay)/(ab) = (2b + a)/(ab)`

    বা,  bx + ay = 2b + a

                     [উভয় পক্ষকে ab দ্বারা গুণ করে ]

     বা, ay = a + 2b - bx

      বা, y =` (a + 2b - bx)/a`.................(iii)

         সমীকরণ (ii) হতে পাই,

    `(ax - by)/(ab) = (2a - b)/(ab)`

    বা, `ax - by = 2a - b`

             [উভয় পক্ষকে ab দ্বারা গুণ করে ]

      বা, `ax - b. (a + 2b - bx)/a = 2a - b`

                    [(iii) থেকে y এর মান বসিয়ে ]

       বা, `(a^2x - b(a + 2b - bx))/a = 2a - b`

        বা, `a^2x - ab - 2b^2 + b^2x = 2a^2 - ab`

         বা, `a^2x + b^2x = 2a^2 - ab + ab + 2b^2`

          বা, `x(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2`

           বা, `x = (2(a^2 + b^2))/((a^2 + b^2))`

              :. x = 2

            সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

            `y = (a + 2b - b.2)/a`

           বা, `y = (a + 2b - 2b)/a`

           বা, `y = a/a`

              :. y = 1

        :. নির্ণেয় সমাধান  (x, y) = (2, 1)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

  `a/x + b/y = a/2 + b/3`

  `a/x - b/y = a/2 - b/3` 

প্রদত্ত সমীকরণ

    `a/x + b/y = a/2 + b/3`...............(i)

    `a/x - b/y = a/2 - b/3`...............(ii)

    `1/x` = u  এবং `1/y` = v ধরে সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই

       au + bv =` a/2 + b/3`.............(iii)

     `au - bv = a/2 - b/3`...............(iv)

       (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

     `bv = a/2 + b/3 - au`................(v)

      (v) থেকে bv এর মান (iv) এ বসিয়ে পাই,

      `au - a/2 - b/3 + au = a/2 - b/2`

     বা, `2au = a/2 - b/3 + a/2 + b/3`

     বা, `2au = 2. a/2`

     বা, 2au = a

     বা, `u = a/(2a)`

      বা,  `u = 1/2`

      বা, `1/x = 1/2`

         :. x = 2

     u এর মান সমীকরণ (v) এ বসিয়ে পাই,

        bv =` a/2 + b/3 - a. 1/2`

     বা, `bv = b/3`

     বা, `v = b/(3b)`

      বা, `1/y = 1/3`

         :. y = 3

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (2, 3)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  x - y = 4

  x + y = 6 

প্রদত্ত সমীকরণ

  x - y = 4.............(i)

  x + y = 6.............(ii)

  সমীকরণ (i) ও সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

   x - y + x + y = 4 + 6

   বা, 2x = 10

    বা, x =` (10)/2`

     :. x = 5

    সমীকরণ (ii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

     5 + y = 6

     বা, y = 6 - 5

      :. y = 1

   :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (5, 1)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

 2x + 3y = 7

 6x - 7y = 5 

প্রদত্ত সমীকরণ

   2x + 3y = 7..............(i)

   6x - 7y = 5................(ii)

    সমীকরণ (i) কে 7 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

               14x + 21y = 49

               18x - 21y = 15
     --------------------------
  যোগ করে    32x          = 64

        বা, x =` (64)/(32)`

          :. x = 2

     x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

        2.2 + 3y = 7

      বা, 4 + 3y = 7

      বা,  3y = 7 - 4

      বা, 3y = 3

      বা, `y = 3/3`

         :. y = 1

     :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  4x + 3y = 15

  5x + 4y 19 

প্রদত্ত সমীকরণ

  4x + 3y = 15............(i)

  5x + 4y 19................(ii)

   সমীকরণ (i) কে 4 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

    16x + 12y = 60

    15x + 12y = 57

    (-)      (-)     (-)
  ---------------------------
    বিয়োগ x      = 3

         :. x = 3

     x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

      4.3 + 3y = 15

     বা, 3y = 15 - 12

     বা, 3y = 3

      বা, y = `3/3`

      :. y = 1

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (3, 1)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  3x - 2y = 5

  2x + 3y = 12 

প্রদত্ত সমীকরণ

  3x - 2y = 5................(i)

  2x + 3y = 12..............(ii)

   সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

       9x - 6y = 15

       4x + 6y = 24
  ----------------------
 যোগ করে 13x   = 39

    x =` (39)/(13)`

     :. x = 3

     x এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

       2. 3 + 3y = 12

      বা, 6 + 3y = 12

      বা, 3y = 12 - 6

      বা, 3y = 6

       বা, y = `6/3`

       :. y = 2

    :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (3, 2)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  4x - 3y = -1

   3x - 2y = 0 

প্রদত্ত সমীকরণ

  4x - 3y = -1..............(i)

   3x - 2y = 0..............(ii)

  সমীকরণ (i) কে 2 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

          8x - 6y = - 2

          9x - 6y = 0

              (-)     (+)
   --------------------
 বিয়োগ করে - x = - 2

           :. x = 2

    x এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

            3.2 - 2y = 0

           বা, 6 = 2y

           বা, 2y = 6

           বা,  y = `6/2`

            :.y = 3

       :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  3x - 5y = - 9

  5x - 3y = 1 

প্রদত্ত সমীকরণ

  3x - 5y = - 9................(i)

  5x - 3y = 1.................(ii)

  সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,

                    9x - 15y = - 27

                    25x - 15y = 5
      --------------------------
 বিয়োগ করে - 16x         = - 32

             `x = (-32)/(- 16)`

                :. x = 2

      x এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

         5. 2 - 3y = 1

       বা, 10 - 3y = 1

       বা,  - 3y = 1 - 10

       বা, - 3y = - 9

       বা,  `y = (- 9)/(- 3)`

          :. y = 3

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (2, 3)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

 `x/2 + y/2 = 3`

 `x/2 - y/2 = 1` 

প্রদত্ত সমীকরণ

    `x/2 + y/2 = 3`...............(i)

   `x/2 - y/2 = 1`................(ii)

    সমীকরণ (i) ও সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

     `x/2 + y/2 + x/2 - y/2 = 3 + 1`

    বা, `x/2 + x/2 = 4`

    বা, `(x + x)/2 = 4`

    বা, `(2x)/2 = 4`

      :. x = 4

     x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

       `4/2 + y/2 = 3`

       বা, `2 + y/2 = 3`

       বা, `y/2 = 3 - 2`

        বা, `y/2 = 1`

         :. y = 2

       :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (4, 2)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  x + ay = b

  ax - by = c 

প্রদত্ত সমীকরণ

   x + ay = b...............(i)

  ax - by = c................(ii)

   সমীকরণ (i) কে b দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে a দ্বারা গুণ করে পাই,

                           bx + aby =` b^2`

                         `a^2x - aby `= ac
                ------------------------------
     বিয়োগ করে `bx + a^2x = b^2 + ac`

                 `x (b + a^2) = b^2 + ac`

         `:. x = (b^2 + ac)/(a^2 + b)`

         x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

       `(b^2 + ac)/(a^2 + b) + ay = b`

     বা, `ay = b - (b^2 + ac)/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (b(a^2 + b) - (b^2 + ac))/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (a^2b + b^2 - b^2 - ac)/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (a^2b - ac)/(a^2 + b)`

     বা, `y = (a(ab - c))/(a(a^2 + b))`

      `:. y = (ab - c)/(a^2 + b)`

    :. নির্ণেয় সমাধান,  (x, y) = `((b^2 + ac)/(a^2 + b), (ab - c)/(a^2 + b))`