1. Question:5.> d, e, f, g `m^2 - (2m)/n `+ 1 = p d, e, f g `(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2) = (de + ef + fg)^2` p = 0` m = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n)` 

    Answer
    ক. প্রশ্নমতে, d : e = e : f = f : g
    
       বা, `d/e = e/f = f/g`
    
       ধরি, `d/e = e/f = f/g = k`
    
       এখন, ` f/g = k` ` f = gk`
    
      আবার,  `e/f = k` `e = fk = gk.k = gk^2`
    
       এবং `d/e = k` `d = ek = gk^2.k = gk^3`
    
        d, e, f কে g এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।
    
      খ. ‘ক’ থেকে পাই, `f = gk.e = gk^2` `d = gk^3`
    
     বামপক্ষ 
        =`(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2)`
    
        =`{(gk^3)^2 + (gk^2)^2 + (gk)^2} {(gk^2)^2 + (gk)^2 + g^2}`
    
         =` { g^2k^6 + g^2k^4 + g^2k^2} {g^2k^4 + g^2k^2 + g^2}`
    
         =`g^2k^2 (k^4 + k^2 + 1) xx g^2 (k^4 + k^2 + 1)`
    
         =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`
    
      ডানপক্ষ 
        = `(de + ef + fg)^2`
    
        =` (gk^3.gk^2 + gk^2.gk + gk.g)^2`
    
         =`(g^2k^5 + d^2k^3 + g^2k)^2`
    
         =` {g^2k (k^4 + k^2 + 1)}^2`
    
         =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`
    
        :. `(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2) = (de + ef + fg)^2` (প্রমাণিত)
    
      গ. দেওয়া আছে, 
        `m^2 - (2m)/n  + 1 = p`
    
          এবং p = 0
    
         :. `m^2 - (2m)/n  + 1 = 0`
    
         বা, `m^2 + 1 = (2m)/n`
    
          বা, `1/n = (m^2 + 1)/(2m)`
    
          বা, `(1 + n)/(1 - n) = (m^2 + 1 + 2m)/(m^2 + 1 - 2m)` [যোজন ও বিয়োজন করে]
    
          বা, `(1  + n)/(1 - n) = (m + 1)^2/(m - 1)^2`
    
          বা, ` (sqrt(1 + n))/(sqrt(1 - n)) = (m + 1)/(m - 1)`[বর্গ মূল করে]
    
          বা, `(m + 1 + m - 1)/(m + 1 - m + 1) = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))` [পুনরায় যোজন
    
                      বিয়োজন করে]
    
           বা, `(2m)/2 = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`
    
           :. m = `(sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`   (প্রমাণিত)






    1. Report
  2. Question:6.> a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী। ক. সমানুপাত ও ক্রমিক সমানুপাত বলতে কী বুঝ? খ. প্রমান কর যে, `(a+ b/b+ c)^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` গ. দেখাও যে, `(a - d)^2 = (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2` 

    Answer
    ক. সমানুপাত: যদি চারটি রাশির প্রথম ও ‍দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 
    
      তৃতীয় রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে উক্ত অনুপাতকে সমানুপাত বলে।
    
      ‍a, b, c ও d চারটি রাশি হলে, a: b = c : d কে সমানুপাত বলে।
    
      ক্রমিক সমানুপাতী:  a, b, ও c তিনটি সমজাতীয় রাশি হলে এবং
    
      a: b = b : c হলে, উক্ত অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
    
      a, b, ও c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি `b^2 = ac` হয়।
    
     খ. দেওয়া আছে, a, b, c, d  ক্রমিক সমানুপাতী
    
        :. `a/b = b/c = c/d`
    
         `b^2 = ac`
    
     এখন বামপক্ষ 
        = `(a + b)^2/(b + c)^2`
    
        = `(a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`
    
        =  `(a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2) [:. b^2 = ac` ]
    
        =  `(a(a + 2b + c)/(c(a + 2b + c)`
    
        = `a/c`
    
      ডানপক্ষ   
        =  `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + ac)/(ac + c^2) = (a(a + c))/(c(a + c)) = ac`
    
        :.` ((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)
    
     
      গ.  যেহেতু a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী 
    
          :. `a/b = b/c = c/d`
    
      এখন, `a/b = b/c` এবং `b/c = c/d`এবং `a/b = c/d`
    
        বা, `ac = b^2`
    
        এবং, `bd = c^2`
    
        এবং ad = bc
    
     ডানপক্ষ 
        =` (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2`
    
        =` b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2`
    
        =` 2b^2 + 2c^2 + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`
    
        =` 2.ac + 2.bd + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`
    
        =` a^2 - 2bc + d^2`
    
        =` a^2 - 2ad + d^2 [:. ad = bc`]
    
        =` (a - d)^2` বামপক্ষ
    
        :.` (a - d)^2 = (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2` (দেখানো হলো)






    1. Report
  3. Question:7.> `(a^3 + b^3)/(a - b + c) = a(a + b)`হলে----- ক. প্রমাণ কর যে, `b^2 = ac` খ. প্রমাণ কর যে, `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` গ. প্রমাণ কর, `a - 2b + c = (a - b)^2/a = (b - c)^2` 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে, 
         `(a^3 + b^3)/(a - b + c) = a(a + b)`
    
         বা,  `((a + b) (a^2 - ab +b^2))/(a - b + c) = a(a + b)`
    
         বা, `(a^2 - ab + b^2)/(a - b + c) = a` [(a + b)]
    
         বা,` a^2 - ab + b^2 = a(a - b + c)`
    
         বা,  `a^2 - ab + b^2 = a^2 - ab + ac`
    
         বা, `a^2 - ab + b^2 - a^2 + ab = ac`
    
         বা, `b^2 = ac`
    
        `:. b^2 = ac` (প্রমাণিত)
    
       
     খ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ..............(i)
    
      এখন বামপক্ষ 
         `= ((a + b)/(b + c))^2`
    
         `= (a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`
    
         `= (a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2)` [(i) নং থেকে]
    
         `= (a(a + 2b + c))/(c(a + 2b + c)) = a/c`
    
      ডানপক্ষ
        `= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`
    
        `= (a^2 + ac)/(ac + c^2)`  [(i) নং থেকে]
    
        `= (a(a + c))/(c(a + c)) = a/c`
    
         :. `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)
    
      
     গ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ............(i)
    
       `:. (a - b)^2/a = (a^2 - 2ab + b^2)/a`
    
                    `= (a^2 - 2ab + ac)` [(i) থেকে]
    
                    `= a - 2b + c`.............(ii)
    
       আবার  `(b - c)^2/c = (b^2 - 2bc + c^2)`
    
                 `= (ac - 2bc + c^2)/c` [(i) থেকে]
    
                   = a - 2b + c ...............(iii)
    
              সমীকরণ  (ii) ও (iii) নং হতে পাই,
    
           a - 2b + c = `(a - b)^2/a = (b - c)^2/c`   (প্রমাণিত)






    1. Report
  4. Question:৮.> `a/b = c/d` হলে--- ক. কোন শর্তের আলোকে a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হবে? খ. দেখাও যে, `(a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` গ. দেখাও যে, `(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` 

    Answer
    ক. ‍যদি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে` a/b = b/c`........(i)
    
       আবার b, c, d যদি ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে `b/c = c/d` .......(ii)
    
        (i) ও (ii) নং হতে পাই, `a/b = b/c = c/d`
    
        যা, একটি ক্রমিক সমানুপাতী
    
         :.` a/b = b/c = c/d` নির্ণেয় শর্ত।
    
     
     খ. ‘ক’ হতে পাই,` a/b = b/c = c/d`.............(i)
    
        ধরি, `a/b = b/c = c/d = k`
    
        বা, a = bk, b = ck, c = dk.........(ii)
    
      বামপক্ষ 
        =` (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3)`
    
        =` (b^3k^3 + b^3)/(c^3k^3 + c^3)` [:. a = bk এবং b = ck]
    
        =` (b^3(k^3 + 1))/(c^3(k^3 + 1)) = b^3/c^3`
    
      ডানপক্ষ 
        =` (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`
    
        =`(b^3 + (b/k)^3)/(c^3 + (c/k)^3)` [:. b = ck এবং c = dk]
    
        =` (b^3 (1 + 1/k^3))/(c^3 (1 + 1/k^3)) = b^3/c^3`
    
        `:. (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` (দেখানো হলো)
    
    
     গ. ‘খ’ হতে পাই, a = bk, b = ck, c = dk
    
       :. বামপক্ষ 
           =` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`
    
           =` (b^2k^2 + c^2k^2 + d^2k^2) (b^2 + c^2 + d^2)`
    
           =` k^2(b^2 + c^2 + d^2)`
    
      ডানপক্ষ  
        =` (ab + bc + cd)^2`
    
        =` (bk.b + ck.c + dk.d)^2`
    
        =` (b^2k + c^2k + d^2k^2)^2`
    
        =`k^2(b^2 + c^2 + d^2)`
    
        = বামপক্ষ
    
        :.` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` (দেখানো হলো)






    1. Report
  5. Question:৯.> `a/b = c/d = e/f = g/h` হলে--- ক. দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান = লবের যোগফল/হরের যোগফল খ. দেখাও যে,`x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`এবং `x + y + z != 0` হলে প্রতিটি অনুপাত `1/(a + b + c)` গ. দেখাও যে,`(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` এবং `a + b + c != 0` হলে প্রতিটি অনুপাতের মান `1/2` এবং a = b = c 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে, `a/b = c/d = e/f = g/h`
    
        ধরি, `a/b = c/d = e/f = g/h = k`............(i)
    
        :. a = bk, c = dk,e = fk,g = hk.........(ii)
    
       :. ডানপক্ষ = লবের যোগফল/হরের যোগফল
    
       `= (a + c + e + g)/(b + d + f + h)`
    
      ` = (bk + dk + fk + hk)/(b + d + f + h)` [(ii) নং হতে]
    
      ` = k. (b + d + f + h)/(b + d + f + h)`
    
         = k
    
      কিন্তু k হচ্ছে প্রতিটি অনুপাতের মান। [(i) নং হতে ]
    
      :. প্রতিটি অনুপাতের মান = লবের যোগফল/হরের যোগফল  (দেখানো হলো)
    
     খ. দেওয়া আছে,
    
        `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`
    
         'ক' হতে পােই,
    
          প্রতিটি অনুপাতের মান = লবেরর যোগফল/হরের যোগফল
    
          ধরি, প্রতিটি অনুপাতের মান = k
    
          :. `k = (x + y + z)/(ax + by + cz + ya + zb + xc + za + xb + yc)`
    
           =` (x + y + z)/(x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)`
    
           =` (x + y + z)/((a + b + c) (x + y + z))`
    
            =` 1/(a + b + c)`  [:. x + y + z `!= 0`]
    
       :. প্রতিটি অনুপাতের মান `= 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো)
    
      গ. ’ক’ হতে পাই,
    
        প্রতিটি অনুপাতের মান k = লবের যোগফল/হরের যোগফল
    
        ধরি,`(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a) = k`
    
        :. `k = (a + b - c + b + c - a + c + a - b)/(a + b + b + c + c + a) = (a + b + c)/(2(a + b + c)`
    
        `= 1/2`  [:. a + b + c` !=` 0]
    
         বা, প্রতিটি অনুপাতের মান` = 1/2`
    
         আবার,` (a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)`
    
         বা,`(a + b - c - a - b)/(a + b) = (b + c - a - b - c)/(b + c)` 
    
                          ` = (c + a - b - c - a)/(c + a)` [বিয়োজন করে]
    
          বা,` (-c)/(a + b) = (-a)/(b + c) = (-b)/(c + a)`
    
          বা,` c/(a + b) = a/(b + c) = b/(c + a)`  [-1 দ্বারা গুণ করে]
    
          বা, `(a + b)/c = (b + c)/a = (a+c)/b`  [ব্যস্তকরণ করে]
    
          বা, ` (a + b + c)/c = (a + b + c)/a = (a + b + c)/b` [যোজন করে]
    
          বা,` 1/c = 1/a = 1/b` [:. a + b + c` !=` 0]
    
          বা, a = b = c দেখানো হলো






    1. Report
Copyright © 2025. Powered by Intellect Software Ltd