Question:১. প্রমাণ কর যে, (ক) √5 (খ) √7 (গ) √10 প্রত্যেকে অমূলদ সংখ্যা।
Answer
সমাধান:(ক) আমরা জানি, 4<5<9 ∴√4<√5<√9 বা, 2<√5<3 সুতরাং √5এর মান 2 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট। অতএব, √5 পূর্ণ সংখ্যা নয়। ∴√5মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। যদি√5মূলদ সংখ্যা হয় তবে ধরি, √5=pq; যেখানে pও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌরিক এবং q>1 বা, 5=p2q2 [ বর্গ করে ] বা, 5q=p2q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গূণ করে ] স্পষ্টত: 5qপূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু p2q পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ pও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1. ∴5q এবংp2q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ5q≠p2q ∴√5 এর মানpq আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না, অথাৎ √5≠pq. সুতরাং√5 মূলদ সংখ্যা নয়। ∴√5 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)(খ) আমরা জানি, 4<7<9 ∴√4<√7<√9 বা, 2<√2<3 সুতরাং √7এর মান 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট। অতএব, √7 পূর্ণ সংখ্যা নয়। ∴√7মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। যদি√7মূলদ সংখ্যা হয় তবে ধরি, √7=pq; যেখানে pও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌরিক এবং q>1 বা, 7=p2q2 [ বর্গ করে ] বা, 7q=p2q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গূণ করে ] স্পষ্টত: 7qপূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু p2q পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ pও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1। সুতরাং7q এবংp2q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ7q≠p2q ∴√7 এর মানpq আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না, অথাৎ √7≠pq. সুতরাং√7 মূলদ সংখ্যা নয়। ∴√7 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)(গ) আমরা জানি, 9<10<16 ∴√9<√10<√16 বা, 3<√10<4 সুতরাং √10এর মান 3 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট। অতএব, √10 পূর্ণ সংখ্যা নয়। ∴√10মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। যদি√10মূলদ সংখ্যা হয় তবে ধরি, √10=pq; যেখানে pও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌরিক এবং q>1। বা, 10=p2q2 [ বর্গ করে ] বা, 10q=p2q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গূণ করে ] স্পষ্টত: 10qপূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু p2q পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ pও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q>1। সুতরাং 10q এবংp2q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ10q≠p2q ∴√10 এর মানpqএরা আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না, অথাৎ √10≠pq সুতরাং√10 মূলদ সংখ্যা নয়। ∴√10 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)