Question:১. `7x-3y=31`
    `9x-5y=41` 

সমাধান:দেওয়া আছে,
 `7x-3y=31...(i)`

 `9x-5y=41...(ii)`

  (i)নং সমীকরণ হতে পাই,

  `7x=31+3y`
 
 `x=31+3y/7...(iii)`

  (ii)নং সমীকরণে `x=31+3y/7` বসিয়ে পাই,

  `9(31+3y)/7-5y=41`

  বা, `279+27y/7-5y=41`

  বা, `279+27y-35y/7=41`

  বা, `279-8y=287` [আড়গুনণ করে]

  বা, `-8y=287-279` [পক্ষান্তর করে]

  বা, `-8y=8`

 `:.y=-1` [উভয়পক্ষকে `(-8)` দ্ধারা ভাগ করে]

  এখন, `(iii)` নং সমীকরণে `y` এর মান বসিয়ে পাই,

  `x=(31+3(-1))/7=31-3/7=28/7=4`

  :.নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=(4,-1)`

Question:2. `x/2+y/3=1`
     `x/3+y/2=1` 

সমাধান: দেওয়া আছে, 

 `x/2+y/3=1...(i)`

 `x/3+y/2...(ii)`
 
  (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
 
  `x/2+y/3=1`

   বা, `(3x+2y)/6=1`

  `:.3x+2y+=6...(iii)`[ আড় গুণন করে]

  `(ii)` নং সমীকরণ হতে পাই,

  `x/3+y/2=1`

   বা, `(2x+3y)/6=1`

   বা,  2x+3y=6[ আড়গুণন করে]

   বা, 3y=6-2x[ পক্ষান্তর করে]

  `:. y=(6-2x)/3...(iv)`

  (iii) নং সমীকরণে `y=(6-2x)/3`বসিয়ে পাই,

  `3x+2xx(6-2x)/3=6`

   বা, `3x+(12-4x)/3=6`

   বা, `9x+(12-4x)/3=6`

   বা, `(5x+12)/3=6`

   বা, `5x+12=18` [ আড় গুণন করে]

   বা, `5x=18-12` [ পক্ষান্তর করে]

   বা, `5x=6`

  `:. x=6/5`[ উভয় পক্ষকে 5 দ্ধারা ভাগ করে]
 
  এখন, `(iv)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

  `y=6-2xx(6/5)/3=6-(12/5)/3=(30-12/5)/3=(18/5)/3=18/(5xx3)=6/5`
 

   :. নির্ণেয় সমাধান:`(x,y)=(6/5,6/5)`

Question:৩. `x/a+y/b=2`
     
    `ax+by=a^2+b^2` 

সমাধান: দেওয়া আছে,

 `x/a+y/b=2....(i)`

 `ax+by=a^2+b^2...(ii)`

  (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

  `y/b=2-x/a`

  বা,`y/b=(2a-x)/a`

  `:. y/b=(2ab-bx)/a...(iii)`

 `(ii)` নং সমীকরণে  `y=(2ab-bx)/a` বসিয়ে পাই,

 ` ax+(b(2ab-bx)/a)=a^2+b^2`

  বা, `a^2x+2ab^2-b^2x)/a=a^2+b^2`

  বা, `a^x-b^2x+2ab^2=a^3+ab^3`  [ আড়গুণন করে]

  বা, `a^2x-b^2=(a^3+ab^2-2ab^2` [ পক্ষানতর করে]

  বা, `x(a^2-b^2)=a^3-ab^2`

  বা, `x(a^2-b^2)=a(a^2-b^2)`

  বা, `x=(a(a^2-b^2)/(a^2-b^2))`
 
 `:. x=a`

 এখন, `(iii)` নং সমীকরণে  `x` এর মান বসিয়ে পাই,

 `y=(2ab-ab)/a=ab/a`

  `:. y=b`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(a,b)`

Question:4. `7x-3y=31`
   
    `9x-5y=41` 

সমাধান: দেওয়া, `7x-3y=31...(i)`
         
                   `9x-5y...(ii)`

  `(i)` নং সমীকরণকে 5 দ্ধারা এবং `(ii)` নং সমীকরণকে 3 দ্ধারা গুন করে পাই,
  
    `35x-15y=155...(iii)`
 
    `27x-15y=123...(iv)`

    `(iii)` নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

   `(35x-15y)-(27x-15y)=155-123`

    বা, `35x-15y-27x+15y=32`

    বা, `8x=32`

  `:. x=4` [উভয়পক্ষকে 8 দ্ধারা ভাগ করে]
 
   এখন `(i)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

   `7+4-3y=31`

   বা,`28-3y=31`

   বা,`-3y=31-28`

   বা,`-3y=3`

  `:.y=-1` [ উভয়পকাষকে `(-3)` দ্ধারা ভাগ করে]

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(4,-1)`

Question:`7x-8y=-9`
`5y-4y=-3` 

সমাধান:

  প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়,

  `7x-8y=-9...(i)`

  `5x-4y=-3...(ii)`

  প্রদত্ত সমীকরণ (ii) নং এর উভয় পক্ষকে 2  দ্ধারা গুণ করে (i) নং থেকে বিয়োগ করি,

  `7x-8y=-9`

  `(10x-8y=-6)/-3x=-3`

  বা, `x=1` [`(-3)` উভয়পক্ষকে দ্ধারা ভাগ করে ]

  `:. x=1`

  `x` এর মান  (ii) নং  এ বসিয়ে পাই,
 
  `5xx1-4y=-3`

   বা, `5-4y=-3`

   বা, `-4y=-3-5`

   বা, `-4y=-8`

   বা, `y=2` [`(-4)` উভয়পক্ষকে দ্ধারা ভাগ করে ]
 
   `:. y=2`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=(1,2)`

Question:ax+by=c
`a^2+b^2y=c^2` 

সমাধান:দেওয়া আছে, ax+by=c...............(i)

      `a^2+b^2y=c^2..........(ii)`

      (i) নং সমীকরণকে b দ্ধারা গুণ করে পাই,

     `abx+b^2=bc..............(iii)`

      (iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

     `(abx+b^2)-(a^2+b^2y)=bc-c^2`

      বা,`abx-a^2x=bc-c^2`

      বা,`x(ab-a^2)=bc-c^2`

      বা,`x=bc-c^2/ab-a^2`
 
      :.`x=(c(b-c))/(a(b-a))`

      এখন (i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

      `axx(c(b-c))/(a(b-a))+by=c`

       বা,`(c(b-c))/(b-a)+by=c`

       বা,`by=(c-c(b-c))/(b-a)`

       বা.`by=(c(b-a)-c(b-c))/(b-a)`

       বা,`by=(c(b-a-b+c))/(b-a)`

       বা,`by=(c(c-a))/(b-a)`
 
      `:.y=(c(c-a))/(b(b-a))`

     :. নির্ণেয় সমাধান:(x,y)`=((c(b-c),c(c-a))/(a(b-a),b(b-a)))`

Question:2x+3y+5=0

4x+7y+6=0 

সমাধান:দেওয়া আছে,2x+3y+5=0
                    
                      4x=7y+6=0

    (i) নং এবং (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে 

   পাই,`x/(3xx6-7+5)=y/(5xx4-6+2)=1/(2xx7-4xx3)`

   বা,`x/(18-35)=y/(20-12)=1/(14-12)`

   বা,`x/-17=y/8=1/2`

  `:.x/-17=1/2` 

   বা, ` x=-17/2`  এবং `y/8=1/2` বা,` y=8/2=4`

 ` :.x=-17/2` এবং `y=4`

 :. নির্ণেয় সমাধান :` (x,y)=(-17/2,4)`

Question:8. `3x-5y+9=0`
     `5x-3y+1=0` 

সমাধান: দেওয়া আছে, 

     `3x-5y+9=0...(i)`

     `5x-3y+1=0...(ii)`

  এখন, `(i)`এবং `(ii)` সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে

    পাই,`x/((-5)xx(-1)-(-3)xx9)`

   `=y/(5xx9-(-1)xx3)`

  `=1/(3xx(-3)-5xx(-5)`

   বা,`x/(5+27)=y/(45+3)=1/(-9+25)`

   বা,`x/32=y/48=1/16`
    
    `:. x/32=1/16`

   বা,`x=32/16=2` এবং `y/48=1/16`
 
   বা,`y=48/16=3`

   :. নির্ণেয় সমাধান : `(x,y)(2,3)`

Question:9. x+2y=7
     
   2x-3y=0 

সমাধান দেওয়া আছে,  x+2y=0................(i)
                              
                       2x-3y=0................(ii)

     সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
                  x+2y-7=0
                 
                  2x-3y+0=0

   এখন,উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   
    `x/(2xx0-(-3)xx(-7))=y/(2xx(-7)-1xx0)`

    `=1/(1xx(-3)-2xx2)`
 
     বা, `x/(0-21)=y/(-14-0)=1/(-3-4)`
  
     বা, `x/-21=y/-14=1/-7`
     
     `:.x/-21=1/-7`
  
      বা, `x=-21/-7=3` এবং `y/-14=1/-7`
   
      বা, `y=-14/-7=2`
  
    :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(3,2)

Question:10. 4x+3y=-12
       2x=5 

সমাধান:প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়

        4x+3y=-1..................(i)
            
        2x=5...................(ii)

        সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
           
        4x+3y+12=0
            
        2x+0y-5=0

        উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
       
       `x/(3xx(-5)-0xx12)=y/(12xx2-4xx(-5))=1/(4xx0-2xx3)`
    
        বা, `x/(-15-0)=y/(24+20)=1/(0-6)`
   
        বা,`x/-15=y/44=1/-6`
   
      `:.x/-15=1/-6 `এবং  `y/44=1/-6`
  
       বা, `x=-15/-6`  বা, ` y=44/-6`
     
       `:. x=5/2  :.  y=-22/3`
 
    :.  নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=((5/2,-22/3))`