Question:x - 2y = 3 হলে `x^3 - 8y^3 - 18xy` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, x - 2y = 3
 
  প্রদত্ত রাশি, `= x^3 - 8y^3 - 18xy`

                `= x^3 - (2y)^3 - 18xy`

                `= (x - 2y)^3 + 3 . x. 2y (x - 2y) - 18xy`

                `= (3)^3 + 6xy . 3 - 18xy`

                `= 27 + 18xy - 18xy`

                `= 27`

                  উত্তর: 27

Question:4x - 3 = 5 হলে, প্রমাণ কর যে,

 `64x^3 - 27 - 180x = 125` 

দেওয়া আছে, 4x - 3 = 5

    প্রদত্ত রাশি, `= 64x^3 - 27 - 180x`

                  `= (4x)^3 - 3^3 - 180x`

                  `= (4x - 3)^3 + 3.4x. 3(4x - 3) - 180x`

                  `= (5)^3 + 36x. 5 - 180x`

                  `= 125 + 180x - 180x`

                  `= 125`

                    = ডানপক্ষ

          উত্তর: `:. 64x^3 - 27 - 180x = 125`

Question:‍a = - 3 এবং b = 2 হলে `8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a = - 3 এবং b = 2

  প্রদত্ত রাশি, `= 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3`

                `= (2a)^3 + 3. (2a)^2 . 3b + 3. 2a. (3b)^2 + (3b)^3`

                `= (2a + 3b)^3`

                `= {2. (- 3) + 3. 2}^3` [মান বসিয়ে]

                `= (- 6 + 6)^3`

                `= (0)^3`

                   = 0

                  উত্তর: 0

Question:‍a = 7 হলে `a^2 + 6a^2 + 12a + 1` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a = 7

  :. প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 6a^2 + 12a + 1`

                  `= a^3 + 3. a^2. 2 + 3. a. (2)^2 + (2)^3 - 7`

                  `= (a + 2)^3 - 7`

                  `= (7 + 2)^3 - 7` [মান বসিয়ে]

                  `= (9)^3 - 7`

                  `= 729 - 7`

                    = 722

                উত্তর  : 722

Question:x = 5 হলে `x^3 - 12x^2 + 48x - 64` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, x = 5

  প্রদত্ত রাশি, `= x^3 - 12x^2 + 48x - 64`

                `= x^3 - 3.x^2.4 + 3. x. (4)^2 - (4)^3`

                `= (x - 4)^3`

                `= (5 - 4)^3`  [মান বসিয়ে]

                  =` (1)^3`

                  = 1

             উত্তর : 1

Question:‍`a^2 + b^2 = c^2` হলে, প্রমাণ কর যে, `a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2 = c^6` 

দেওয়া আছে, `a^2 + b^2 = c^2`

 প্রমাণ করতে হবে যে, `a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2 = c^6`

  বামপক্ষ `= a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2`

           `= (a^2)^3 + (b^2)^3 + 3a^2b^2c^2`

           `= (a^2 + b^2)^3 - 3a^2b^2 (a^2 + b^2) + 3a^2b^2c^2`

           `= (c^2)^3 - 3a^2b^2c^2 + 3a^2b^2c^2` [মান বসিয়ে]

           `= c^6`

             = ডানপক্ষ

    উত্তর: `:. a^6 + b^6 + 3a^2b^2c^2 = c^6`

Question:`x + 1/x = 4` হলে প্রমাণ কর যে, `x^3 + 1/x^3 = 52` 

দেওয়া আছে, `x + 1/x = 4`

   বা, `(x + 1/x)^3 = (4)^3` [ঘন করে]

   বা,  `x^3 + 1/x^3 + 3. x. 1/x (x + 1/x) = 64`

   বা, `x^3 + 1/x^3 + 3. 4 =  64 [:. x + 1/x = 4]`

    বা, `x^3 + 1/x^3 = 64 - 12`

    ` :. x^3 + 1/x^3 = 52`

Question:`a - 1/a = 5` হলে `a^3 - 1/a^3` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, ` a - 1/a = 5`

  :. প্রদত্ত রাশি, `= a^3 - 1/a^3`

                   `= (a - 1/a)^3 + 3. a . 1/a (a - 1/a)`

                  `= 5^3 + 3.5` [মান বসিয়ে]

                  `= 125 + 15 = 140`

                উত্তর:   = 140

Question:সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় কর:

 ক. `(a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4)`

 খ. `(ax - by) (a^2x^2 + abxy + b^2y^2)`

 গ. `(2ab^2 - 1) (4a^2b^4 + 2ab^2 + 1)`

 ঘ. `(x^2 + a) (x^4 - ax^2 + a^2)`

 ঙ. `(7a + 4b) (49a^2 - 28ab + 16b^2)`

 চ. `(2a - 1) (4a^2 + 2a + 1) (8a^3 + 1)`

 ছ. `(x + a) (x^2 - ax + a^2) (x - a) (x^2 + ax + a^2)`

 জ.` (5a + 3b) (25a^2 - 15ab + 9b^2) (125a^2 - 27b^3)` 

ক. `(a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4)`

     `= (a^2 + b^2) {(a^2)^2 - a^2. b^2 + (b^2)^2}`

     `= (a^2)^3 + (b^2)^3`

    `= a^6 + b^6`

     :. নির্ণেয় গুণফল =` a^6 + b^6`

           উত্তর: ` a^6 + b^6`


 খ. `(ax - by) (a^2x^2 + abxy + b^2y^2)`

    `= (ax - by) {(ax)^2 + ax. by + (by)^2}`

    `= (ax)^3 - (by)^3`

    `= a^3x^3 - b^3y^3`

      :. নির্ণেয় গুণফল `= a^3x^3 - b^3y^3`

            উত্তর : `a^3x^3 - b^3y^3`


 গ. `(2ab^2 - 1) (4a^2b^4 + 2ab^2 + 1)`

     `= (2ab^2 - 1) {(2ab^2)^2 + 2ab^2 .1 + 1^2}`

     `= (2ab^2)^3 - 1^3`

     `= 8a^3b^6 - 1`

     :. নিণেয় গুণফল `= 8a^3b^6 - 1`

        উত্তর: `8a^3b^6 - 1`

 ঘ. `(x^2 + a) (x^4 - ax^2 + a^2)`

     `= (x^2 + a) {(x^2)^2 - x^2. a + a^2}`

     `= (x^2)^3 + a^3`

     `= x^6 + a^3`

     :. নির্ণেয় গুণফল `= x^6 + a^3`

     উত্তর  :`x^6 + a^3`

 ঙ. `(7a + 4b) (49a^2 - 28ab + 16b^2)`

    `= (7a + 4b) {(7a)^2 -7a. 4b + (4b)^2}`

    `= (7a)^3 + (4b)^3`

    `= 343a^3 + 64b^3`

    :. নির্ণেয় গুণফল `= 343a^3 + 64b^3`

        উত্তর:`343a^3 + 64b^3`

 চ. `(2a - 1) (4a^2 + 2a + 1) (8a^3 + 1)`

     `= (2a - 1) {(2a)^2 + 2a. 1 + 1^2} (8a^3 + 1)`

     `= {(2a)^3 - 1^3} (8a^3 + 1)`

     `= (8a^3 - 1) (8a^3 + 1)`

     `= (8a^3)^2 - 1^2`

       = `64a^6 - 1`

       :. নির্ণেয় গুণফল  = `64a^6 - 1`

         উত্তর: `64a^6 - 1`

 ছ. `(x + a) (x^2 - ax + a^2) (x - a) (x^2 + ax + a^2)`

      `= (x^3 + a^3) (x^3 - a^3)`

      `= (x^3)^2 - (a^3)^2`

        =` x^6 - a^6`

        :. নির্ণেয় গুণফল =` x^6 - a^6`

           উত্তর: ` x^6 - a^6`

 জ.` (5a + 3b) (25a^2 - 15ab + 9b^2) (125a^2 - 27b^3)`

      `= (5a + 3b) {(5a)^2 - 5a. 3b + (3b)^2} (125a^3 - 27b^3)`

      `= {(5a)^3 + (3b)^3} (125a^3 - 27b^3)`

      `= (125a^3 + 27b^3) (125a^3 - 27b^3)`

      `= (125a^3)^2 - (27b^3)^2`

      `= 15625a^6 - 729b^6`

       :. নির্ণেয় গুণফল `= 15625a^6 - 729b^6`

           উত্তর: `15625a^6 - 729b^6`

Question:বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০০  টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয় কর। 

সমাধান:
আমরা জানি, C = P `(১ + r)^n` 

    এখানে মূলধন, P = ৮০০০ টাকা

    বার্ষিক মুনাফার হার, r = ১০% `= (১০)/(১০০) = ১/(১০)`

    সময়  n = ৩ বছর

    চক্রবৃদ্ধি মূলধন C = ?

    :. C = `৮০০০ xx (১ + ১/(১০))^৩` টাকা

        `= ৮০০০ xx ((১১)/(১০))^৩`  টাকা

        `= ৮০০০ xx (১.১)^৩` টাকা

        `= ৮০০০ xx ১.১ xx ১.১ xx ১.১` টাকা

          = ১০৬৪৮ টাকা

      :. চক্রবৃদ্ধির মূলধন ১০৬৪৮ টাকা।

       উত্তর ১০৬৪৮ টাকা।