Question:দুইটি রাশির  বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ কর:

 ক.(5p - 3q) (p + 7q)

 খ. (6a + 9b) (7b - 8a)

 গ. (3x + 5y) (7x - 5y)

 ঘ. (5x + 13) (5x - 13) 

ক. ‍(5p - 3q) (p + 7q)

আমরা জানি, 
   ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (5p - 3q) (p + 7q)

  `= {((5p - 3q) + (p + 7q))/2}^2 - {((5p - 3q) - (p + 7q))/2}^2`

  `= ((5p - 3q + p + 7q)/2)^2 - ((5p - 3q - p - 7q)/2)^2`

  `= ((6p + 4q)/2)^2 - ((4p - 10q)/2)^2`

  `= {(2(3p + 2q))/2}^2 - {(2(2p - 5q))/2}^2`

  `= (3p + 2q)^2 - (2p - 5q)^2`

  উত্তর: `(3p + 2q)^2 - (2p - 5q)^2`


  খ.(6a + 9b) (7b - 8a) 

আমরা জানি,

    ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

    :. (6a + 9b) (7b - 8a)

    = `{((6a + 9b) + (7b - 8a))/2)^2 - {((6a + 9b) - (7b - 8a))/2}^2`

    = `((6a + 9b + 7b - 8a)/2)^2 - ((6a + 9b - 7b + 8a)/2)^2`

    =` ((16b - 2a)/2)^2 - ((2b + 14a)/2)^2`

    =` {(2(8b - a))/2}^2 - {(2(b + 7a))/2}^2`

    =` (8b - a)^2 - (b + 7a)^2`

     উত্তর: ` (8b - a)^2 - (b + 7a)^2`


 গ. (3x + 5y) (7x - 5y) 

আমরা জানি,

   ab =` ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (3x + 5y) (7x - 5y)

   =` {((3x + 5y) + (7x - 5y))/2}^2 - {((3x + 5y) - (7x - 5y))/2}^2`

   =` ((3x + 5y + 7x - 5y)/2)^2 - ((3x + 5y - 7x + 5y)/2)^2`

   =` ((10x)/2)^2 - ((- 4x + 10y)/2)^2`

   =` (5x)^2 - {(- 2 (2x - 5y))/2}^2`

   =` (5x)^2 - (2x - 5y)^2`

   = `(5x)^2 - (2x - 5y)^2`

     উত্তর: `(5x)^2 - (2x - 5y)^2`

  ঘ. (5x + 13) (5x - 13)

আমরা জানি,

   ab = `((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

   :. (5x + 13) (5x - 13)

   =` {((5x + 13) + (5x - 13))/2}^2 - {((5x + 13) - (5x - 13))/2}^2`

   =` ((5x + 13 + 5x - 13)/2)^2 - ((5x + 13 - 5x + 13)/2)^2`

   =` ((10x)/2)^2 - ((26)/2)^2`

   = `(5x)^2 - (13)^2`

    উত্তর:  `(5x)^2 - (13)^2`

Question:দুইটি সংখ্যা যেখানে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল এবং গুণফল।

 ক. সূত্রের সাহায্যে গুণ কর: (2x + 3) (2x - 7)

 খ. `2a^2 + 2b^2` এর মান নির্ণয় কর।

 গ. প্রমান কর যে, `(a + 2b)^2 - 5b^2 = 176` 

ক. (2x + 3) (2x - 7)

   = `(2x)^2 + (3 - 7) 2x + 3. (- 7)`

   = `4x^2 + (- 4). 2x - 21`

   =` 4x^2 - 8x - 21`

  :. নির্ণেয় গুণফল =` 4x^2 - 8x - 21`

 
 খ. ‍দেওয়া আছে,

  সংখ্যা দুইটি a b যেখানে a > b

  শর্তমতে, a + b = 12

   এবং ab = 32

  :. প্রদত্ত রাশি =` 2a^2 + 2b^2`

                 = `2(a^2 + b^2)`

                 =` 2{(a + b)^2 - 2ab}`

                 =` 2{(12)^2 - 2.32}`  [মান বসিয়ে]

                 =` 2(144 - 64)`

                 = 2 80

                 = 160

       উত্তর: 160


 গ.  ‘খ’ থেকে পাই,

     a + b = 12 এবং ab = 32

     আমরা জানি,

    `(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab`

                    = `(12)^2 - 4 32`

                    = 144 - 128

                    = 16

  :. a - b = 4 [:. a > b]

  বামপক্ষ`= (a + 2b)^2 - 5b^2`

         `= a^2 + 2.a.2b + (2b)^2 - 5b^2`

         `= a^2 + 4ab + 4b^2 - 5b^2`

         `= a^2 - b^2 + 4ab`

         `= (a + b) (a - b) + 4ab`

          = 12 4 4 32

          =  48 + 128

          = 176

         =  ডানপক্ষ

         :.` (a + 2b)^2 - 5b^2 = 176`  (প্রমাণিত)

Question:সরল কর:

   ক.`(x - y)/(xy) + (y - z)/(yz) + (z - x)/(zx)`

   খ.`(x - y)/((x + y) (y + z)) + (y - z)/((y + z) (z + x)) + (z - x)/((z + x) (x + y))`

   গ. ` y/((x - y) (y - z)) + x/((z - x) (x - y)) + z/((y - z) (z - x))`

   ঘ.`1/(x + 3y) + 1/(x - 3y) - (2x)/(x^2 - 9y^2)`

   ঙ.` 1/(x - y) - 2/(2x + y) + 1/(x + y) - 2/(2x - y)`

    চ. `1/(x - 2) - (x - 2)/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/(x^3 + 8)` 

ক. `(x - y)/(xy) + (y - z)/(yz) + (z - x)/(zx)`

    `= (z(x - y) + x(y - z) + y(z - x))/(xyz)`

    `= (zx - yz + xy - zx + yz - xy)/(xyz)`

    `= 0/(xyz) = 0`

   উত্তর: 0

   খ.`(x - y)/((x + y) (y + z)) + (y - z)/((y + z) (z + x)) + (z - x)/((z + x) (x + y))`

     `= ((x - y)(z + x) + (y - z) (x + y) + (z - x) (y + z))/((x + y)(y + z)(z + x))`

     `= (zx + x^2 - yz - xy + xy + y^2 - zx - yz + yz + z^2 - xy - zx)/((x + y)(y + z)(z + x))`

     `= (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)/((x + y)(y + z)(z + x))`

      উত্তর: `(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)/((x + y)(y + z)(z + x))`

    
   গ. ` y/((x - y) (y - z)) + x/((z - x) (x - y)) + z/((y - z) (z - x))`

        `= (y(z - x) + x(y - z) + z(x - y))/((x - y)(y - z)(z - x))`

        `= (yz - xy + xy - zx + zx - yz)/((x - y)(y - z)(z - x))`

        `= 0/((x - y)(y - z)(z - x)) = 0`

          উত্তর: 0

  ঘ.`1/(x + 3y) + 1/(x - 3y) - (2x)/(x^2 - 9y^2)`

     `= (x - 3y + x + 3y)/((x + 3y) (x - 3y)) - (2x)/(x^2 - 9y^2)`

     `= (2x)/(x^2 - 9y^2) - (2x)/(x^2 - 9y^2)`

       = 0

       উত্তর: 0

  ঙ.  `1/(x - y) - 2/(2x + y) + 1/(x + y) - 2/(2x - y)`

       `= (1/(x - y) + 1/(x + y)) - (2/(2x + y) , + 2/(2x - y))`

       `= (x + y + x - y)/((x - y) (x + y)) - (2(2x - y) + 2(2x + y))/((2x + y) (2x - y))`

      `= (2x)/(x^2 - y^2) - (4x - 2y + 4x + 2y)/((2x)^2 - y^2)`

      `= (2x)/(x^2 - y^2) - (8x)/(4x^2 - y^2)`

      `= (2x(4x^2 - y^2) - 8x(x^2 - y^2))/((x^2 - y^2) (4x^2 - y^2))`

      `= (8x^3 - 2xy^2 - 8x^3 + 8xy^2)/((x^2 - y^2) (4x^2 - y^2))`

      `= (6xy)^2/((x^2 - y^2)(4x^2 - y^2))`

      `= (6xy^2)/((x^2 - y^2)(4x^2 - y^2))`


   চ. `1/(x - 2) - (x - 2)/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/(x^3 + 8)`

       `= (1(x^2 + 2x + 4) - (x - 2)^2)/((x - 2) (x^2 + 2x + 4) + 6x/(x^3 + 8)`

       `= (x^2 + 2x + 4 - (x^2 - 2.x.2 + 2^2))/((x - 2)(x^2 + x. 2 + 2^2)) + (6x)/(x^3 + 8)`

      `= (x^2 + 2x + 4 - x^2 + 4x - 4)/(x^3 - 2^3) + (6x)/(x^3 + 8)`

      `= (6x)/(x^3 - 8) + (6x)/(x^3 + 8)`

      `= (6x(x^3 + 8) + 6x(x^3 - 8))/((x^3 - 8)(x^3 + 8))`

      `= (6x^4 + 48x + 6x^4 - 48x)/((x^3)^2 - 8^2) = (12x^4)/(x^6 - 64)`

    উত্তর : `(12x^4)/(x^6 - 64)`


  ছ. `1/(x - 1) - 1/(x + 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

       `= (x + 1 - x + 1)/((x - 1) (x + 1)) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

      `= 2/(x^2 - 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

      `= (2(x^2 + 1) - 2(x^2 - 1))/((x^2 - 1) (x^2 + 1)) + 4/(x^4 + 1)`

     `= (2x^2 + 2 - 2x^2 + 2)/((x^2)^2 - 1^2) + 4/(x^4 + 1)`

    `= 4/(x^4 - 1) + 4/(x^4 + 1)`

    `= (4(x^4 + 1) + 4(x^4 - 1))/(x^4 - 1) (x^4 + 1)`

    `= (4x^4 + 4 + 4x^4 - 4)/((x^4)^2 - 1^2) `

    `= (8x^4)/(x^8 - 1)`

    উত্তর `: (8x^4)/(x^8 - 1)`


   জ. `(x - y)/((y - z) (z - x)) + (y - z)/((z - x) (x - y)) + (z - x)/(x - y)(y - z))`

       `= (x - y)/((y - z) (z - x)) + (y - z)/((z - x) (x - y)) + (z - x)/((x - y) (y - z))`

       `= ((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2)/((x - y) (y - z) (z - x))`

       `= (x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 + z^2 - 2xz + x^2)/((x - y) (y - z) (z - x))`

       `= (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx)/((x - y) (y - z) (z - x))`

       `= (2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx))/((x - y) (y - z) (z - x))`

    উত্তর: `(2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx))/((x - y) (y - z) (z - x))`

Question:সরল কর: 

 ৫. ঝ.` 1/(a - b - c) + 1/(a - b + c) + a/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

    ঞ. `1/(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab) + 1/(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc) + 1/(c^2 + a^2 - b^2 + 2ca)` 

ঝ.` 1/(a - b - c) + 1/(a - b + c) + a/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

     `= (a - b + c + a - b - c)/((a - b - c) (a - b + c)) + a/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

     `= (2a - 2b)/((a - b)^2 - c^2) + a/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

     `= (2a - 2b)/(a^2 - 2ab + b^2 - c^2) + a/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

     `= (2a - 2b + a)/(a^2 - 2ab + b^2 + c^2)`

     `= (3a - 2b)/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`

       উত্তর: ` (3a - 2b)/(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)`


  ঞ. `1/(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab) + 1/(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc) + 1/(c^2 + a^2 - b^2 + 2ca)`

    `= 1/((a^2 + + 2ab + b^2) - c^2)  + 1/((b^2 + 2bc + c^2) - a^2) `

           `+ 1/((c^2 + 2ca + a^2) - b^2)`

    `= 1/((a + b)^2 - c^2) + 1/((b + c)^2 - a^2) + 1/((c + a)^2 - b^2)`

    `= 1/((a + b + c) (a + b - c)) + 1/((b + c + a) (b + c - a)) `

            `+ 1/((c + a + b) (c + a - b))`

    `= ((b + c - a) (c + a - b) + (a + b - c) (c + a - b) + (a + b - c) (b + c - a))/((a + b + c) (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b))`

  এখন লব, =

      `bc + ab - b^2 + c^2 + ca - bc - ca - a^2 + ab + ca + a^2 - ab + bc + ab `
                       
           `- b^2 - c^2 - ca + bc + ab + ca - a^2 + b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ca`

      `= 2ca + 2bc + 2ab - b^2 - c^2 - a^2`

     `= 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2`

   :. প্রদত্ত রাশি = `(2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c) (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b))`

    উত্তর: `(2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c) (a + b - c) (b + c - a) (c + a - b))`

Question:সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় কর:

১. ক.3x + y খ. `x^2 + y` গ. 5p + 2q ঘ. `a^2b + o^2d`

   ঙ. 6p - 7 চ. ax - by ছ. `2p^2 - 3r^2` জ. `x^3 + 2`

   ঝ. 2m + 3n - 5p ঞ. `x^2 - y^2 + z^2` ট. `a^2b^2 - c^2d^2`

   ঠ. `a^2b - b^3c` ড. `x^3 - 2y^3` ঢ. 11a - 12b ণ.` x^3 + y^3` 

ক. `(3x + y)^3`

        `= (3x)^3 + 3.(3x)^2. y + 3.3x.y^2 + y^3`

        `= 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3`

 উত্তর: `27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3`ু
 

 খ. `(x^2 + y)^3`

    `= (x^2)^3 + 3.(x^2)^2. y + 3.x^2. y^2 + y^3`

    `= x^6 + 3x^4y + 3x^2y^2 + y^3`

    উত্তর:` x^6 + 3x^4y + 3x^2y^2 + y^3`

 
 গ. `(5p + 2q)^3`

    `= (5p)^3 + 3.(5p)^2. 2q + 3. 5p.(2q)^2 + (2q)^3`

    `= 125p^3 + 150p^2q + 60pq^2 + 8q^3` 

     উত্তর: `125p^3 + 150p^2q + 60pq^2 + 8q^3`

 ঘ. `(a^2b + o^2d)^3`

   `= (a^2b)^3 + 3.(a^2b)^2. c^2d + 3. a^2b.(c^2d)^2 + (c^2d)^3`

   `= a^6b^3 + 3a^4b^2.c^2d + 3a^2b.c^4d^2 + c^6d^3`

   `= a^6b^3 + 3a^4b^2c^2d + 3a^2bc^4d^2 + c^6d^3`

    উত্তর: `a^6b^3 + 3a^4b^2c^2d + 3a^2bc^4d^2 + c^6d^3`


  ঙ. `(6p - 7)^3`

     `= (6p)^3 - 3.(6p)^2. 7 + 3.6p.7^2 - 7^3`

     `= 216p^3 - 3.36p^2. 7 + 3.6p.49 - 343`

     `= 216p^3 - 75p^2 + 882p - 343` 

     উত্তর: `216p^3 - 75p^2 + 882p - 343` 


  চ. `(ax - by)^3`

     `= (ax)^3 - 3.(ax)^2. by + 3. ax.(by)^2 - (by)^3`

     `= a^3x^3 - 3.a^2x^2. by + 3. ax. b^2 y^2 - b^3 y^3`

     `= a^3x^3 - 3.a^2bx^2y + 3ab^2xy^2 - b^3y^3`

   উত্তর: `a^3x^3 - 3.a^2bx^2y + 3ab^2xy^2 - b^3y^3`


 ছ. `(2p^2 - 3r^2)^3`

    `= (2p^2)^3 - 3(2p^2)^2. 3r^2 + 3. 2p^2.(3r^2)^2 - (3r^2)^3`

    `= 8p^6 - 3. 4p^4. 3r^2 + 3. 2p^2. 9r^4 - 27r^6`

   `= 8p^6 - 36p^4r^2 + 54p^2r^4 - 27r^6`

    উত্তর: ` 8p^6 - 36p^4r^2 + 54p^2r^4 - 27r^6`


 জ. `(x^3 + 2)^3`

     `= (x^3)^3 + 3.(x^3)^2. 2 + 3.x^3. 2^2 + 2^3`

     `= x^9 + 3.x^6. 2 + 3.x^3. 4 + 8`

     `= x^9 + 6x^6 + 12x^3 + 8`

   উত্তর: `x^9 + 6x^6 + 12x^3 + 8`



 ঝ. `(2m + 3n - 5p)^3`

    `= {2m + (3n - 5p)}^3`

    `= (2m)^3 + 3. (2m)^2. (3n - 5p) + 3. 2m. (3n - 5p)^2 + (3n - 5p)^3`

    `= 8m^3 + 12m^2 (3n - 5p) + 6m (9n^2 - 30np + 25p^2) + 27n^3 `
                                
                                         `- 3.9n^2. 5p + 3. 3n. 25p^2 - 12p^3`

    `= 8m^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 180mnp + 150mp^2 `
                                    
                                    `+ 27n^3 - 135pn^2 + 225np^2 - 125p^2`

    `= 8m^3 + 27n^3 - 125p^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 135 pn^2`
                                            
                                                     ` + 150mp^2 + 225np^2 - 180mnp`


     উত্তর: ` 8m^3 + 27n^3 - 125p^3 + 36m^2n - 60m^2p + 54mn^2 - 135 pn^2 `
                                     
                                                         `+ 150mp^2 + 225np^2 - 180mnp`
 

 ঞ. `(x^2 - y^2 + z^2)^3`

     `= {(x^2 - y^2) + z^2}^3`

     `= (x^2 - y^2)^3 + 3. (x^2 - y^2). z^2 + 3. (x^2 - y^2) (z^2)^2 + (z^2)^3`

     `= (x^2)^3 - 3. (x^2)^2 .y^2 + 3. x^2. (y^2)^2 - (y^2)^3 + 3{(x^2)^2 `

                      `- 2. x^2. y^2 + (y^2)^2}. z^2 + 3x^2z^4 - 3y^2z^4 + z^6`

     `= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6 + 3z^2x^4 - 6x^2y^2z^2 `

                             `+ 3y^4z^2 + 3z^4x^2 - 3y^2x^4 + z^6`

   উত্তর: `x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6 + 3z^2x^4 - 6x^2y^2z^2 `

                                   `+ 3y^4z^2 + 3z^4x^2 - 3y^2x^4 + z^6`

 ট. `(a^2b^2 - c^2d^2)^3`

    `= (a^2b^2)^3 - 3.(a^2b^2)^2. c^2d^2 + 3. a^2b^2. (c^2d^2)^2 - (c^2 d^2)^3`

    `= a^6b^6 - 3a^4b^4c^2d^2 + 3a^2b^2c^4d^4 - c^6d^6`

    উত্তর: `a^6b^6 - 3a^4b^4c^2d^2 + 3a^2b^2c^4d^4 - c^6d^6`


 ঠ. `(a^2b - b^3c)^3`

    `= (a^2b)^3 - 3. (a^2b)^2. b^3c + 3. a^2b. (b^3c^2) - (b^3c)^3`

    `= a^6b^3 - 3a^4b^2.b^3c + 3a^2b. b^6c^2 - b^9c^3`

    `= a^6b^3 - 3a^4b^5c + 3a^2b^7c^2 - b^9c^3`

   উত্তর: `a^6b^3 - 3a^4b^5c + 3a^2b^7c^2 - b^9c^3`


  ড. `(x^3 - 2y^3)^3`

     `= (x^3)^3 - 3.(x^3)^2 . 2y^3 + 3. x^3. (2y^3)^2 - (2y^3)^3`

     `= x^9 - 6x^6y^3 + 12x^3y^6 - 8y^9`

      উত্তর: `x^9 - 6x^6y^3 + 12x^3y^6 - 8y^9`


 ঢ. `(11a - 12b)^3`

    `= (11a)^3 - 3. (11a)^2 . 12b + 3.11a. (12b)^2 - (12b)^3`

    `= 1331a^3 - 4356a^2b + 4752ab^2 - 178b^3`

     উত্তর: `1331a^3 - 4356a^2b + 4752ab^2 - 178b^3`


 ণ.` (x^3 + y^3)^3`

     `= (x^3)^3 + 3. (x^3)^2 . y^3 + 3.x^3. (y^3)^2 + (y^3)^3`

     `= x^9 + 3x^6y^3 + 3x^3y^6 + y^9`

      উত্তর: `x^9 + 3x^6y^3 + 3x^3y^6 + y^9`

Question:সরল কর:

2. ক. `(3x + y)^3 + 3(3x + y)^2 (3x - y) + 3(3x + y) (3x - y)^2 `

                                                      `+ (3x - y)^3`

 খ. `(2p + 5q)^3 + 3.(2p + 5q)^2 (5q - 2p) + 3(2p + 5q) (5q - 2p)^2 `

                                                                    `+ (5q - 2p)^3`

 গ. `(x + 2y)^3 - 3(x + 2y)^2 (x - 2y) + 3(x + 2y) (x - 2y)^2 - (x - 2y)^3`

 ঘ. `(6m + 2)^3 - 3(6m + 2)^2 (6m - 4) + 3(6m + 2) (6m - 4)^2 - (6m - 4)^3`

 ঙ.` (x - y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 - y^2)` 

ক. `(3x + y)^3 + 3(3x + y)^2 (3x - y) + 3(3x + y) (3x - y)^2 + (3x - y)^3`

    মনে করি, 3x + y = a

     এবং 3x - y = b

     প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`

                 `= (a + b)^3`

                 `= (3x + y + 3x - y)^3`

                     [a b এর মান বসিয়ে]

               `= (6x)^3`

               `= 216x^3`

       উত্তর: ` 216x^3`


 খ. `(2p + 5q)^3 + 3.(2p + 5q)^2 (5q - 2p) + 3(2p + 5q) (5q - 2p)^2`

                                                                       ` + (5q - 2p)^3`

         মনে করি 2p + 5q = a এবং 5q - 2p = b

       প্রদত্ত রাশি `= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`

                   `= (a + b)^3`

                  `= (2p + 5q + 5q - 2p)^3`

                               [a ও b এর মান বসিয়ে]

                 `= (10q)^3`

                 `= 1000q^3`

 গ. `(x + 2y)^3 - 3(x + 2y)^2 (x - 2y) + 3(x + 2y) (x - 2y)^2 - (x - 2y)^3`

     মনে করি, x + 2y = a

          এবং x - 2y = b

     প্রদত্ত রাশি, `= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3`

                 `= (a - b)^3`

                 `= {(x + 2y) - (x - 2y)}^3`

                                 [a ও b এর মান বসিয়ে]

                `= (x + 2y - x + 2y)^3`

                `= (4y)^3`

                `= 64y^3`

         উত্তর: `64y^3`


 ঘ. `(6m + 2)^3 - 3(6m + 2)^2 (6m - 4) + 3(6m + 2) (6m - 4)^2 - (6m - 4)^3`

    মনে করি  `6m + 2 = a` এবং 6m - 4 = b

     প্রদত্ত রাশি, = `a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3`

                  = `(a - b)^3`

                  =`{(6m + 2) - (6m - 4)}^3`

                                      [a ও b এর মান বসিয়ে]

                  =` (6m + 2 - 6m + 4)^3`

                  =` (6)^3`

                  = 216

                  উত্তর: 216     

 ঙ.` (x - y)^3 + (x + y)^3 + 6x(x^2 - y^2)`

     `= (x - y)^3 + (x + y)^3 + 3.(x - y) (x + y). 2x`

     মনে করি,   x - y = a

         এবং   x + y = b

     :. x - y + x + y = a + b

      :. 2x = a + b  [যোগ করে]

       প্রদত্ত রাশি `= a^3 + b^3 + 3ab (a + b)`

                   `= (a + b)^3`

                   `= (2x)^3 [(a + b)` এর মান বসিয়ে]

                   `= 8x^3`

                 উত্তর: `8x^3`

Question:a + b = 8 এবং ab = 15 হলে `a^3 + b^3` এর মান কত? 

দেওয়া আছে, a + b = 8

           এবং ab = 15

    :. প্রদত্ত রাশি, = `a^3 + b^3`

                    = `(a + b)^3 - 3ab (a + b)`

                    =` 8^3 - 3. 15. 8 [মান বসিয়ে]

                    = 512 - 360

                    = 152

                   উত্তর: 152

Question:x + y = 2 হলে, দেখাও যে,

 `x^3 + y^3 + 6xy = 8` 

দেওয়া আছে, x + y = 2

   বামপক্ষ `= x^3 + y^3 + 6xy`

            `= (x + y)^3 - 3xy (x + y) + 6xy`

            `= (2)^3 - 3xy. 2 + 6xy` [মান বসিয়ে]

            `= 8 - 6xy + 6xy`

              = 8

              = ডানপক্ষ

      `:. x^3 + y^3 + 6xy = 8`

Question:2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে

 `8x^3 + 27y^3` এর মান বসিয়ে 

দেওয়া আছে,  2x + 3y = 13

            এবং, xy = 6

    :. প্রদত্ত রাশি, `= 8x^3 + 27y^3`

                    `= (2x)^3 + (3y)^3`

                    `= (2x + 3y)^3 - 3. 2x. 3y (2x + 3y)`

                    `= (2x + 3y)^3 - 18xy (2x + 3y)`

                    `= (13)^3 - 18. 6. 13` [মান বসিয়ে]

                    `= 2197 - 1404`

                      = 793

                   উত্তর: 793

Question:p - q = 5, pq = 3 হলে `p^3 - q^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, p - q = 5 এবং pq = 3

  :. প্রদত্ত রাশি, `= p^3 - q^3`

                  `= (p - q)^3 + 3pq (p - q)`

                  `= 5^3 + 3. 3. 5` [ মান বসিয়ে]

                  `= 125 + 45`

                    = 170

                  উত্তর :170