গণিত - অষ্টম শ্রেণি

  2. Question:একজন ফল ব্যবসায়ী যশোর থেকে ৩৬ টাকায় ১২টি দরে কিছু সংখ্যক এবং কুষ্টিয়া 
      থেকে ৩৬ টাকায় ১৮টি দরে সমান সংখ্যক কলা খরিদ করল। ব্যবসায়ীর বিক্রয়কর্মী 
      ৩৬ টাকায় ১৫টি দরে তা বিক্রয় করল।

      ক. ব্যবসায়ী যশোর থেকে প্রতিশ কলা কি দরে ক্রয় করেছিল?

      খ. বিক্রয়কর্মী সবগুলো কলা বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

      গ. ব্যবসায়ী ২৫% লাভ করতে চাইলে প্রতি হালি কলা কী দরে বিক্রয় করতে হবে? 
    Answer
    সমাধান:

ক. ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

  :.  ১ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১২)` টাকা

  :. ১০০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১০০)/(১২)` টাকা

                             = ৩০০ টাকা

  :. যশোর থেকে প্রতিশ কলা ৩০০ টাকায় ক্রয় করেছিল।

   উত্তর: ৩০০ টাকা।

 
  খ. ১২, ১৮ ও ১৫ এর ল,সা,গু = ১৮০

   মনে করি প্রত্যেক দরের ১৮০ টি করে কলা ক্রয় করা হলো।

   ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১২)` টাকা

   :. ১৮০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১৮০)/(১২)` টাকা

                           = ৫৪০ টাকা

   ১৮ টি কলার ক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১৮ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১৮)` টাকা

   :. ১৮০ টি কলার ক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ১৮০)/(১২)` টাকা

                                 = ৩৬০ টাকা

   :. (১৮০ + ১৮০) বা ৩৬০ টি কলার ক্রয়মূল্য

      = (৫৪০ + ৩৬০) টাকা

      = ৯০০ টাকা

   আবার, ১৫ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা

   :. ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য `(৩৬)/(১৫)` টাকা
 
   :.  ৩৬০ টি কলার বিক্রয়মূল্য `(৩৬ xx ৩৬০)/(১৫)` টাকা

                                 = ৮৬৪ টাকা

   এখানে, ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্য

   ক্ষতি = (৯০০ - ৮৬৪) টাকা = ৩৬ টাকা

   ৯০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৩৬ টাকা

   :. ১ টাকায় ক্ষতি হয় `(৩৬)/(৯০০)`  টাকা

   :. ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় `(৩৬ xx ১০০)/(৯০০)` টাকা

                            = ৪ টাকা

    উত্তর: ৪% ক্ষতি ।

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, ৩৬০টি কলার ক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা

    :. ১টি কলার ক্রয়মূল্য `(৯০০)/(৩৬০)` টাকা = ২.৫ টাকা

    :. ৪টি কলার ক্রয়মূল্য = (২.৫ xx ৪) টাকা = ১০ টাকা

   ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য (১০০ + ২৫) টাকা বা ১২৫ টাকা

  :.  ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য `(১২৫)/(১০০)` টাকা 

 :.  ক্রয়মূল্য ১০ টাকা হলে ২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য` (১২৫ xx ১০)/(১০০)`  টাকা 

  = ১২.৫০ টাকা

  উত্তর: ১২.৫০ টাকা

    1. Report

  3. Question:কোনো আসল ৩ বছরের সরল মুনাফাসহ ২৮০০০ টাকা এবং ৫ বছরের সরল মুনাফাসহ ৩০০০০ টাকা।

 ক. প্রতীক গুলোর বর্ণনা সহ মূলধন নির্ণনের সূত্রটি লিখ।

 খ. মুনাফার হার নির্ণয় কর।

 গ. একই হারে ব্যাংকে কত টাকা জমা রাখলে ৫ বছরের মুনাফা আসলে ৪৮০০০ টাকা হবে। 
    Answer
    ক. শতকরা বার্ষিক r% মুনাফায় p টাকার n বছরের মুনাফা I এবং চক্রবৃদ্ধি মূলধন C হলে,

   সরলমুনাফা I = prn

  এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে C = `p(১ + r)^n`

  :. চক্রবৃদ্ধি মুনাফা =`p (১ + r)^n - p`

 খ. আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ৩০০০০ টাকা

     আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ২৮০০০ টাকা
    -----------------------------------------------
 (বিয়োগ করে) ২ বছরের মুনাফা = ২০০০ টাকা

  :. ১   ,,         ,,      = `(২০০০)/২` টাকা

  :. ৩   ,,         ,,      = `(২০০০ xx ৩)/২` টাকা

                             = ৩০০০ টাকা

 :. আসল = মুনাফা-আসল-মুনাফা

           = (২৮০০ - ৩০০০) টাকা

           = ২৫০০০ টাকা

  :. ২৫০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ৩০০০ টাকা

  :. ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা `(৩০০০)/(২৫০০০ xx ৩)`টাকা

  :. ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা` (৩০০০ xx ১০০)/(২৫০০ xx ৩)` টাকা

                                  = ৪ টাকা

  :. মুনাফার হার ৪%।

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, মুনাফার হার r = ৪% =` ৪/(১০০)`

    সময় n = ৫ বছর

    মুনাফা-আসল A = ৪৮০০০ টাকা

    ধরি মূলধন = p টাকা

    আমরা জানি, A = p + I

     বা,  p + I = A

     বা, P + prn = A

     বা, p(১ + rn) = A

     বা, `p(১ + ৪/(১০০) xx ৫) = ৪৮০০০`

     বা, `p(১ + ১/৫) = ৪৮০০০`

     বা, `p((৫ + ১)/৫) = ৪৮০০০`

     বা, `৬p = ৪৮০০০ xx ৫`

     বা, `p = (৪৮০০০ xx ৫)/৬`

      :. p = ৪০০০০

     :. ব্যাংকে ৪০০০০ টাকা জমা রাখতে হবে।

    উত্তর: ৪০০০০ টাকা।

    1. Report

  4. Question:গুণ কর:

 ক. `(9x^2y^2)/(7y^2z^2), (5b^c^2)/(3z^2x^2)` এবং `(7c^2a^2)/(x^2y^2)`

 খ. `(16a^2b^2)/(21z^2), (28z^4)/(9x^3y^4)` এবং `(3y^7z)/(10x)`

 গ. `(yz)/x^2, (zx)/y^2,` এবং `(xy)/z^2`

 ঘ. `(x - 1)/(x + 1), (x - 1)^2/(x^2 + x)` এবং `x^2/(x^2 - 4x + 5)`

 ঙ. `(x^4 - y^4)/(x^2 - 2xy + y^2), (x - y)/(x^3 + y^3)` এবং `(x + y)/(x^3 + y^3)`

 চ.`(1 - b^2)/(1 + x),(1 - x^2)/(b + b^2)` এবং `(1 + (1 - x)/x)`

 ছ.`(x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3), (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12)` এবং `(x^2 - 16)/(x^2 - 9)`

 জ.`(x^3 + y^3)/(a^2b + ab^2 + b^3), (a^3 - b^3)/(x^2 - xy + y^2)` এবং `(ab)/(x + y)`
 
 ঝ.` (x^3 + y^3 + 3xy (x + y))/(a + b)^3, (a^3 + b^3 + 3ab (a + b))/(x^2 - y^2)` এবং `(x - y)^2/(x + y)^2` 
    Answer
    ক. নির্ণেয় গুণফল

    `= (9x^2y^2)/(7y^2z^2) xx (5b^c^2)/(3z^2x^2) xx (7c^2a^2)/(x^2y^2)`

     `= (9x^2y^2 xx 5b^2c^2 xx 7c^2a^2)/(7y^2z^2 xx 3z^2x^2 xx x^2y^2)`

    ` = (15a^2b^2c^4)/(x^2y^2z^4)`

       উত্তর: `(15a^2b^2c^4)/(x^2y^2z^4)`


  খ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (16a^2b^2)/(21z^2) xx (28z^4)/(9x^3y^4) xx (3y^7z)/(10x)`

   `= (16a^2b^2 xx 28z^4 xx 3y^2z)/(21z^2 xx 9x^3y^4 xx 10x)`

   `= (16 xx 28 xx 3 xx a^2b^2y^7z^5)/(21 xx 9 xx 10 xx x^4y^4z^2)`

   `= (32a^2b^2y^3z^3)/(45x^4)` 

    উত্তর:` (32a^2b^2y^3z^3)/(45x^4)` 


 গ. নির্ণেয় গুণফল
   
    `= (yz)/x^2 xx (zx)/y^2 xx (xy)/z^2`

    `= (x^2y^2z^2)/(x^2y^2z^2)`

      = 1

      উত্তর: 1

 ঘ.   নির্ণেয় গুণফল
   
     `= (x - 1)/(x + 1) xx (x - 1)^2/(x^2 + x) xx x^2/(x^2 - 4x + 5)`

     `= (x - 1)/(x + 1) xx ((x - 1) (x - 1))/(x (x + 1)) xx x^2/(x^2 - 4x + 5)`

     `= (x (x - 1))^3/((x + 1)^2 (x^2 - 4x + 5))`

     উত্তর: `(x (x - 1))^3/((x + 1)^2 (x^2 - 4x + 5))`


 ঙ.  নির্ণেয় গুণফল

  `= (x^4 - y^4)/(x^2 - 2xy + y^2) xx (x - y)/(x^3 + y^3) xx (x + y)/(x^3 + y^3)`

  `= ((x^2 + y^2) (x^2 - y^2))/(x - y)^2 xx (x - y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2)) xx (x + y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2))`

   `= ((x^2 + y^2) (x + y) (x - y))/((x - y) (x - y)) xx (x - y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2)) xx (x + y)/((x + y) (x^2 - xy + y^2))`

   `= (x^2 + y^2)/(x^2 - xy + y^2)^2`

      উত্তর:` (x^2 + y^2)/(x^2 - xy + y^2)^2`

 চ.নির্ণেয় গুণফল
 
   `= (1 - b^2)/(1 + x) xx (1 - x^2)/(b + b^2) xx (1 + (1 - x)/x)`

   `= ((1 + b) (1 - b))/(1 + x) xx ((1 + x) (1 - x))/(b (1 + b)) xx (x + 1 - x)/x`

   `= ((1 - b) (1 - x))/b xx 1/x`

   `= ((1 - b) (1 - x))/(bx)`

      উত্তর:` ((1 - b) (1 - x))/(bx)`


 ছ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3) xx (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12) xx (x^2 - 16)/(x^2 - 9)`

   `= (x^2 - 2x - x + 2)/(x^2 - 3x - x + 3) xx (x^2 - 3x - 2x + 6)/(x^2 - 4x - 3x + 12) xx (x^2 - 4^2)/(x^2 - 3^2)`

   `= (x(x - 2) - 1(x - 2))/(x(x - 3) - 1(x - 3)) xx (x(x - 3) - 2(x - 3))/(x(x - 4) - 3 (x - 4)) xx ((x + 4) (x - 4))/((x + 3) (x - 3))`

   `= ((x - 2) (x - 1))/((x - 3) (x - 1)) xx ((x - 3) (x - 2))/((x - 4)(x - 3)) xx ((x + 4) (x - 4))/((x + 3) (x - 3))`

   `= ((x - 2) (x - 2) (x + 4))/((x - 3)(x + 3)(x - 3))`

   `= ((x - 2)^2 (x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

     উত্তর: ` ((x - 2)^2 (x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

 জ. নির্ণেয় গুণফল

   `= (x^3 + y^3)/(a^2b + ab^2 + b^3) xx (a^3 - b^3)/(x^2 - xy + y^2) xx (ab)/(x + y)`

   `= ((x + y)(x^2 - xy + y^2))/(b(a^2 + ab + b^2)) xx ((a - b) (a^2 + ab + b^2))/(x^2 - xy + y^2) xx (ab)/(x + y)`

   `= a (a - b)`

     উত্তর:` a (a - b)`
 
 ঝ. নির্ণেয় গুণফল

  ` = (x^3 + y^3 + 3xy (x + y))/(a + b)^3 xx (a^3 + b^3 + 3ab (a + b))/(x^2 - y^2) xx ((x - y))^2/((x + y))^2`

   `= (x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2)/(a + b)^3 xx (a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2)/(x^2 - y^2) xx (x - y)^2/(x + y)^2`

   `= (x + y)^3/(a + b)^3 xx (a + b)^3/((x + y) (x - y)) xx (x - y)^2/(x + y)^2`

   `= ((x + y)^3 xx (a + b)^3 xx (x - y)^2)/((x + y)^3 xx (a + b)^3 xx (x - y))`

     = (x - y)

     উত্তর: (x - y)

    1. Report

  5. Question:ভাগ কর (১ম রাশিকে ২য় রাশি দ্বারা): 

 ক.`(3x^2)/(2a), (4y^2)/(15zx)`

 খ. `(9a^2b^2)/(4c^2), (16a^3b)/(3c^3)`

 গ. `(21a^4b^4c^4)/(4x^3y^3z^3), (7a^2b^2c^2)/(12xyz)`

 ঘ. `x/y, (x + y)/y`

 ঙ. `(a + b)^2/(a - b)^2, (a^2 - b^2)/(a + b)`

 চ. `(x^3 - y^3)/(x + y), (x^2 + xy + y^2)/(x^2 - y^2)`

 ছ. `(a^3 + b^3)/(a - b), (a^2 - ab + b^2)/(a^2 - b^2)`

 জ. `(x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 4), (x^2 - 16)/(x^2 - 3x + 2)`

 ঝ.` (x^2 - x - 30)/(x^2 - 36), (x^2 + 13x + 40)/(x^2 + x - 56)` 
    Answer
    ক. নির্ণেয় ভাগফল

   `= (3x^2)/(2a) -: (4y^2)/(15zx)`

   `= (3x^2)/(2a) xx (15zx)/(4y^2)`

   `= (45zx^3)/(8ay^2)`

    উত্তর: `(45zx^3)/(8ay^2)`

    

 খ. নির্ণেয় ভাগফল

     `= (9a^2b^2)/(4c^2) -:  (16a^3b)/(3c^3)`

     `= (9a^2b^2)/(4c^2) xx (3c^3)/(16a^3b)`

     `= (27a^2b^2c^3)/(64a^3bc^2)`

     `= (27bc)/(64a)`

    উত্তর: `(27bc)/(64a)`

 গ. নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (21a^4b^4c^4)/(4x^3y^3z^3) -: (7a^2b^2c^2)/(12xyz)`

   `= (21a^4b^4c^4)/(4x^3y^3z^3) xx (12xyz)/(7a^2b^2c^2)`

   `= 3a^2b^2c^2 xx 3/(x^2y^2z^2)`

   `= (9a^2b^2c^2)/(x^2y^2z^2)`

       উত্তর:`(9a^2b^2c^2)/(x^2y^2z^2)`

 ঘ. নির্ণেয় ভাগফল 

   `= x/y -: (x + y)/y`

   `= x/y xx y/(x + y)`

   `= x/(x + y)`

   উত্তর: `x/(x + y)`
 ঙ. নির্ণেয় ভাগফল 

     `= (a + b)^2/(a - b)^2 -: (a^2 - b^2)/(a + b)`

     `= (a + b)^2/(a - b)^2 xx (a + b)/(a^2 - b^2)`

     `= ((a + b) (a + b))/((a - b) (a - b)) xx (a + b)/((a + b) (a - b))`

     `= (a + b)^2/(a - b)^3`

      উত্তর: `(a + b)^2/(a - b)^3`

 চ.  নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (x^3 - y^3)/(x + y) -: (x^2 + xy + y^2)/(x^2 - y^2)`

   `= ((x - y) (x^2 + xy + y^2))/(x + y) xx ((x + y) (x - y))/(x^2 + xy + y^2)`

   `= (x - y)^2`

     উত্তর:`(x - y)^2`

     

 ছ.   নির্ণেয় ভাগফল 

   `= (a^3 + b^3)/(a - b) -: (a^2 - ab + b^2)/(a^2 - b^2)`

   `= ((a + b) (a^2 - ab + b^2))/(a - b) xx ((a + b) (a - b))/(a^2 - ab + b^2)`

   `= (a + b)^2`

     উত্তর: `(a + b)^2`

 জ.  নির্ণেয় ভাগফল 

    `= (x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 4) -: (x^2 - 16)/(x^2 - 3x + 2)`

    `= (x^2 - 4x - 3x + 12)/(x^2 - 2^2) -: (x^2 - 4^2)/(x^2 - 2x - x + 2)`

    `= (x(x - 4) - 3(x - 4))/((x + 2)(x - 2)) -: ((x + 4)(x - 4))/(x(x - 2) - 1(x - 2))`

    `= ((x - 4)(x - 3))/((x + 2) (x - 2)) xx ((x - 2)(x - 1))/((x + 4)(x - 4))`

    `= ((x - 3) (x - 1))/((x + 2)(x + 4))`

      উত্তর: `((x - 3) (x - 1))/((x + 2)(x + 4))`


 ঝ. নির্ণেয় ভাগফল 
   
     ` = (x^2 - x - 30)/(x^2 - 36) -: (x^2 + 13x + 40)/(x^2 + x - 56)`

      `= (x^2 - 6x + 5x - 30)/(x^2 - 6^2) -: (x^2 + 8x + 5x + 40)/(x^2 + 8x - 7x - 56)`

      `= (x(x - 6) + 5(x - 6))/((x + 6)(x - 6)) -: (x(x + 8) + 5(x + 8))/(x(x + 8) - 7(x + 8))`

      `= ((x - 6)(x + 5))/((x + 6) (x - 6)) -: ((x + 8) (x + 5))/((x + 8) (x - 7))`

      `= (x + 5)/(x + 6) xx (x - 7)/(x + 5)`

      `= (x - 7)/(x + 6)`

          উত্তর: `(x - 7)/(x + 6)`

    1. Report

  6. Question:সরল কর:

 ক. `(1/x + 1/y) xx (1/y - 1/x)`

 খ. `(1/(1 + x) + (2x)/(1 - x^2)) (1/x - 1/x^2)`

 গ. `(1 - c/(a + b)) (a/(a + b + c) - a/(a + b + c))`

 ঘ. `(1/(1 + a) + a/(1 - a)) (1/(1 + a^2) - 1/(1 + a + a^2))`

 ঙ.`(x/(2x - y) + x/(2x + y)) (4 + (3y^2)/(x^2 - y^2))`

 চ.`((2x + y)/(x + y) - 1) -: (1 - y/(x + y))`

 ছ. `(a/(a + b) + b/(a - b)) -:  (a/(a - b) - b/(a + b))`

 জ. `((a^2 + b^2)/(2ab) - 1) -: ((a^3 - b^3)/(a - b) - 3ab)`

 ঝ.`((x + y)^2 - 4xy)/((a + b)^2 - 4ab) -:  (x^3 - y^3 - 3xy(x - y))/(a^3 - b^3 - 3ab(a - b))`

 ঞ. `(a/b + b/a + 1) -: (a^2/b^2 + a/b + 1)` 
    Answer
    ক. `(1/x + 1/y) xx (1/y - 1/x)`

    `= (y + x)/(xy) xx (x - y)/(xy)`

    `= (x^2 - y^2)/(x^2y^2)`

      উত্তর: `(x^2 - y^2)/(x^2y^2)`

 
 খ. `(1/(1 + x) + (2x)/(1 - x^2)) (1/x - 1/x^2)`

     `= {1/(1 + x) + (2x)/((1 + x) (1 - x))} (1/x - 1/x^2)`

     `= {(1 - x + 2x)/((1 + x) (1 - x))} ((x - 1)/x^2)`

     `= (1 + x)/((1 + x) (1 - x)) xx (-(1 - x))/x^2`

      = `1/x^2`

      উত্তর: `1/x^2`

 গ. `(1 - c/(a + b)) (a/(a + b + c) - a/(a + b + c))`

     `= (a + b - c)/(a + b) xx (a(a + b - c) - a(a + b + c))/((a + b + c) (a + b - c))`

     `= (a + b - c)/(a + b) xx (a^2 + ab - ac - a^2 - ab - ac)/((a + b + c)(a + b - c))`

     `= (- 2ac)/((a + b) (a + b + c))`

      উত্তর: `(- 2ac)/((a + b) (a + b + c))`

 ঘ. `(1/(1 + a) + a/(1 - a)) (1/(1 + a^2) - 1/(1 + a + a^2))`

    `= (1(1- a) + a(1 + a))/((1 + a)(1 - a)) xx (1(1 + a + a^2) - 1(1 + a^2))/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= (1 - a + a + a^2)/((1 + a) (1 - a)) xx (1 + a + a^2 - 1 - a^2)/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= (1 + a^2)/((1 + a) (1 - a)) xx a/((1 + a^2) (1 + a + a^2))`

   `= a/((1 - a^2) (1 + a + a^2))`

     উত্তর: `a/((1 - a^2) (1 + a + a^2))`

 ঙ.`(x/(2x - y) + x/(2x + y)) (4 + (3y^2)/(x^2 - y^2))`

    `= (x(2x + y) + x(2x - y))/((2x - y) (2x + y)) xx (4(x^2 - y^2) + 3y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (2x^2 + xy + 2x^2 - xy)/((2x - y)(2x + y)) xx (4x^2 - 4y^2 + 3y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx (4x^2 - y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx ((2x^2) - y^2)/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/((2x - y)(2x + y)) xx ((2x + y) (2x - y))/(x^2 - y^2)`

    `= (4x^2)/(x^2 - y^2)`

      উত্তর: `(4x^2)/(x^2 - y^2)`

 চ.`((2x + y)/(x + y) - 1) -: (1 - y/(x + y))`

    `= (2x + y - x - y)/(x + y) -: (x + y - y)/(x + y)`

    `= x/(x + y) -: x/(x + y)`

    `= x/(x + y) xx x/(x + y)`

      = 1

       উত্তর: 1

 ছ. `(a/(a + b) + b/(a - b)) -: (a/(a - b) - b/(a + b))`

     `= (a(a - b) + b(a + b))/((a + b) (a - b)) -: (a(a + b) - b(a - b))/((a - b)(a + b))`

     `= (a^2 - ab + ab + b^2)/((a + b)(a - b)) -: (a^2 + ab - ab + b^2)/((a - b) (a + b))`

     `= (a^2 + b^2)/((a + b)(a - b)) xx ((a - b)(a + b))/(a^2 + b^2) = 1`

       উত্তর: 1

 জ. `((a^2 + b^2)/(2ab) - 1) + ((a^3 - b^3)/(a - b) - 3ab)`

     `= (a^2 + b^2 - 2ab)/(2ab) -: (a^3 - b^3 - 3ab(a - b))/(a - b)`

     `= (a - b)^2/(2ab) -: (a - b)^3/(a - b)`

     `= (a - b)^2/(2ab) xx (a - b)/(a - b)^3`

     `= 1/(2ab)`

      উত্তর: `1/(2ab)`

 ঝ.`((x + y)^2 - 4xy)/((a + b)^2 - 4ab) -: (x^3 - y^3 - 3xy(x - y))/(a^3 - b^3 - 3ab(a - b))`

    `= (x - y)^2/(a - b)^2 -: (x - y)^3/(a - b)^3`

    `= (x - y)^2/(a - b)^2 xx (a - b)^3/(x - y)^3`

    `= (a - b)/(x - y)`

      উত্তর: ` (a - b)/(x - y)`



 ঞ. `(a/b + b/a + 1) -:  (a^2/b^2 + a/b + 1)`

      `= (a^2 + b^2 + ab)/(ab) -: (a^2 + ab + b^2)/b^2`

      `= (a^2 + ab + b^2)/(ab) xx b^2/(a^2 + ab + b^2)`

      `= b/a` 

        উত্তর:` b/a`

    1. Report

  7. Question:সরল কর:

 ক. `(x^2 + 2x - 15)/(x^2 + x - 12) -: (x^2 - 25)/(x^2 - x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 5x + 6)`

 খ. `(x/(x - y) - x/(x + y)) -: (y/(x - y) - y/(x + y)) + ((x + y)/(x - y) + (x - y)/(x + y)) `

                                                      `-: ((x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y))`

 গ. `(x^2 + 2x - 3)/(x^2 + x - 2) -: (x^2 + x - 6)/(x^2 - 4)`

 ঘ. `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab) xx ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) `

                                                     `-:  (a + b)/(a^2 + ab + b^2)` 
    Answer
    ক. `(x^2 + 2x - 15)/(x^2 + x - 12) -: (x^2 - 25)/(x^2 - x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 5x + 6)`

   `= (x^2 + 5x - 3x - 15)/(x^2 + 4x - 3x - 12) -: (x^2 - 5^2)/(x^2 - 5x + 4x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 3x - 2x + 6)`

   `= (x(x + 5) - 3(x + 5))/(x(x + 4) - 3(x + 4) - 3(x + 4)) -: ((x + 5)(x - 5))/(x(x - 5) + 4(x - 5)) `

                                                                                            `xx (x - 2)/(x(x - 3) - 2(x - 3))`

 
 `= ((x + 5)(x - 3))/((x + 4) (x - 3)) -: ((x + 5)(x - 5))/((x - 5)(x + 4)) xx (x - 2)/((x - 3) (x - 2))`

  `= (x + 5)/(x + 4) xx (x + 4)/(x + 5) xx 1/(x - 3)`

  `= 1/(x - 3)`

     উত্তর: `1/(x - 3)`

 খ. `(x/(x - y) - x/(x + y)) -: (y/(x - y) - y/(x + y)) + ((x + y)/(x - y) + (x - y)/(x + y)) `

                                                            `-: ((x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y))`

   `= (x(x + y) - x(x - y))/((x - y)(x + y)) -: (y(x + y) - y(x - y))/((x - y)(x + y))`

                    `+ ((x + y)^2 + (x - y)^2)/((x - y) (x + y)) -: ((x + y)^2 - (x - y)^2)/((x - y) (x + y))`

   `= (x^2 + xy - x^2 + xy)/((x - y) (x + y)) -: (xy + y^2 - xy + y^2)/((x - y)(x + y))`

          `+ (x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2)/((x - y)(x + y)) -: (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2)/((x - y)(x + y))`

   `= (2xy)/((x - y)(x + y)) xx ((x - y)(x + y))/(2y^2) + (2x^2 + 2y^2)/((x - y)(x + y)) -: (4xy)/((x - y)(x + y))`

   `= x/y + (2(x^2 + y^2))/((x + y)(x - y)) xx ((x - y)(x + y))/(4xy)`

   `= x/y + (x^2 + y^2)/(2xy)`

   `= (2x^2 + x^2 + y^2)/(2xy)`

   `= (3x^2 + y^2)/(2xy)`

     উত্তর: `(3x^2 + y^2)/(2xy)`

 গ. `(x^2 + 2x - 3)/(x^2 + x - 2) -: (x^2 + x - 6)/(x^2 - 4)`

     `= (x^2 + 3x - x - 3)/(x^2 + 2x - x - 2) -: (x^2 + 3x - 2x - 6)/(x^2 - 2^2)`

     `= (x(x + 3) - 1(x + 3))/(x(x + 2) - 1(x + 2)) -: (x(x + 3) - 2(x + 3))/((x + 2)(x - 2))`

     `= ((x + 3)(x - 1))/((x + 2)(x - 1)) -: ((x + 3)(x - 2))/((x + 2)(x - 2))`

     `= (x + 3)/(x + 2) -: (x + 3)/(x + 2)`

     `= (x + 3)/(x + 2) xx (x + 2)/(x + 3)`

       = 1

         উত্তর: 1

 ঘ. `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab) xx ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) -:  (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

    `= ((a^2 + b^2)(a^2 - b^2))/(a^2 - 2ab + b^2) xx (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)/((a - b)(a^2 + ab + b^2) -: (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

    `= ((a - b)(a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)^2 xx (a^2 - 2ab + b^2)/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) xx (a^2 + ab + b^2)/(a + b)`

   `= ((a - b)(a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)^2 xx (a - b)^2/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) xx (a^2 + ab + b^2)/(a + b)`

   `= a^2 + b^2`

     উত্তর: ` a^2 + b^2`

    1. Report

  8. Question:`(a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2), (a - b)/(a^3 - b^3), (a + b)/(a^3 + b^3)` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. ১ম রাশিকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর।

  খ. দেখাও যে, রাশি তিনটির গুণফল `(a^2 + b^2)/(a^2 - ab + b^2)^2`

  গ. ১ম রাশিকে `(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)/((a + b)^2 - 4ab)` দ্বারা ভাগ করে 

     ভাগফলের সাথে `a^2/(a + b)` যোগ কর। 
    Answer
    ক. ১ম রাশি `= (a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2)`

             `= ((a^2)^2 - (b^2)^2)/(a - b)^2`

             `= ((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/((a - b)(a - b))`

             `= ((a^2 + b^2) (a + b) (a - b))/((a - b)(a - b))`

             `= ((a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)`

   নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ: `((a + b) (a^2 + b^2))/(a - b)` (Ans)


   খ. নির্ণেয় গুণফল 

           `= (a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2) xx (a - b)/(a^3 + b^3) xx (a + b)/(a^3 + b^3)`

           `= ((a^2 + b^2) (a + b) (a - b))/((a - b)(a - b)) xx (a - b)/((a + b) (a^2 - ab + b^2)) `

                                                                       `xx (a + b)/((a + b) (a^2 - ab + b^2))`

           `= (a^2 + b^2)/(a^2 - ab + b^2)^2` (Ans)



   গ. `{(a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2) -: (a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)/((a + b)^2 - 4ab)} + a^2/(a + b)`

      `= {((a^2)^2 - (b^2)^2)/(a - b)^2 -: (a^2(a + b) + b^2 (a + b))/(a - b)^2} + a^2/(a + b)`

      `= {((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/(a - b)^2 -: ((a + b) (a^2 + b^2))/(a - b)^2} + a^2/(a + b)`

      `= ((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/(a - b)^2 xx (a - b)^2/((a + b) (a^2 + b^2)) + a^2/(a + b)`

      `= (a^2 - b^2)/(a + b) + a^2/(a + b)`

     ` = (a^2 - b^2 + a^2)/(a + b)`

      `= (2a^2 - b^2)/(a + b)`

         উত্তর: `(2a^2 - b^2)/(a + b)`

    1. Report

  9. Question:`A = x^2 - 5x + 6, B = x^2 - 7x + 12`

 `C = x^2 - 9x + 20` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. `x/y` থেকে `(x + y)/y` এর বিয়োগ কর।

  খ. `1/B + 1/C` কে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর।

  গ. `1/A, 1/B, 1/C` কে সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 
    Answer
    ক. নির্ণেয় বিয়োগফল `= x/y - (x + y)/y`

                       `= (x - x - y)/y`

                       `= (-y)/y`

                         = - 1

              উত্তর: - 1

 
  খ. দেওয়া আছে, 

          `B = x^2 - 7x + 12` এবং `C = x^2 - 9x + 20`

        `:. 1/B + 1/C = 1/(x^2 - 7x + 12) + 1/(x^2 - 9x + 20)`

        `= 1/(x^2 - 4x - 3x + 12) +  1/(x^2 - 5x - 4x + 20)`

        `= 1/(x(x - 4) - 3(x - 4)) + 1/(x(x - 5) - 4(x - 5))`

        `= 1/((x - 3) (x - 4)) + 1/((x - 4)(x - 5))`

        `= (x - 5 + x - 3)/((x - 3)(x - 4)(x - 5))`

        `= (2x - 8)/((x - 3)(x - 4)(x - 5))`  (Ans)

  
  গ. `1/A = 1/(x^2 - 5x + 6)`

      `= 1/(x^2 - 3x - 2x + 6)`

      `= 1/(x(x - 3) - 2(x - 3))`

      `= 1/((x - 2) (x - 3))`

    `1/B = 1/(x^2 - 7x + 12)`

          `= 1/(x^2 - 4x - 3x + 12)`

          `= 1/(x(x - 4) - 3(x - 4))`

          `= 1/((x - 4)(x - 3))`

    এবং `1/C = 1/(x^2 - 9x + 20)`

              `= 1/(x^2 - 4x - 5x + 20)`

              `= 1/(x(x - 4) - 5(x - 4))`

              `= 1/((x - 4) (x - 5))`

         প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর `x^2 - 5x + 6, x^2 - 7x + 12` ও `x^2 - 9x + 20` 

        এর ল,সা,গু হলো (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)

        এখন, হরগুলোর ল,সা,গু/প্রথম ভগ্নাংশের হর

         `= ((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))/((x - 2) (x - 3))`

         `= (x - 4) (x - 5)`

      `:. 1/A = (1 xx (x - 4) (x - 5))/((x - 2)(x - 3)(x - 4) (x - 5))`

         `= ((x - 4)(x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`

           হরগুলোর ল,সা,গু/দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর


        `= ((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))/((x - 3) (x - 4))`

        `= (x - 2) (x - 5)`

     `:. 1/B = (1 xx (x - 2) (x - 5))/((x - 3) (x - 4) (x - 2) (x - 5))`

        `= ((x - 2) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`

      এবং হরগুলোর ল,সা,গু/তৃতীয় ভগ্নাংশের হর

          `= ((x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5))/((x - 4) (x - 5))`

          `= (x - 2) (x - 3)`

      `:. 1/C = (1 xx (x - 2) (x - 3))/((x - 4)(x - 5) xx (x - 2) (x - 3))`

               `= ((x - 2) (x - 3))/((x - 2) (x - 3)(x - 4)(x - 5))`

         :. নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো:

          `((x - 4) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`

          `((x - 2) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`

          `((x - 2) (x - 3))/((x - 2) (x - 3)(x - 4)(x - 5))` (Ans)

    1. Report

  10. Question:`A = x - 2, B = x^2 + 2x + 4, C = x^2 - 8` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

 ক. যোগফল নির্ণয় কর: `a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) + (a - b)/(ac)`

 খ. সরল কর: `1/A xx (x - 2)/B + (6x)/C`

 গ. প্রমাণ কর যে, `1/A xx (x + 2) -: (x + 2)/C = 1` 
    Answer
    ক. নির্ণেয় যোগফল 

       `= a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) + (a - b)/(ac)`

       `= (a^2 + b^2 + c^2 + b(a - b))/(abc)`

       `= (a^2 + b^2 + c^2 + ab - b^2)/(abc)`

       `= (a^2 + ab + c^2)/(abc)` (Ans)

 খ. দেওয়া আছে,

              A = x - 2

              B =` x^2 + 2x + 4`

              C =` x^3 - 8`

                 =` x^3 - 2^3`

                 =` (x - 2) (x^2 + 2x + 2^2)`

                 = `(x - 2) (x^2 + 2x + 4)`

  প্রদত্ত রাশি,`= 1/A xx (x - 2)/B + (6x)/C`

                =` 1/(x - 2) xx 1/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/((x - 2) (x^2 + 2x + 4))`

                =` 1/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/((x - 2)(x^2 + 2x + 4))`

                =` (x - 2 + 6x)/((x - 2)(x^2 + 2x + 4))`

                =` (7x - 2)/(x^3 - 8)` (Ans)


  গ. বামপক্ষ `= 1/A xx (x + 2)/B -: (x + 2)/C`

               `= 1/(x - 2) xx (x + 2)/(x^2 + 2x + 4) -: (x + 2)/(x^3 - 8)`

               `= (x + 2)/((x - 2) (x^2 + 2x + 4) xx (x^3 - 8)/(x + 2)`

               `= (x^3 - 8)/(x^3 - 2^3)`

               `= (x^3 - 8)/(x^3 - 8)`

                 = 1

                 = ডানপক্ষ

             `:. 1/A xx (x + 2)/B -: (x + 2)/C = 1`  (প্রমাণিত)

    1. Report

  11. Question:`A = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12), B = (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7),`

`C = (x^2 + 12x + 35)/(x^2 + 4x - 5)` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

 ক.  A কে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করো।

 খ.  A + B কে সরল করো।

 গ. দেখাও যে, `B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1) = 1/(x - 3)` 
    Answer
    ক.`A = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12)`

       `= (x^2 + 4x - x - 4)/(x^2 + 4x + 3x + 12)`

       `= (x(x + 4) - 1 (x + 4))/(x(x + 4) + 3(x + 4))`

       `= ((x + 4)(x - 1))/((x + 4)(x + 3))`

       `= (x - 1)/(x + 3)`  (Ans)


  খ. `A + B = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7)`

      `= (x - 1)/(x + 3) + (x^2 + 3x - x - 3)/(x^2 + 7x - x - 7)` [ক থেকে]

      `= (x - 1)/(x + 3) + (x(x + 3) - 1(x + 3))/(x(x + 7) - 1(x + 7))`

      `= (x - 1)/(x + 3) + ((x + 3) (x - 1))/((x + 7)(x - 1))`

      `= (x - 1)/(x + 3) + (x + 3)/(x + 7)`

      `= ((x - 1)(x + 7) + (x + 3)^2)/((x + 3) (x + 7))`

      `= (x^2 + 7x - x - 7 + x^2 + 6x + 9)/(x^2 + (3 + 7)x + 3.7)`

      `= (x^2 + 6x - 7 + x^2 + 6x + 9)/(x^2 + 10x + 21)`

      `= (2x^2 + 12x + 2)/(x^2 + 10x + 21)`  (Ans)


 গ. বামপক্ষ` = B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1)`

    `= (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7) xx (x^2 + 12x + 35)/(x^2 + 4x - 5) -: (x^2 - 9)/(x - 1)`

    `= (x^2 + 2x - 2)/(x^2 + 7x - x - 7) xx (x^2 + 7x + 5x + 35)/(x^2 + 5x - x - 5) -: (x - 1)/(x^2 - 9)`

    `= (x^2 + 2x - 2)/(x(x + 7) - 1(x - 7)) xx (x(x + 7) + 5(x + 7))/(x(x + 5) - 1(x + 5)) xx (x - 1)/(x^2 - 3^2)`

    `= (x^2 + 2x - 2)/((x + 7) (x - 1)) xx ((x + 7)(x + 5))/((x + 5)(x - 1)) xx (x - 1)/((x + 3)(x - 3))`

    `= (x^2 + 2x - 3)/((x - 1)(x + 3)(x - 3))`

    `= (x^2 + 2x - 3)/((x^2 + 3x - x - 3)(x - 3))`

    `= (x^2 + 2x - 3)/((x^2 + 2x - 3)(x - 3))`

    `= 1/(x - 3)`

      = ডানপক্ষ

    `:. B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1) `

            `= 1/(x - 3)` (প্রমাণিত)

    1. Report
First1213141516Last
/21
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd