Question:৫.> (খ). 0.35 
     গ.   0.13
     ঘ.   3. 78
     ঙ.   6.2309 

খ. প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 

   = 0.35

 `= (35 - 0)/(99)`

 `= (35)/(99)`

 :. নির্ণেয় ভগ্নাংশ `= (35)/(99)`

 গ.  প্রদত্ত আবৃত ভগ্নাংশ   

    = 0.13

  `= (13 - 1)/(90)`

  `= (12)/(90)`

  `= 2/(15)`

 :. নির্ণেয় ভগ্নাংশ `= 2/(15)`

 ঘ. প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 
 
    = 3.78

  `= (378 - 37)/(90)`

  `= (341)/(90)`

  `= 3 (71)/(90)`

 :. নির্ণেয় ভগ্নাংশ` 3 (71)/(90)`

 ঙ. প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 

    = 6.2309

  `= (62309 - 62)/(9990)`

  `= (62247)/(9990)`

  `= (20749)/(3330)`

  `= 6 (769)/(3330)`

 :. নির্ণেয় ভগ্নাংশ `= 6 (769)/(3330)`

Question:৬.> সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশের প্রকাশ কর: 
   ক. 2.3, 5.235

   খ. 7.26, 4.237

   গ.  5.7, 8.34, 6.245 

   ঘ.  12.32, 2.19, 4.3256 

ক. 2.3, 5.235 আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 

   যথাক্রমে o, 1, এখানে অনাবৃত্ত অংশে অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে 

   বেশি 1 বার আছে। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক হবে 1,

   আবার আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 2 এর ল,সা, গু হলো 2.

   সুতরাং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক হবে 2।   

  :. 2.3 = 2.333 এবং 5.235 = 5.235

   Ans. 2.333, 5.235


 খ. 7.26, 4.237 আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

     সংখ্যা 1 ও 2 এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে 

     বেশি বার 2 আছে। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

     সংখ্যা 2 হবে। আবার আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 1 

     এর ল. সা. গু হলো 1। সুতরাং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 হবে।

     7.26 = 7.266 এবং 4.237 = 4.237

     Ans. 7.266, 4.237

 গ. 5.7, 8.34, 6.245 আবৃত্ত দশমিকে সবগুলো অনাবৃত্ত অংশের 

    অঙ্ক সংখ্যা 0। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 0 । আবার 

    আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1, 2 ও 3 এর ল..সা.গু হলো । সুতরাং

    আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6।

    :. 5.7 = 5.777777, 8.34 = 8.343434 এবং 6.245 = 6.245245

  Ans. 5.777777, 8.343434, 6.245245

 ঘ. 12.32, 2.19 এবং 4.3256 আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত 

    অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2, 1 2 এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

    সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 2 বার আছে। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত 

    অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে। আবার আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 

    0, 1 ও 2 এর ল.সা.গু গলো 2। সৃতরাং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

    সংখ্যা হবে 2।

   :. 12.32 = 12.3200, 2.19 = 2.1999 এবং 4.3256 = 4.3256

   Ans. 12.3200, 2.1999, 4.3256

Question:৭.> যোগ কর: অনুশীলনী-১

   ক. 0.45 + 0.134

   খ. 2.05 + 8.04 + 7.018

   গ. 0.006 + 0.92 + 0.0134 

ক. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক হবে এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক হবে।

    :. নির্ণেয় যোগফল

 খ. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে।

     :. নির্ণেয় যোগফল 

 গ. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে। আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে। এর ল.সা.গু ।

     :. নির্ণেয় যোগফল

Question:৯.> গুণ কর: 

   ক.` 0.3 xx 0.6`

   খ.` 2.4 xx 0.81`

   গ.` 0.62 xx 0.3`

   ঘ. `42.18 xx 0.28` 

ক. 0.3` = (3 - 0)/9`

         `= 3/9 = 1/3`

 এবং 0.6` = (6 - 0)/9` 

           `= 6/9 = 2/3`

           :.` 0.3 xx 0.6` 

          `= 1/3 xx 2/3`

         ` = 2/9`  

            = 0.2  

   :. নির্ণেয় গুলফল = 0.2

      

  খ.  2.4`= (24 - 2)/9`

          `= (22)/9`

 এবং 0.8 `= (81 - 0)/(99)`

           `= (81)/(99)`

           `= 9/(11)`

 :. `2.4 xx 0.81 = (22)/9 xx 9/(11) = 2`

 :. নির্ণেয় গুণফল = 2

  গ. `0.62 = (62 - 6)/(90)`

             `= (56)/(90)`

             `= (28)/(45)`

   0.3 ` = (3 - 0)/9 `

         `= 3/9 = 1/3`

 :. `0.62 xx 0.3 = (28)/(45) xx 1/3`

                      `= (28)/(45 xx 3)`

                     ` = (28)/(135)`

                     ` = 0.2074074`.........

                     ` = 0.2074`

     নির্ণেয় গুণফল = 0.2074

  ঘ.  42.18`= (4218 - 42)/(99)`

              `= (4176)/(99)`

    0.28` = (28 - 2)/(90)`

            `= (26)/(90)`

 :. `42.18 xx 0.28 = (4176)/(99) xx (26)/(90)`

                         `= (464)/(11) xx (13)/(45)`

                         `= (464 xx 13)/(11 xx 45)`

                         `= (6032)/(495)`

                           = 12.1858585....

                           = 12.185

     :. নির্ণেয় গুণফল = 12.185

Question:১০.> ভাগ কর: 

     ক. `0.3 -: 0.6`

     খ. `0.35 -: 1.7`

     গ. `2.37 -: 0.45`

     ঘ. `1.185 -: 0.24` 

ক. `0.3 = (3 - 0)/9`

         ` = 3/9`

         ` = 1/3`

    `0.6 = (6 - 0)/9`

         `= 6/9`

         `= 2/3`

  :. `0.3 -: 0.6 = 1/3 -: 2/3`

                   `= 1/3 xx 3/2`

                   `= 1/2 = 0.5`

           :. নির্ণেয় ভাগফল = 0.5

 
 খ. `0.35 = (35 - 3)/(90)`

             `= (32)/(90)`

             `= (16)/(45)`

      `1.7 = (17 - 1)/9`

            `= (16)/9`

     :. `0.35 -: 1.7 = (16)/(45) -: (16)/(45) xx 9/(16)`

                       `= 1/5`

                        = 0.2

       নির্ণেয় ভাগফল = 0.2


 গ. `2.37 = (237 - 23)/(90)`

            `= (214)/(90)`

     `0.45 = (45 - 4)/(90)`

            `= (41)/(90)`

   :.` 2.37 -: 0.45 = (214)/(90) -: (41)/(90)`

                        `= (214)/(90) xx (90)/(41)`

                        `= (214)/(41)`

                        `= 5.2195121951`

                        `= 5.211951`

              নির্ণেয় ভাগফল = 5.21951

   ঘ.  `1.185 = (1185 - 1)/(999)`

               ` = (1184)/(999)`

      `0.24 = (24 - 0)/(99)`

           ` = (24)/(99)`

    :. `1.185 -: 0.24 = (1184)/(999) -: (24)/(99)`

                         `= (1184)/(999) xx (99)/(24)`

                         `= (148)/(111) xx (11)/3`

                         `= (148 xx 11)/(111 xx 3)`

                        ` = (1628)/(333)`

                         `= 4.888`

                         `= 4.8`

          নির্ণেয় ভাগফল = 4.8

Question:১১.> বর্গ মূল নির্ণয় কর (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত) এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত 
 বর্গমূলগুলোর আসন্ন মান লেখ:
 ক. 12
    
 খ. 0.25

 গ. 1.34

 ঘ.  5.1302 

ক. 12-এর বর্গমূল = √12

  এখানে, 3|12.00 00 00|3.464
                9
             ______
              64|300
                   256
                 ____
                  686|4400
                         4116
                     ______
                  6924|28400
                          27696
                        _______
                           704

              অতএব, 12-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 3.464 
        
              এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 3.46

          :. নির্ণেয় বর্গমূল = 3.464, 3.46 (আসন্ন)



  খ. 0.25-এর বর্গমূল = √0.25

         এখানে, 5|0.252525...|0.502
                        25
                     ________
                  1002| 2525
                           2004
                          _____
                           521


        অতএব 0.25-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 0.502 

        এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 0.50

      :. নির্ণেয় মান = 0.502, 0.50 (আসন্ন)

  
   গ.  1.34-এর বর্গমূল = √1.34

         1.34 = 1.344444.......

 এখানে,1|1.34 44 44.......|1.159
            1
           _________
            21|34
                 21
              ______
              225|1344
                    1125
                  ________
                2309|21944
                        20781
                      _______
                        1163 

    অতএব, 1.34-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 1.159

    এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 1.16

    :. নির্ণেয় বর্গমূল = 1.159, 1.16 (আসন্ন)

 
  ঘ.  5.1302-এর বর্গমূল = √5.1302

       5.1302 = 5.130230......

               2|5.130230.....|2.265
                  4
                  ___________
               42|113
                      ________
                 446|2902
                       2676
                      ______
                    4525|22630
                            22625
                            ______
                                   5

           অতএব, 5.1302-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.265

           এবং দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.27

         :. নির্ণেয় বর্গমূল = 2.265, 2.27 (আসন্ন)

Question:১২.> নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লেখ: 
 ক. 0.4   খ. √9      গ. √11    ঘ. `sqrt(6)/3`

  ঙ. `sqrt(8)/sqrt(7)`  চ. `sqrt(27)/sqrt(48)`

  ছ. `3/(3/7)`  জ. 5.639 

ক. `0.4 = 4/9`

    :. 0.4 সংখ্যাটি মূলদ।


 খ. `sqrt(9) = sqrt(3 xx 3)`

             `= sqrt(3)^2 = 3`

            `:. sqrt(9)` সংখ্যাটি মূলদ।

 গ. `sqrt(11)`

      যেহেতু 11 পৃর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।

      :. `sqrt(11)` সংখ্যাটি অমূলদ।


 ঘ. `sqrt(6)/3 = sqrt(3 xx 2)/(sqrt(3))^2`

                 `= sqrt(3) xx sqrt(2)/sqrt(3) xx sqrt(3)`

                 `= sqrt(2)/sqrt(3)`

                 `= sqrt(2/3)`

               যেহেতু `2/3` পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

            :. `sqrt(6)/3` সংখ্যাটি অমূলদ।

 ঙ. `sqrt(8)/sqrt(7) = (sqrt(2) xx sqrt(4))/sqrt(7)`

         `= sqrt(2 xx sqrt(2)^2)/sqrt(7)`

         `= (2sqrt(2))/sqrt(7)`

         `= 2sqrt(2/7)`

          যেহেতু `2/7` পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

       :. `sqrt(8)/sqrt(7)` সংখ্যাটি অমূলদ।

   
 চ. `sqrt(27)/sqrt(48) = sqrt(3 xx sqrt(9))/sqrt(3 xx sqrt(16))`

          = `sqrt(9)/sqrt(16)`

        `= 3/4`

        `:. sqrt(27)/sqrt(48)`  সংখ্যাটি মূলদ।

 ছ.  `2/3/3/7 = 2/3 -: 3/7`

                `= 2/3 xx 7/3`


 জ. `5.637 = (5639 - 5)/(999)`

               `= (5634)/(999)`

               `= (626)/(111)`

            :. সংখ্যাটি মূলদ।

                `= (14)/9`

               :. সংখ্যাটি মূলদ।

Question:১৩.> সরল কর: 
   ক. `(0.3 xx 0.83) -: (0.5 xx 0.1) + 0.35 -: 0.08`

   খ. `[(6.27 xx 0.5) -: {(0.5 xx 0.75) xx 8.36}]`

      `-: {(0.25 xx 0.1) xx (0.75 xx 21.3) xx 0.5}` 

ক.  `(0.3 xx 0.83) -: (0.5 xx 0.1) + 0.35 -: 0.08`
  
      `= ((3/9) xx (83 - 8))/(90) -: (5/(10 xx 1/9)) + (35 - 3)/(90) -: 8/(90)`

      `= (1/3 xx (75)/(90)) -: 5/(90) + (32)/(90) -: 8/(90)`

      `= 5/(18) -: 5/(90) + (32)/(90) xx (90)/8`

      `= 5/(18) xx (90)/5 + 4`

        = 5 + 4

        = 9

   :. নির্ণেয় সরলফল = 9 




  খ.` [(6.27 xx 0.5) -: {(0.5 xx 0.75) xx 8.36}]`

         `-: {(0.25 xx 0.1) xx (0.75 xx 21.3) xx 0.5}`

    
     `= [((627)/(100) xx 5/(10)) -: {(5/(10) xx (75)/(100)) xx (836)/(100)}] `

      
         `-:{((25)/(100) xx 1/(10) xx ((75)/(100) xx (213 - 21)/9) xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: {3/8 xx (836)/(100)}] -: {1/(40) xx 3/4 xx (192)/9 xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: (627)/(200)] -: {1/(40) xx 16 xx 1/2}`

     `= [(627)/(200) xx (200)/(627)] -: 1/5`

     `= 1 -: 1/5 = 1 xx 5 = 5`

     :. নির্ণেয় সরলফল = 5

Question:১৪.> `sqrt(5)` ও 4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।

   ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ সংখ্যা নির্দেশ কর।

   খ. `sqrt(5)`ও 4 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

   গ. প্রমাণ কর যে, `sqrt(5)` একটি অমূলদ সংখ্যা। 

ক. যেহেতু 5 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 

    সেহেতু `sqrt(5)` সংখ্যাটি অমূলদ।

     `4 = 4/1` যা মূলদ  [`p/q` আকারে লেখা যায়]

      :. 4 সংখ্যাটি মূলদ।

 
 খ. এখানে, `sqrt(5)` = 2.236067........

      মনে করি, a = 2.4040040004.......

          এবং b = 2.5050050005........

    স্পষ্টত a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই `sqrt(5)`অপেক্ষা বড়

     ও  4 অপেক্ষা ছোট।

     অর্থাৎ`sqrt(5) <a <4` এবং `sqrt(5) <b <4`

     আবার a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

      :. a ও b নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় যেখানে উভয় সংখ্যাই অমূলদ।

      [ বি:দ্র: এভাবে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যাবে। ]

 
  গ.   আমরা জানি, 4 <5 <9

       `:. sqrt(4) < sqrt(5) < sqrt(9)`

        বা, `2< sqrt(5) <3`

      `:. sqrt(5),` 2 থেকে বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

        অতএব`sqrt(5)` পূর্ণ সংখ্যা নয়।

       `:. sqrt(5)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। 

         যদি`sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা হয় তবে

         ধরি `sqrt(5) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

          সহমৌলিক এবং  q>1।

          বা, `5 = p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `5q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা ভাগ করে]

           স্পষ্টত, `5q` পূর্ণ সংখ্যা।

           কিন্তু `p^2/q`পূর্ণ  সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা 

                 সহমৌলিক এবং q>1।

           সুতরাং`p^2/q`, 5q এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`5q != p^2/q`

            অতএব, `sqrt(5)` এর মান `p/q` এর আকারের কোনো সংখ্যাই হতে

            পারে না, অর্থাৎ `sqrt(5) != p/q`

           `:. sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা নয়।

              সুতরাং `sqrt(5)` অমূলদ সংখ্যা।

Question:1.>`a = sqrt(5), b = sqrt(27/3), c = sqrt(6),` d = π

  ক. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সনাক্ত কর।

  খ. প্রমান কর যে, c একটি অমূলদ সংখ্যা।

  গ. b ও d এর মাঝে দুইটি মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে,

             `a = sqrt(5), b = sqrt(27/3), c = sqrt(6), d = π`

    এখানে, `b = sqrt(27/3) = sqrt(9) = 3`যা একটি পূর্ণসংখ্যা।
 
     মূলদ সংখ্যা = b ও অমূলদ সংখ্যা = a, c, d




   খ.  আমরা জানি, `4<6<9`

                `:. sqrt(4) <sqrt(6) <sqrt(9)`

               বা, `2<sqrt(6) <3`

               সূতরাং,`sqrt(6)`এর মান 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

              অতএব, `sqrt(6)`পূর্ণ সংখ্যা নয়।

              `:. sqrt(6)` মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

              যদি, `sqrt(6)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

              ধরি, `sqrt(6) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

                     সহমৌলিক এবং `q>1`

               বা, `6 = p^2/q^2` [বর্গ] করে 

               বা, `6q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে ]

               স্পষ্টত: 6q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q

               স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q>1`।

               সুতরাং 6q এবং `p^2/q`সমান হতে পারে, অর্থাৎ, `6q != p^2/q`

               `:. sqrt(6)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

                অর্থাৎ `sqrt(6) != p/q`

                সুতরাং `sqrt(6)`

                 `:. sqrt(6)`অমূলদ সংখ্যা।

 

 গ.    দেওয়া আছে, `b = sqrt(27/3)` = 3; d = π = 3.14159.........

           b ও d এর মাঝে দুইটি মূলদ সংখ্যা:

          (i) 3.1 বা `(31)/(10)`

         (ii) 3.12 বা `(78)/(25)`

          b ও d এর মাঝে দুইটি অমূলদ সংখ্যা:

          মনে করি,

          x = 3.01001000100001...........

          y = 3.101001000100001.....

          স্পষ্টত: x ও y উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 3

          অপেক্ষা বড় এবং 3.14159....... অপেক্ষা ছোট।

          অর্থাৎ 3<3.01001000100001.....<3.14159.......

          এবং  3<3.101001000100001......<3.14159......

           আবার,  x ও y কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

           :. x ও y দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।