বাস্তব সংখ্যা

  2. Question:২.> 1.23, 0.1052 ও 5.3952 তিনটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

 ক. প্রথম দশমিক ভগ্নাংশটিকে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

 খ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে

     যোগ কর।

 গ. শেষ ভগ্নাংশটিকে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।

     এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূলের আসন্ন মান নির্ণয় কর। 
    Answer
    ক. প্রথম দশমিক ভগ্নাংশ হলো 1.23

      সুতরাং `1.23 = (123 - 12)/(90)`

                   ` = (111)/(90)`

                   ` = (37)/(30)`

                   ` = 1 (7)/(30)`

      :. 1.23 কে সামান্য দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত 

      করা হলো `1 (7)/(30)`


 খ.  1.23, 0.1052, 5.3952 আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

     সংখ্যা 1, 2 1. এখানে অনাবৃত্তর অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 

     আছে 2 বার। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2। আবার 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1, 2, 3 এর ল.সা.গু 6। সুতরাং আবৃত্ত 

      অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6

       1.23                = 1.23333333.|33

       0.1052            =  0.10525252.|52

       5.3952            =  5.39529529.|52
     ------------------------------------------
                             = 6.733881151.|37

    :. নির্ণেয় যোগফল 6.73388115 (Ans)


  গ.  শেষ ভগ্নাংশটি = 5.3952 = 5.39529529

          এখানে, 2|5.39529529|2.3227

                      4
                   -------------------
                  43|139

                       126
                    ----------------
                   462|1052

                            924
                       -----------------
                     4642|12895

                                9284
                           -------------
                       46447|361129

                                 325129
                              --------------
                                   36000

        অতএব 5.3952 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.3227

        এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.323

       :. নির্ণেয় বর্গমূল 2.3227, 2.323

    1. Report

  3. Question:৩.> `3/4, 5, - 7, 0.323, 0,1, 9/7, 12, 2 4/5, 1.1234......sqrt(3)`

   সকলেই বাস্তব সংখ্যা।

   ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা আলাদা কর।

   খ. সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাসের অবস্থান দেখাও।

   গ. দেখাও যে, উদ্দীপকের শেষ সংখ্যাটি একটি অমূলদ সংখ্যা। 
    Answer
    ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে মূলদ সংখ্যা হলো:

    `3/4, 5, - 7,0.323,0,1,9/7, 12, 2 4/5`

     সংখ্যাগুলোর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা হলো 1.1234...........`sqrt(3)`


 খ.

    1. Report

  4. Question:৪.> 1.723, 0.0025, 2.1356124.....,0.0105105.....

     0.450123....0.41

     ক. উপাত্তের কোনগুলো সসীম দশমিক ভগ্নাংশ?

     খ. ভগ্নাংশগুলোকে কারণসহ শ্রেণীবিন্যাস কর।

     গ. শ্রেণী বিন্যাস প্রাপ্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে

        রুপান্তর কর। 
    Answer
    ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে সসীম দশমিক সংখ্যা হচ্ছে 1.723, 0.0025

 খ. 1.723,0.0025 সংখ্যাদ্বয় সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ দশমিক,

     ‍বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা ‍নির্দিষ্ট।

     2.1356124  সংখ্যাগুলো অসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ, দশমিক 

     বিন্দুর ডানদিকে অঙ্কগুলো নয় এবং অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্ত হচ্ছে না।

     0.0105105........ 0.41 সংখ্যাগুলো আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 

     কারণ দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কগুলো বা অংশবিশেষ পুনরাবৃত্ত হচ্ছে।

 গ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো 0.0105105..... 0.41

     এখন, 0.0105105.... = 0.0105 `= (105 - 0)/(9990)`

       `= (105)/(9990) = 7/(666)`

      এবং `0.41 = (41 - 0)/(99) = (41)/(99)`

    1. Report

  5. Question:৫.> 2.01243, 7.5256; 2.097, 5.12768 দুই জোড়া আবৃত্ত

     দশমিক ভগ্নাংশ।

   ক.প্রথম জোড়া ভগ্নাংশকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে প্রকাশ কর।

   খ. প্রথম জোড়া ও ‍দ্বিতীয় জোড়া ভগ্নাংশগুলোকে আলাদা করে 
    Answer
    ক. 2..01243 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3।

    7.5256 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2।

     এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 

     হলো 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3 ও 2 এর ল.সা,গৃ হলো 6।

     সুতরাং, প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6।

     2.01243 = 2.01243243

     7.5256 = 7.52565656

     :. আবৃত্ত দশমিকসমৃহ = 2.01243243, 7.52565656 (Ans)


 

 খ. এখানে,    2.01243 = 2.01243243|24

                 7.5256  = 7.52565656|56
               --------------------------------
                             = 9.53808899|80


      :. প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899

       ‍দ্বিতীয় জোড়া  ‍2.097 ও 5.12768

      প্রদত্ত সংখ্যাগুলোতে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

      আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 3 এর ল.সা,গু 6।

      নিম্নে দশমিক সংখ্যাগুলোকে সদৃশ করে যোগ করা হলো।

      2.097           = 2.09797979|79

      5.12768       = 5.12768768|76
    ---------------------------------------
                         = 7.22566784|55

     :.  দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল = 7.22566784 (Ans)

 গ. এখন প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899|80

     দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল      = 7.22566784|56
                              ---------------------------
                                   = 2.31242151|24    (Ans)

    1. Report

  6. Question:৬.> 22.0394 ও 9.12645; 1.13 ও 2.6 দুই জোড়া দশমিক ভগ্নাংশ।

   ক. ১ম জোড়ার বিয়োগফল কত?

   খ. ২য় জোড়ার গুণফল কত?

   গ. প্রাপ্ত বিয়োগফলকে প্রাপ্ত গুণফল দ্বারা ভাগ করে ভাগফল নির্ণয় কর। 
    Answer
    ক. প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ে অনাবৃত্ত অংশের সর্বোচ্চ অঙ্ক সংখ্যা 2 এবং আবৃত্ত 

   অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 3 এর ল.সা,গু 6

   নিচের দশমিক সংখ্যা দুইটিকে সদৃশ করে বিয়োগ করা হলো।

   23.0394     = 23.03949494|94

   9.12645     =  9.12645645 |64
             ------------------------------
                   = 13.91303849 |30


     :. বিয়োগফল = 13.91303849 (Ans)


খ.`1.13 = (113 - 11)/(90)`

           `= (102)/(90)`

           `= (17)/(15)`

     `2.6  = (26)/(10)`

          ` = (13)/5`

  `:. 1.13 xx 2.6 = (17)/(15) xx (13)/5`

                      `= (221)/(75)`

                        = 2.94666....

                        = 2.946

              :. গুণফল = 2.946

 গ. ১ম জোড়ার ‍বিয়োগফল =13.91303849

     ২য় জোড়ার গুণফল    = 2.946

    এখানে, 13.91303849`= (1391303849 - 1391)/(999999)`

                              ` = (1391302458)/(999999)`

      এবং 2.946 `=(2946 - 294)/(900)`

                    `= (2652)/(900)`

     `:. (1391302458)/(999999) -: (2652)/(900)`

      `= (1391302458)/(999999) xx (900)/(2652)`

        = 472.16194 (Ans)

    1. Report

  7. Question:৭.> 1, 3, 5, 7, 9........ইত্যাদি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     ক. সংখ্যাগুলোকে একটি সাধারণ রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর।

     খ. দেখাও যে, প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

     গ. দেখাও যে, প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে

         প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 থাকে। 
    Answer
    ক. ১ম সংখ্যা   =` 1 = 2 xx 1 - 1`

            ২য় সংখ্যা   =` 3 = 2 xx 2 - 1`

            ৩য় সংখ্যা   =` 5 = 2 xx 3 - 1`

            ৪র্থ সংখ্যা  =` 7 = 2 xx 4 - 1`

           ......................................

           ......................................

          n তম সংখ্যা = `2 xx n - 1 = 2n - 1`

          নির্ণেয় সাধারণ রাশি (2n - 1) যেখানে ` n in NN`

          উত্তর:  (2n - 1)

 খ. ’ক’ হতে পাই, উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোর সাধারণ রাশি = 2n - 1

     যেখানে `n in NN`

     এখানে প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা দেখানোর জন্য এটা প্রমাণ 

      করাই যতেষ্ট হবে যে, `(2n - 1)^2` একটি বিজোড় সংখ্যা।

      এখন, `(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1`

                               = `4n^2 - 4n + 2 - 1`

                               = `2(2n^2 - 2n + 1) - 1`

                               =` 2m - 1 [2n^2 - 2n + 1 = m`ধরে যেখানে `m in NN`]

             m এর যেকোনো মানের জন্য 2m - 1 একটি বিজোড় সংখ্যা।

             সুতরাং প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

   গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।

       ধরি, x যেকোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

       :. x = 1 হলে, `x^2 = 1^2 = 1` যাকে 8 দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       এখন x > 1 হলে, x = 2n + 1 লেখা যায় যেখানে `n in NN`.

          `:. x^2 = (2n + 1)^2`

                    `= 4n^2 + 4n + 1`

                   ` = 4n(n + 1) + 1` 


       এখানে n এবং n + 1 রাশি দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং এদের মধ্যে 

       একটি জোড় সংখ্যা হবেই।

       :. 4n(n + 1) রাশিটি `4 xx 2` বা, 8 দ্বারা বিভাজ্য। ফলে 4n(n + 1) + 1 রাশিটিকে 

        দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       অতএব প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

    1. Report

  8. Question:স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো ইত্যাদি

 ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো লিখ।

 খ. প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. প্রমাণ কর যে, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে

     যোগফল একটি র্পণবর্গ সংখ্যা হবে। 
    Answer
    ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 4, 6, 8ইত্যাদি।

 খ. মনে করি, x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

     :. 2x হবে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     এখন 2x, 2x + 2  দুইটি ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা

      তাহলে 2x(2x + 2) = 2.2x(x + 1) = 4x(x + 1)

       যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে দুইটি x (x + 1)

       ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, যেখানে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। 

       ফলে x(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা হবে।

       মনে করি x(x + 1) = 2m যেখানে m স্বাভাবিক সংখ্যা।

       4x(x + 1) `= 4 xx 2m`

        বা 2x(2x + 2) = 8m যা 8 দ্বারা বিভাজ্য

       অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. মনে করি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে

     x, x + 1, x + 2, x + 3

     ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,

     x(x + 1) (x + 2 (x + 3) + 1

     = x(x + 3) (x + 1) (x + 2) + 1

     = `(x^2 + 3x) (x^2 + 3x + 2) + 1`

     = a(a + 2) + 1; `[x^2 + 3x = a]`

     =` a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2`

     = `(x^2 + 3x + 1)^2`  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার 

     :.চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলে সাথে 1 যোগ করলে যোগফল 

     একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

    1. Report

  9. Question:৯. `(m^2 + 3m + 1)^2` একটি পূর্ণ বর্গ রাশি এবং `m in NN` 

  ক. রাশিটির চলকের সর্বোচ্চ ঘাত কত?

  খ. প্রাপ্ত রাশি থেকে 1 বিয়োগ করলে রাশিটি চারটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল আকারে 

     প্রকাশিত হয়। ক্রমিক সংখ্যাগুলো নির্ণয় কর।

  গ. যদি m<10 হয় তবে m এর কোন মানের জন্য রাশির বর্গমূলের মান যৌগিক 

      সংখ্যা হবে? 
    Answer
    ক. প্রদত্ত রাশি =`(m^2 = 3m + 1)^2`

                = `m^4 + 9m^2 + 1 + 6m^3 + 6m + 2m^2`

                = `m^4 +6m^3 + 11m^2 + 6m + 1`

         প্রদত্ত রাশির চলক m এর সর্বোচ্চ ঘাত 4


  খ. প্রদত্ত রাশি থেকে 1 বাদ দিলে রাশিটি দাড়ায়

                =` (m^2 +3m + 1)^2 - 1`

                =` (m^2 + 3m + 1)^2 - (1)^2`

                =`(m^2 + 3m + 1 + 1) (m^2 + 3m + 1 -1)`

                =` (m^2 + 3m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` (m^2 + 2m + m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` {m(m + 2) + 1(m + 2)} m(m + 3)`

                =` m(m + 1) (m + 2) (m + 3)`

      যেহেতু `m in NN` সুতরাং  m(m + 1), (m + 2) (m + 3)

        চারটি ক্রমিক সংখ্যা।

           Ans: m, m + 1, m + 2, m + 3

  গ. প্রদত্ত রাশির বর্গমূল =`sqrt((m^2 + 3m + 1)^2)`

                          =` m^2 + 3m + 1`

      :. `(m^2 + 3m + 1)` m = 1, 2.....9 পর্যন্ত মানগুলো বসিয়ে পাই,

          m = 1 হলে `(1^2 + 3 xx 1 + 1)` = 5 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 2 হলে `(2^2 + 3 xx 2 + 1)` = 11  যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 3 হলে` (3^2 + 3 xx 3 + 1)` = 19 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 4 হলে` (4^2 + 3 xx 4 + 1)` = 29 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 5 হলে` (5^2 + 3 xx 5 + 1)` = 41 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 6 হলে` (6^2 + 3 xx 6 + 1)` = 55 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

       :. m = 6 হলে প্রদত্ত রাশির বর্গমূল একটি যৌগিক সংখ্যা।

        (Ans): 6

    1. Report

  10. Question:১০. `5/(12), sqrt(7), 0.735, 3.456, 16.457, sqrt(8), 2.036` কয়েকটি

      ধনাত্নক সংখ্যা।

     ক. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলো থেকে মূলদ সংখ্যা লিখ।

     খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিকে প্রকাশ করে যোগফল নির্ণয় কর।

     গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো থেকে দুইটি অমূলদ সংখ্যা বাছাই করে এদের মধ্যে একটি মূলদ ও 

       একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। 
    Answer
    ক. মূলদ সংখ্যা হলো; `5/(12), 0.735, 3.456, 16.457, 2.036 ` (Ans)

 খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো হলো: 3.456, 16.457

    আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিকে প্রকাশ করে যোগ করা হলো:

    3.456 = 3.4564564|56

  16.457 = 16.4575757|57
--------------------------------
 যোগফল   = 19.9140322|13

     উত্তর: 19.9140322


  গ. অমূলদ সংখ্যা দুইটি হলো:` sqrt(7), sqrt(8)`

     এখানে, `sqrt(7) = 2.6457513`

              `sqrt(8) = 2.8284271` 

     এখন a = 2.7305 একটি মূলদ

     এবং b = 2.7306006.......একটি অমূলদ সংখ্যা বিবেচনা করি।

     স্পষ্টতই `sqrt(7) <a < sqrt(8)`

      এবং `sqrt(7) < b <sqrt(8)`

   :. নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা = 2.7305

      এবং অমূলদ সংখ্যা = 2.7306006......

       Ans: 2.7305, 2.7306006.........

    1. Report

  11. Question:১১. `0.438 sqrt(10)/2`

   ক. সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যা লিখ;

      যেখানে অমূলদ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল।

   খ. প্রাপ্ত মূলদ ও প্রথম সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যার অনুপাত আকারে লিখ ও ভগ্নাংশ দুইটি 

      কিরুপ?

   গ. সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা নাও ও প্রমাণ কর। 
    Answer
    ক. এখানে, 0.438 = 0.4383838............

      এবং` sqrt(10)/2 `= 1.581138.........

      আবার পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল` sqrt(2)` = 1.4142.........

      0.438 ও `sqrt(10)/2` সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা 0.458 ও

      একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)` (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে প্রাপ্ত মূলদ সংখ্যা = 0.458

                                =` (458)/(1000)`

                                =` (229)/(500)`

       এবং 0.438 = `(438 - 4)/(990)`

                     =` (434)/(990)`

                     =` (217)/(495)`

        ১ম ভগ্নাংশের হর 500 লব 229

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

       ২য় ভগ্নাংশের হর 495 ও লব 217

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

   গ.  0.438 ও `sqrt(10)/2` এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)`

             আমরা জানি, 1<2 <4

             :. `sqrt(1 < sqrt(2) < sqrt(4)`

             বা, `1 < sqrt(2) <2`

              `sqrt(2)` 1 2

          সুতরাং `sqrt(2)` এর মান 1 অপেক্ষা 2 ছোট।

          অতএব `sqrt(2)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। এখন `sqrt(2)`কে যদি 

          ভগ্নাংশের আকারে লিখা যায় তবে, ধরি`sqrt(2) = p/q`; যেখানে

          p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

           :. `2 p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `2q = p^2/q` [ঊভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।]

          স্পষ্টত: 2q পূর্ণ  সংখ্যা কিন্তু ` p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ 

         p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

          :. 2q এবং `p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ `2q != p^2/q`

          :.` sqrt(2)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,

         অর্থাৎ `sqrt(2 != p/q`

         অতএব,  `sqrt(2)` একটি অমূলদ সংখ্যা।

    1. Report
First1234Last
/4
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd