Question:দুইটি চলকের প্রথমটির  দ্বিগুণ থেকে দ্বিতীয়টির 5 গুণের বিয়োগফল 3 এর সমান এবং 

 প্রথমটির সাথে দ্বিতীয়টির 3 গুণের যোগফল 1 এর সমান বীজগাণিতিক সমীকরণ গঠন কর ।

 ক. প্রথম চলক a এবং দ্বিতীয় চলক b হলে বীজগাণিতিক সমীকরণজোট গঠন কর ।                      ২

 খ.  সমীকরণজোটটি সামন্জস্য কিনা ব্যাখ্যা কর ।                                                 ৪

 গ.  সমীকরণজোটির নির্ভরশীলতা/অনির্ভরশীলতা উল্লেখপূবক সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর ।        ৪ 

উত্তর: ক. 2a-5b=3
      
      a+3b=1 }

      খ.   সামন্জস্য

      গ. একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান ।

Question:`-1/2x+y`=-1

   `(x-2y)/2`=1 } একটি সমীকরণজোট

   ক. উদ্দীপকের সমীকরণজোটকে x+by=p আকারে প্রকাশ কর ।             ২

   খ.  সমীকরণজোটটি সামন্জস্য কিনা ব্যাখ্যা কর ।               ৪

   গ.  উপরউক্ত সমীকরণজোটে সমাধান কয়টি ? যদি উদ্দিপকের ১ম  সমীকরণের y চলকের 

     সহগ -1 হয়, তবে সমীকরণজোটের সমাধান কীরূপ হবে ?                             ৪ 

উত্তর; ক.x-2y=2
      
       x-2y=2 }
  
       খ.  সমন্জস্য

       গ.  সমাধান অসংখ্য; সমীকরণজোট সমন্জস্য এবং সমাধান একটি ।

Question:y=`(x-2)/2`

 y=5-x }  একটি সমীকরণজোট ।

 ক.  সমীকরণদ্বয়কে  ax+by=p আকারে প্রকাশ কর ।                                 ২

 খ.  উপরিউক্ত সমীকরণজোটের প্রকৃতি ও সমাধানের সংখ্যা নির্ণয় কর ।    ৪

 গ.  সমীকরণজোট সমাধান করে ‘খ‘ এর সত্যতা যাচাই কর ।              ৪ 

উত্তর : ক.  x-2y=2
          
         x+y=5 }

    খ.  সমন্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল ও সমাধান একটি

Question:নিচের তিনটি সমীকরণজোট দেওয়া হলো 
3x+2y=1          2x-y=6              2x-y=12
x+y=-1;           4x-2y=12;          4x-2y=5

ক.   সমীকরণজোটগুলোকে x এর সহগদ্বয় y এর সহগদ্বয় ও ধ্রবক পদগুলো অনুপাত আকারে লিখ ।          ২
খ.   ১ম দুইটি সমীকরণজোটের প্রকৃতি সমন্জস্য কিন্তু সমাধানের সংখ্যার ভিন্নতা ব্যাখ্যা কর ।           ৪
গ.    ৩য় সমীকরণজোটটির প্রকৃতি ও সমাধান অপর দুইটি সমীকরণ থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন ব্যাখ্যা কর ।      ৪ 

উত্তর; ক. `3/1`=`2/1`=`1/(-1)`,`2/4`=`(-1)/(-2)`=`6/12`,`2/4`=`(-1)/(-2)`=`12/5`

Question:`7x-8y=-9`

 `5x-4y=-3`

  ক. সমীকরণজোটটির প্রকৃতি উল্লেখ কর এবং জোটের সমাধান সংখ্যা নির্ণয় কর ।                  ২

  খ.  অপনয়ন পদ্ধতির সাহায্যে সমাধান নির্ণয় কর ।                                               ৪

  গ.  বজ্রগুণনের সাহায্যে সমাধান কর এবং সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা দেখাও ।                         ৪ 

ক. `7x-8y=-9`

    `5x-4y=-3` 

   x এর সহগদ্ধয়ের অনুপাত `7/5`

   y এর সহগদ্বয়ের  অনুপাত `(-8)/(-4)=2`
  
 `:. 7/3!=2`
  
  `:.` সমীকরণ জোটটি সমন্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং সমীকরণ জোটটি 

   একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে ।

 খ.  প্রদত্ত সমকিরণদ্বয়,

   `7x-8y=-9..........(i)`

   `5x-4y=-3..........(ii)`

  প্রদত্ত সমীকরণ (ii) নং এর উভয় পক্ষকে 2 দ্ধারা গুন করে  (i) নং থেকে বিয়োগ করি ,

  `(7x-8y=-9)`

 `(10x-8y=-6)/(-3x=-3)` [বিয়োগ করে]

  বা, x=1 [উভয়পক্ষকে (-3) দ্ধারা ভাগ করে ]

  `:. x=1`

  x  এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

 `5.1-4y=-3`

  বা, `5-4y=-3`

  বা, `-4y=-3-5`

  বা, `-4y=-8`

  বা, `y=2` [উভয়পক্ষকে (-4) দ্ধারা ভাগ করে ]

 `:. y=2`

 `:.` নির্ণেয় সমাধান `(x,y)=(1,2)`


গ. `7x-8y+9=0`
   
   `5x-4y+3=0`

  উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ের বজ্রগুণন/আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   
   `x/(-24+36) = y/(945-21) = 1/(-28+40)`
   
     বা,`x/1 = y/24 = 1/12`
             
      `:. x/12 = 1/12`
    
      `:. x=1`
              
       বা, `y/24 = 1/12`
           
      এবং  `y= 24/12 = 2`
   
      :. নির্ণেয় সমাধান `(x,y)=(1,2)`

      শুদ্ধি পরীক্ষা:

      `x=1,y=2`
  
  ১ম সমীকরণের বামপক্ষ  =`7.1-8.2`
                          
                            =`7-16=-9`
                           
                          `:. 7x-8y=-9`= ডানপক্ষ
    
  ২য় সমীকরণের বামপক্ষ  `=5.1-4.1`
                              
                             `=5-8`
                              
                             `=-3`
                       
                           `:. 5x-4y=-3`=ডানপক্ষ
                   
                           `:.` সমাধান শুদ্ধ হয়েছে ।( দেখাণো হলো)

Question:a(x+y)=b(x-y)=2ab  দুই চলক বিশিষ্ট সমীকরণজোট ।

 ক. প্রদত্ত সমীকরণজোট থেকে পৃথক দুইটি সমীকরণ গঠন কর ।                  ২

 খ. প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমীকরণজোট সমাধান কর ।                             ৪

 গ. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমীকরণজোটের সমাধান বের করে পুর্বের সমাধানের

   সত্যতা যাচাই কর ।                                                             ৪ 

ক. দেওয়া আছে, a(x+y)=b(x-y)=2ab
           
           অথাৎ a(x+y)=2ab
             
                 :. x+y=2b
             
              এবং b(x-y)=2ab
            
                  :. x-y=2a
            
   :.  সমীকরণদ্বয়, x+y=2b
              
                  x-y=2a (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে পাই,
                   x+y=2b.......................(i)
                  
                   x-y=2a........................(ii)

  (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
             
                     x-y=2a
            
                    :.x=2a+y..................(iii)
             
                    x=2a+y,(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
                 
                    2a+y+y=2b
            
                    বা,2y+2a=2b
           
                    বা, y+a=b
          
                     :.y=b-a
    
                   y এর মান  (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
             
                    x=2a+b-a
           
                   বা,x=b+a
          
                   :.x=a+b
  
              :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(a+b,b-a)  (Ans)

   গ. ‘খ’ এর (i)  ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

        x+y-2b=0

        x-y-2a=0
  
      উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
     
     `x/(1(-2a)-(-1)(-2b))`=`y/(1(-2b)-1(2a))`=`1/(1(-1)-1xx1)`

     বা, `x/(-2a-2b)`=`y/(-2b+2a)`=`1/(-1-1)`

     বা,`x/(-2(a+b))`=`y/(-2(b-a))`=`1/(-2)`
   
     :.`x/(-2(a+b))`=`1/(-2)`এবং  `y/(-2(b-a))`=`1/(-2)`
 
     বা,`x/(a+b)`=1                 বা, `y/(b-a)`=1
 
     :.x=a+b                             :.y=b-a

     :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(a+b,b-a)
 
      অথাৎ পূর্বের সমাধানের সত্যতা যাচাই হলো ।

Question:x+5y=36

 `(x+y)/(x-y)`=`5/3`দুই চলক বিশিষ্ট সমীকরণজোট ।
 
  ক. প্রদত্ত জোটের ২য় সমীকরণ থেকে দেখাও যে, x=4y                                   ২
 
  খ. সমীকরণজোটের সমাধান (x,y) নির্ণয় কর ।                                            ৪
 
  ঘ. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান (x,y) নির্ণয় কর ও পূর্বের সমাধানের সত্যতা যাচাই হলো ।    ৪ 

ক. দেওয়া আছে, x+5y=36..............(i)
               
            `(x+y)/(x-y)`=`5/3`..................(ii)
   
          (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
          
          `(x+y)/(x-y)`=`5/3`
        
          বা,5x-5y=3x+3y
        
          বা,5x-3x=5y+3y
         
          বা,2x=8y
        
          :. x=4y

  খ. ‘ক’ হতে পাই,
         x=4y..................(iii)
        
         x=4y,(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
          
         4y+5y=36
         
         বা,9y=36
        
        :. y=4
 
      y  এর মান (iii) নং সমীকরণ বসিয়ে পাই,
           
        x=4xx4
           
        :. x=16
  
    :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(16,4) (Ans)

  গ. ‘ক’ এর (i) নং থেকে পাই,
        
     x+5y-36=0
  
  খ, এর (iii) নং থেকে পাই,
      
     x-4y+0=0

   উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয়ের আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
     
   `x/(5xx0-(-4)xx(-36))`=`y/((-36)xx1-0xx1)`=`1/(1xx(-4)-1xx5)`
     
    বা,`x/(-144)`=`y/(-36)`=`1/(-4-5)`
     
    বা,`x/(-144)`=`y/(-36)`=`1/(-9)`
    
     ;. `x/(-144)`=`1/(-9)` এবং  `y/(-36)`=`1/(-9)`
   
      বা,  x=`144/9`              বা,   y=`36/9`
        
          :. x=16                       :. y=4
    
      :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=(16,4)
    
       :. পূর্বের সমাধানের সত্যতা যাচাই হলো ।

Question:`ax+by=ab` দুইটি চলক বিশিষ্ট সমীকরণজোট।

 `bx+ay=ab`

  [ যেখানে  `a!=b`]

   ক. y অপনীত বা অপসারিত করতে হলে কোন কোন সংখ্যা দ্ধারা সমীকরণ দুইটিকে গুণ করতে হবে ?                 
 
   খ. তথ্যাবলে দেখাও যে,`x=y`                                                                                        
 
   গ. অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান `(x,y)` নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে,

   `ax+by=ab...(i)`

   `bx+ay=ab...(ii)`

   y অপনীত বা অপসারিত করতে হলে  (i) নং সমীকরণকে  a দ্ধারা এবং

   (ii) নং সমীকরণকে b দ্ধারা গুণ করে বিয়োগ করতে হবে ।   (Ans)

 খ. দেওয়া আছে,
    
     `ax+by=ab`
    
     ` bx+ay=ab`

   সমীকরণদ্বয় থেকে পাই,
    
    `ax+by=bx+ay`
  
     বা,`ax-bx+by-ay=0`
  
     বা,`x(a-b)-y(a-b)=0`
  
    বা,`(x-y)(a-b)=0` [ কিন্তু `a-b!=0` কারণ `a!=b`]
    
     `:. x-y=0`
    
      `:. x=y` [ দেখানো হলো]

 গ. (i)  নং সমীকরণকে a এবং (ii) নং সমীকরণকে  b দ্ধারা গুণ করে পাই,

      `a^x+aby=a^2b...(iii)`
      
     `b^2x+aby=ab^2...(iv)`

(iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,

     `(a^2x+aby)-(b^2x+aby)=a^2b-ab^2`
     
      বা,`a^2x+aby-b^2x-aby=a^2b-ab^2`
     
      বা,`a^2x-b^2x=a^2b-ab^2`
     
      বা,`x(a^2-b^2)=ab(a-b)`
     
      বা,`x(a+b)(a-b)=ab(a-b)`
     
      বা,x=`ab((a-b))/((a+b)(a-b))`
       
       `:. x=(ab)/(a+b)` [`:. a+b!=0`]

         খ, হতে পাই,`x=y`
          
         `:. y=(ab)/(a+b)`

      `:.` নির্ণেয় সমাধান  `(x,y)=((ab)/(a+b),(ab)/(a+b))`  (Ans)

Question:একটি সমীকরণজোট,`x/2+y/3`=1
                      
                      `x/3+y/2`=1


  ক. সমীকরণজোটকে সরলীকরণ কর ।

  খ.প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমীকরনজোটকে সমাধান কর ।

  গ. সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর । 

ক. প্রদত্ত সমীকরণজোট,
    
   `x/2+y/3`=1.................(i)
      
    `x/3+y/2`=1...............(ii)
  
     (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
     
     `(3x+2y)/6`=1
      
       বা,3x+2y=6
     
       :. 3x+2y=6.............(iii)
   
      (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
    
      `(2x+3y)/6`=1
       
        2x+3y=6
    
      :. 2x+3y=6.............(iv) (Ans)


 খ. (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
   
     `x/2 = 1-y/3`
  
      বা`,x/2 = (3-y)/3`
    
      বা,`x=(6-2y)/3..............(iv)`
     
     ` x=(6-2y)/3`  (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
   
      `(6-2y)/(3/3) + y/2=1`
  
      বা` (6-2y)/(3xx1/3) + y/2 = 1` 

      বা,` (6-2y)/9+y/2`=1
    
      বা, `(12-4y+9y)/18`=1 

       বা, 12 + 5y=18
     
       বা,  5y=18-12 

       বা, 5y=6
        
        :. y=`6/5`
     
        y এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই,
       
        x=`6-26/(5/3)` 

       বা, x=`6-12/(5/3)`
        
        x= `(30-12)/(5/3)`
       
        x=`18/(5/3)` 

        বা, x=`18/(5xx1/3)`
      
        `:.  x= 6/5`
    
      :. নির্ণেয় সমাধান  (x,y)=`((6/5,6/5))`(Ans)

Question:`a^1x+b^1y=c^1`

 `a^2x+b^2y=c^2}`

 `x=0 y`


`a_1=2,b_1=3,c_1=7, a_2=5,b_2=-2,c_2=8` 

x=0(i) 0,`a_1+b_1y`=`c_1`

  (ii) 0=`a_2+b_2y`=`c_2`
 
  `b_1y`=`c_1`
  
  `b_2y`=`c_2`/b_1y+b_2y`=`c_1+c_2`
 
   `y(b_1+b_2)`=`c_1=c_2`
 
   :. y=`c_1+c_2/b_1+b_2`(Ans)