Question:11. -7x+8y=9
     5x-4y=-3 

সমাধান: দেওয়া আছে, -7x+8y=9................(i)
                          
          5x-4y=-3................(ii)
   
       (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
                  
         -7x+8y-9=0
                    
         5x-4y+3=0
 
       এখন, উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
    
      `x/(8xx3-(-4)xx(-9))=y/((-9)xx5-3xx(-7))`

       `=1/((-7)xx(-4)-5xx8)`

       বা,  `x/(24-36)=y/(-45+21)=1/(28-40)`
  
       বা, `x/-12=y/-24=1/-12`
    
      `:.x/-12=1/-12`  বা, `x=-12/-12=1` এবং `y/-24=1/-12` 

       বা, `y=-24/-12=2`

       
      :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(1,2)

Question:12. 3x-y-7=0=2x+y-3 

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়
     
         3x-y-7=0=2x+y-3
     
        :.3x-y-7=0..............(i)
   
        2x+y-3=0.................(ii)

      সমীকরণদ্ধয়ের আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

     `:.x/((-1)xx(-3)-1xx(-7))=y/((-7)xx2 - 3xx(-3))`

      `=1/(3xx1-2xx(-1))`

      বা,`x/3+7=y/(-14+9)=1/3+2`
  
     বা, `x/10=y/-5=1/5`
  
  ` :. x/10=1/5  এবং y/-5=1/5`
    
     বা, `x=10/5  বা, y=-5/5`
      
    :. x=2   :. y=-1
  
  :. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(2,-1)

Question:`13. ax+by=a^2+b^2`
  
   2bx-ay=ab 

সমাধান: দেওয়া আছে,

         `ax+by=a^2+b^2.................(i)`
                           
          2bx-ay=ab.....................(ii)
   
         (i) নং ও (ii) সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
         
        `ax+by-(a^2+b^2)=0`
            
          2abx-ay-ab=0
 
        এখন,উপরিউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
         
       `x/(bxx(-ab)-(-a)xx{-(a^2+b^2)})`
          
       `=y/(-(a^2+b^2)xx2b-(-ab)xxa)=1/(-axxa-2bxxb)`
       
        বা,` x/(-ab^2-a^3-ab^2)=y/(2a^2b-2b^3+a^2b)=1/(a^2-2b^2)`
       
        বা,`x/(-a^3-2ab^2)=y/(-a^2b)=1/(-a^2-2b^2)`
      
        বা,`x/(-a(a^2+2b^2))=y/(-b(a^2+2b^2))=1/(-(a^2+2b^2))`
        
        বা,`x/a=y/b=1/1` [ত্রিপক্ষকে `-(a^2+2b^2))` দ্ধারা গুণ করে ]
            
        `:. x/a=1/1` বা , x=a  এবং` y/b=1/1` বা ,y=b
               
        ;. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(a,b)

Question:y(3+x)=x(6+y)

  3(3+x)=5(y-1) 

সমাধান:দেওয়া আছে,

         y(3+x)=x(6+y)..............(i)
                       
         3(3+x)=5(y-1)....................(ii)
     
        (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
              
        3y+xy=6x+xy
             
        বা, 6x+xy-3y-3y-xy=0
              
        বা, 6x-3y=0
   
       (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
             
        9+3x=5y-5
        
        বা, 3x-5y+9+5=0
           
        বা, 3x-5y+14=0
  
        আথাৎ(i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ দুইটির ভিন্ন রুপ হলো :
             
        6x-3y+0=0...............(i)
             
        3x-5y+14=0...............(iv)
 
        এখন (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
          
        `x/((-3)xx14-(-5)xx0)=y/(3xx0-6xx14)`
             
         `=1/(6xx(-5)-3xx(-3)`
           
           বা,`x/(-42+0)=y/(0-84)=1/(-30+9)`
              
           বা,`x/-42=y/-84=1/-21`
           
           `:. x/-42=1/-21`
             
             বা,`x=(-42)/(-21)=2`
              
              এবং`y/-84=1/-21`
           
              বা,` y=(-84)/(-21)=4`
          
             :. নিণেয় সমাধান: (x,y)=(2,4)

Question:15..(x+7)(y-3)+7=(y+3)(x-1)+5
     
     5x-11y+35=0 

সমাধান:দেওয়া আছে,

   (x+7)(y-3)+7=(y+3)(x-1)+5....................(i)
            
    5x-11y+35=0......................(ii)
  
    (i) নং সমীকরণ থেকে,
     
    (x+7)(y-3)+7=(y+3)(x-1)+5
  
     বা,xy-3x+7y-21+7=xy-y+3x-3+5
   
     বা,xy-3x+7y-14-xy+y-3x+3-5=0
    
     বা,-6x+8y-16=0
   
      বা, -2(3x-4y+8)=0
    
      :.3x-4y+8=0..................(iii)
    
       এবং  5x-11y+35=0......................(iv)
    
       এখন (iii) নং (iv) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
        
       `x/(35xx(-4)-(-11)xx8)=y/(5xx8-3xx35)`
           
        `=1/((-11)xx3-5xx(-4))`
           
         বা, `x/(-140+88)=y/(40-105)=1/(-33+20)`
           
         বা, `x/-52=y/-65=1/-13`
            
         বা, `x/52=y/65=1/13 [ ]`
          
       `:. x/52=1/13` বা, `x=52/13=4` এবং `y/65=1/13` বা, `y=65/13=5`
       
         :. নির্ণেয় সমাধান:(x,y)=(4,5)

Question:x-2y+1=0 2x+y-3=0 একটি সমীকরণজোট ।

 ক.      সমীকরণজোটটিকে `a_1x+b_1y+c_1`=0
                             
         `a_2x+b_2y+c_2`=0} জোটের সাথে তুলনা করে 
                          
         `a_1`,`a_2`, `b_1`,`b_2`,=0  এর মান বের করতে হবে ।

 খ.     সমীকরণজোটটি সাম্নজ্যস কিনা তা যাচাই কর । পরস্পর নির্ভরশীলতা যাচাই করে সমীকরণজোটের 

         সমাধান সংখ্যা নির্ণয় কর ।

 গ.    সমীকরণজোটটি সমাধান কর । 

ক, খ. শ্রেনির কাজ অংশের সমাধান দ্রষ্টব্য ।
 
  গ.  খ,  এর (i) হতে x=1+2y................(v)

  (ii) ও  (v) হতে 2(-1+2y)+y-3=0

  বা,  -2+4y+y-3=0

  বা, 5y=5
     
   :. y=1
  
  y এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই, 
    
  x=1+2.1=1

  নির্ণেয় সমাধান : (x,y)=(1,1) Ans

Question:দুইটি চলকের প্রথমটির 3 গুণ থেকে দ্বিতীয়টির  5 গুণের বিয়োগফল 7 এর সমান 

 এবং প্রথমটির 6 গুণ থেকে দ্বিতীয়টির 10 গুণের বিয়োগফল  15 এর সমান 

 বীজগণিতিক সমীকরণ গঠন করে ।

  ক.    চলক দুইটি যথাক্রমে x ও y হলে বীজগাণিতিক সমীকরণজোট গঠন কর ।

  খ.    সমীকরণজোটটি সামন্জ্যস কিনা ব্যাখ্যা কর ।

  গ.     সমীকরণজোটের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর । 

ক. মনে করি ,প্রথম চলক x এবং দ্বিতীয় চলক y
  
   :. ১ম সমীকরণ, 3x-5y=7
   
   এবং ২য় সমীকরণ, 6x-10y=15
 
   :. প্রাপ্ত সমীকরণজোট, 
   
   {3x-5y=7
      
    6x-10y=15

  খ. প্রাপ্ত সমীকরণজোট,
   
     3x-5y=7
 
     6x-10y=15
     
    x এর সহগদ্ধয়ের অনুপাত  `3/6`বা, `1/2`

    y ;  ;   ; ; ; ; ;  `(-5)/(-10)` বা, `1/2`

    এবং ধ্রবক পদদ্ধয়ের অনুপাত, `7/15`

    :.`3/6`=`(-5)/(-10)!=7/15 `
    
    :. সমীকরণজোটটি অসামন্জস্য । Ans

Question:দুইটি চলকের সমষ্ঠি 10 ও বিয়োগফল 4 যেখানে প্রথম চলক> দ্বিতীয় চলক ।
 
 ক. উদ্দিপকটিকে সমীকরণজোট আকারে প্রকাশ কর ।
 
 খ. সমীকরণজোটটির প্রকৃতি কিরূপ এর সমাধান কয়টি ?
 
 গ. দুইটি চলকের সমষ্ঠি 14 এবং দ্বিতীয় চলক ও প্রথম চলকের বিয়োগফলের দ্বিগুণ 

    সমান 8 (দ্বিতীয় চলক > প্রথম চলক ) হলে সমীকরণজোটটির সমাধান ‘খ’ এর 

    অনুরূপ হবে কী-ব্যাখ্যা কর ।8 

ক.ধরি ,চলকদ্বয়ের ১মটি x এবং ২য়টি y যেখানে x> y
 
  উদ্দিপকের আলোকে গঠিত সমীকরণজোট :
  
  x+y=10.................(i)

  x-y=4...................(ii)} (Ans)

  খ.   ‘ক’ এর সমীকরণজোটে, 
 
  x   এর সহগদ্বয়ের অনুপাত`1/1`
 
  এবং y ,, ,,  ,,   ,, `1/(-1)`

  আমরা পাই,`1/1!=1/(-1)`

  সুতরাং সমীকরণজোট সামন্জ্যস ও পরস্পর অর্ভিরশীল এবং একটিমাত্র সমাধান আছে । (Ans)


 গ. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে গঠিত সমীকরণজোট :
    
    x+y=14.................(iii)
 
   2(y-x)=8
 
  বা, -2x+2y=8............(iv)

  এখানে,x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত `1/(-2)`

  y  এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 

  আমরা পাই,`-1/1!=1/2` 

 এক্ষেত্রে সমীকরণজোট সামন্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং একটি সমাধান আছে । 

 :. সমীকরণজোটটির সমাধান ‘খ’ এর অনুরূপ ।

Question:দুইটি চলকের প্রথমটির সাথে দ্বিতীয়টির 3 গুণের যোগফল 1 এর সমান এবং প্রথটির দ্বিগুণের 

 সাথে দ্বিতীয়টির 6 গুণের যোগফল 2 এর সমান বীজগাণিতিক সমীকরণ গঠন করে ।
 
 ক.  প্রথম চলক x এবং দ্বিতীয় চলক y হলে বীজগাণিতিক সমীকরণজোটে গঠন কর ।
 
 খ. সমীকরণজোটটি সামন্জস্য কিনা ব্যাখ্যা কর ।
 
 গ. সমীকরণজোটের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর । 

উত্তর: ক. x+3y=1
       
       2x+6y=2}

       খ. সামন্জস্য;
     
       গ. অসংখ্য সমাধান ।

Question:শিক্ষক, মনিরকে একটি সমীকরণের তথ্য দিলেন এই ভাবে  x এর তিন গুণ থেকে y 

 এর চার গুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল  10 হয় এবং x গুণ থেকে y এর 8  গুণ

  বিয়োগ করলে 18 হয় ।

  ক. মনির তথ্যগুলো সমীকরণ আকারে প্রকাশ করলে কি দাড়াবে ?

  খ. সমীকরণজোটটির প্রকৃতি কিরূপ এবং এর কয়টি সমাধান আছে ?

  গ. শিকাষক ২য় সমীকরণের বিয়োগফল 18 এর পরিবর্তে 20 দিলে সমীকরণজোটের 

     প্রকৃতি কি পূর্বের মতো হবে ? 

ক. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে সমীকরণজোট হলো:

    `3x-4y=10................(i)`

    `6x-8y=18................(ii)`} (Ans)

 খ.  ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণজোটে
      
     x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত `3/6` বা, `1/2`
    
     y,, ,,   ,,   ,,   ,,  ,,`(-4)/(-8)` বা,`1/2`
     
     এবং ধ্রবক পদদ্বয়ের অনুপাত `10/18`=`5/9`
     
     আমরা পাই, `1/2`=`1/2!=5/9`
    
     সুতরাং সমীকরণজোট অসামন্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং সমাধান নেই ।(Ans)

  গ. ‘ক’ (ii) এর নং সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ, `6x-8y=20......(iii)`

     এখন নতুন সমীকরণজোট:

    `3x-4y=10...............(i)`

    `6x-8y=20..............(iii)`

  এখানে x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত`3/6` বা,`1/2`

  y  ,,    ,,      ,,      ,, `(-4)/(-8)` বা, `1/2`

  এবং ধ্রবক পদদ্বয়ের অনুপাত `10/20` বা, `1/2`

   আমরা পাই,`1/2`=`1/2`=`1/2`

   এক্ষেত্রে সমীকরণজোট সামন্জস্য ও নির্ভরশীল এবং অসংখ্য সমাধান বিদ্যমান ।

   :. সমীকরণজোটের প্রকৃতি পূর্বের মত নয় ।(Ans)