1. Question:`x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0; x>0` ক. `(x - 1/x)^2` এর মান কত? খ. `(x^8 + 1)/x^4` এর মান নির্ণয় কর। গ. প্রমাণ কর যে, `x^5 - 1/x^5 = 82` 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে, 
    
           `x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0`
    
          বা,  `x^2 + 1 = 2sqrt(2) x`
    
          বা, `x^2/x + 1/x = 2sqrt(2)`  [x]
    
          বা, `x + 1/x = 2sqrt(2)`
    
          বা, `(x + 1/x)^2 = (2sqrt(2))^2`
    
          বা, `(x - 1/x)^2 + 4.x.1/x = 8`
    
           বা, `(x - 1/x)^2 + 4 = 8`
    
             `:. (x - 1/x)^2 = 4` (Ans)
     
    
      খ. প্রদত্ত রাশি` = (x^8 + 1)/x^4`
    
                      ` = x^8/x^4 + 1/x^4 `
    
                       `= x^4 + 1/x^4 `
    
                       `= (x^2)^2 + (1/x^2)^2`
    
                       `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2x^2. 1/x^2`
    
                       `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x}^2 - 2`
    
                       `= (4 + 2)^2 - 2` [:. `(x - 1/x)^2 = 4`]
    
                       `= (6)^2 - 2 `
    
                        `= 36 - 2`
    
                          = 34  (Ans)
    
      গ. ‘ক’ হতে পাই,
    
           `(x - 1/x)^2 = 4`
    
         `:. x - 1/x = 2 [:. x > 0]`
    
       এখন,  `(x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2)`
    
              `= x^5 + x - 1/x - 1/x^5`
    
       বা,`x^5 - 1/x^5 = (x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) - (x - 1/x)`
    
             `= {(x - 1/x)^3 + 3.x.1/x(x - 1/x)}`
    
             `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x} - (x - 1/x)`
    
             `= {2^3 + 3.2} {2^2 + 2} - 2`
    
             `= (8 + 6) (4 + 2) - 2`
    
             `= (14 xx 6) - 2`
    
             `:. x^5 - 1/x^5 = 82`   (প্রমাণিত)

    1. Report
  2. Question:কোনো ধনাত্নক সংখ্যার বর্গের মান `7 + 4sqrt(3)` ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করে এর মান নির্ণয় কর। খ. সংখ্যাটির বর্গমূলের সাথে এর গুণাত্নক বিপরীত সংখ্যার বর্গমূলের সমষ্ঠি নির্ণয় কর। গ. সংখ্যাটি ঘন থেকে এর গুণাত্নক বিপরীত সংখ্যার ঘন বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে? 

    Answer
    ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করলে,
    
        `x^2 = 7 + 4sqrt(3)`
    
         `= 4 + 4sqrt(3) + 3`
    
         `= 2^2 + 2.2.sqrt(3) + (sqrt(3))^2`
    
         `= (2 + sqrt(3))^2`
    
      :.` x = 2 + sqrt(3)` [:. x ধনাত্নক]   (Ans)
    
    
     খ. ‘ক’ থেকে পাই,
    
              `x = 2 + sqrt(3)`
    
             `:. 1/x = 1/(2 + sqrt(3)`
    
              `= (2 - sqrt(3))/((2 + sqrt(3)) (2 - sqrt(3))`
    
              `= (2 - sqrt(3))/(2^2 - (sqrt(3))^2`
    
              `= 2 - sqrt(3)`
    
              `= sqrt(x)`

    1. Report
  3. Question:`a = sqrt(13) + 2sqrt(3)` হলে, ক. `1/a` নির্ণয় কর। খ. ` (13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1) = sqrt(13)` প্রমাণ কর। গ. দেখাও যে, `a^4 = 2498 - 1/a^4` 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে,
    
            `a = sqrt(13) + 2sqrt(3)`
    
          `:. 1/a = 1/(sqrt(13) + 2sqrt(3)`
    
           `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/((sqrt(13) + 2sqrt(3)) (sqrt(13) - 2sqrt(3))`
    
                         [লব ও হরকে `sqrt(13) - 2sqrt(3)` দ্বারা গুণ করে]
    
           `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/((sqrt(13)^2 - (2sqrt(3))^2`
    
           `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/(13 - 12)`
    
           `= sqrt(13) - 2sqrt(3)`
    
          `:. 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`   (Ans)
    
    
     খ. ‘ক’ হতে ` a = sqrt(13) + 2sqrt(3)` এবং` 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`
    
          এখন, `(13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1`
    
                 `= (13a)/(a(a - sqrt(13) + 1/a)`
    
                 `= (13)/(a + 1/a - sqrt(13)`
    
                 `= (13)/(sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3) - sqrt(13)`
    
                 `= (13)/(sqrt(13) = sqrt(13)`
    
             `:. (13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1) = sqrt(13)`  (প্রমাণিত)
    
       গ.  আমরা জনি,
    
           `(a + 1/a)^2 = a^2 + 2.a.1/a + (1/a)^2`
    
          `(sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`
    
                                              `[:. a = sqrt(13) + 2sqrt(3) = 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)]`
    
           বা, ` (2sqrt(13))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`
    
           বা, `52 = a^2 + 1/a^2 + 2`
    
           বা, `a^2 + 1/a^2 = 50`
    
            বা, `(a^2 + 1/a^2)^2 = (50)^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
    
            বা, `(a^2)^2 + 2.a^2.1/a^2 + (1/a^2)^2 = 2500`
    
            বা, `a^4 + 1/a^4 + 2 = 2500`
    
            বা, `a^4 + 1/a^4 = 2500 - 2`
    
            বা, `a^4 + 1/a^4 = 2498`
    
             `:. a^4 = 2498 - 1/a^4`    (দেখানো হলো)

    1. Report
  4. Question:`x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)` একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হলে---- ক. দেখাও যে, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0` খ. প্রমাণ কর যে, `x = sqrt(3) + sqrt(2)` গ. `x^5 + 1/x^5` এর মান নির্ণয় কর। 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে,
    
            `x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)`
    
            `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)`
    
           `x^6 + 1  = 18sqrt(3) x^3`
    
          `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0`
    
          `:. x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0` (দেখানো হলো)
    
    
        খ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,
    
           `x^6 - 18sqrt(3) x^6 + 1 = 0`
    
           বা, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 243 - 242 = 0`
    
           বা, `(x^3)^2 - 2.x^3.9sqrt(3) + (9sqrt(3))^2 - 242 = 0`
    
           বা, `(x^3 - 9sqrt(3))^2 = 242`
    
           বা, `(x^2 - 9sqrt(3))^2 = 121 xx 2`
    
            বা,  `x^3 - 9sqrt(3) = 11sqrt(2)` [বর্গ মূল করে]
    
             বা, `x^3 = 9sqrt(3) + 11sqrt(2)`
    
             বা, `x^3 = 3sqrt(3) + 9sqrt(2) + 6sqrt(3) + 2sqrt(2)`
    
             বা, `x^3 = (sqrt(3))^3 + 3.(sqrt(3))^2. sqrt(2) + 3.sqrt(3) . (sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^3`
    
             বা, `x^3 = (sqrt(3) + sqrt(2))^3`
    
              বা, `x = sqrt(3) + sqrt(2)`  [ঘনমূল করে]
    
             `:. x = sqrt(3) + sqrt(2)`   (প্রমাণিত)
    
      গ. ‘খ’ হতে পাই,
    
          `x = sqrt(3) + sqrt(2)`
    
        `:. 1/x = 1/(sqrt(3) + sqrt(2)`
    
        `= (sqrt(3) - sqrt(2))/((sqrt(3) + sqrt(2)) (sqrt(3) - sqrt(2))` 
    
                                     [লব ও হরকে `sqrt(3) - sqrt(2)` দ্বারা গুণ করে]
    
         `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2`
    
         `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(3 - 2)`
    
         `= sqrt(3) - sqrt(2)`
    
         `:. x + 1/x = sqrt(3) + sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(2) = 2sqrt(3)`
    
         এখন, `x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`
    
                                       `= (2sqrt(3))^2 - 2`
    
                                         = 12 - 2
    
                                         = 10
    
         আবার, `(x^3 + 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) = x^5 + 1/x^5 + (x + 1/x)`
    
                   বা, `18sqrt(3) xx 10 = x^5 + 1/x^5 + 2sqrt(3) [:. x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)]`
    
                    বা, `x^5 + 1/x^5 = 180sqrt(3) - 2sqrt(3)`
    
                   `:. x^5 + 1/x^5 = 178sqrt(3)`   (Ans)

    1. Report
  5. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `abx^2 + acx^3 + adx^4` 

    Answer
    `abx^2 + acx^3 + adx^4`
    
     `= ax^2 (b + cx + dx^2)` (Ans)

    1. Report
  6. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `a^2 + ab + ac + bc` 

    Answer
    `a^2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b)`
    
                                     `= (a + b) (a + c)` (Ans)

    1. Report
  7. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `ab + a - b - 1` 

    Answer
    `ab + a - b - 1 = a(b + 1) - 1(b + 1)`
    
                          `= (b + 1) (a - 1)` (Ans)

    1. Report
  8. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)` 

    Answer
    `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)`
    
     `= (x - y) {(x + y) + (y + z) + (z + x)}`
    
     `= (x - y) (x + y + y + z + z + x)`
    
     `= (x - y) {2(x + y + z)}`
    
     `= 2(x - y) (x + y + z)`   (Ans)

    1. Report
  9. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `ab (x - y) - bc(x - y)` 

    Answer
    `ab(x - y) - bc(x - y) = (x - y) (ab - bc)`
    
                     `= (x - y) {b(a - c)}`
    
                    ` = b(x - y) (a - c)`  (Ans)

    1. Report
  10. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `9x^2 + 24x + 6` 

    Answer
    `9x^2 + 24x + 16 = (3x)^2 + 2.3x.4 + (4)^2`
    
                                ` = (3x + 4)^2`   (Ans)

    1. Report
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd