Question:`x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0; x>0` ক. `(x - 1/x)^2` এর মান কত? খ. `(x^8 + 1)/x^4` এর মান নির্ণয় কর। গ. প্রমাণ কর যে, `x^5 - 1/x^5 = 82`
Answer
ক. দেওয়া আছে, `x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0` বা, `x^2 + 1 = 2sqrt(2) x` বা, `x^2/x + 1/x = 2sqrt(2)` [x] বা, `x + 1/x = 2sqrt(2)` বা, `(x + 1/x)^2 = (2sqrt(2))^2` বা, `(x - 1/x)^2 + 4.x.1/x = 8` বা, `(x - 1/x)^2 + 4 = 8` `:. (x - 1/x)^2 = 4` (Ans) খ. প্রদত্ত রাশি` = (x^8 + 1)/x^4` ` = x^8/x^4 + 1/x^4 ` `= x^4 + 1/x^4 ` `= (x^2)^2 + (1/x^2)^2` `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2x^2. 1/x^2` `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x}^2 - 2` `= (4 + 2)^2 - 2` [:. `(x - 1/x)^2 = 4`] `= (6)^2 - 2 ` `= 36 - 2` = 34 (Ans) গ. ‘ক’ হতে পাই, `(x - 1/x)^2 = 4` `:. x - 1/x = 2 [:. x > 0]` এখন, `(x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2)` `= x^5 + x - 1/x - 1/x^5` বা,`x^5 - 1/x^5 = (x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) - (x - 1/x)` `= {(x - 1/x)^3 + 3.x.1/x(x - 1/x)}` `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x} - (x - 1/x)` `= {2^3 + 3.2} {2^2 + 2} - 2` `= (8 + 6) (4 + 2) - 2` `= (14 xx 6) - 2` `:. x^5 - 1/x^5 = 82` (প্রমাণিত)