Question:নিচের সেট দুইটির উপসেট ও উপসেটের সংখ্যা নির্ণয় কর:

 ক. c = {m, n}

 খ. D = {5, 10, 15} 

ক. প্রদত্ত সেট , C = {m, n} 

    C সেটের উপসেটগুলো হলো {m, n}, {m}, {n}, `phi` 

    :. C সেটের উপসেটের সংখ্যা = 4


  খ. প্রদত্ত সেট D = {5, 10, 15}

     D সেটের উপসেটগুলো হলো {5, 10, 15}, {5, 10},

    {5, 15}, {10, 15}, {5}, {10}, {15}, `phi` 

    :. D সেটের উপসেটের সংখ্যা = 8

Question:A = {1, 2, 3}, B = {2, a} এবং 

 C = {a, b} হলে নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর:

 ক. `AuuB`

 খ. `BnnC`

 গ. `Ann(BuuC)`

 ঘ. `(AuuB)uuC`

 ঙ. `AnnB)uu(BnnC)` 

ক. প্রদত্ত সেট `AuuB`

     দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}

                     B = {2, a}

    :. `AuuB = {1, 2, 3} uu {2, a}`

                    = {1, 2, 3, a}

  খ. প্রদত্ত সেট `BnnC`

      দেওয়া আছে, B = {2, a}

                      C = {a, b}

      :. `BnnC = {2, a} nn {a, b}`

                      = {a}

  গ. প্রদত্ত সেট `Ann(BuuC)`

        দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {2, a}

                       C = {a, b}

           এখন, `Buuc = {2, a} uu {a, b}`

                               = {2, a, b}

         :. `Ann(BuuC) = {1, 2, 3} nn {2, a, b}`

                                  = {2}

 ঘ. প্রদত্ত সেট, `(AuuB)uuC`

      দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {2, a} এবং

                      C = {a, b}

             এখন, `AuuB = {1, 2, 3} uu {2, a}`

                                = {1, 2, 3, a}

               :. `(AuuB) uuC = {1, 2, 3, a} uu {a, b}`

                                        = {1, 2, 3, a, b}

 ঙ. প্রদত্ত সেট, `AnnB)uu(BnnC)`

      দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {2, a} এবং 

                   C = {a, b}

      এখন,  `AnnB = {1, 2, 3} nn {2, a}`

                           = {2}

        `BnnC = {2, a} nn {a, b}`

                    = {a}

           :. ` (AnnB) uu (BnnC) = {2} uu {a}`

                                                = {2, a}

Question:` u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},`

   A = {1, 2, 5}, B = {2, 4, 7}

   C = {4, 5, 6}

   ক. `AnnB = BnnA`

   খ. `(AnnB) = AuuB`

   গ. `(AuuC) = AnnC` 

ক. `AnnB = BnnA`

   দেওয়া আছে,  A = {1, 2, 5}

             এবং  B = {2, 4, 7}

   :. `AnnB = {1, 2, 5} nn {2, 4, 7}`

                  = {2}

     আবার, `BnnA = {2, 4, 7} nn {1, 2, 5}`

                 = {2}

         :.` AnnB = BnnA`

   খ. `(AnnB) = AuuB`

        দেওয়া আছে, A = {1, 2, 5}

            এবং B = {2, 4, 7}

      এখন,  `AnnB = {1, 2, 5} nn {2, 4, 7}`

                    = {2}

         :. `(AnnB) = U - (AnnB)`

                           = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2}

                           = {1, 3, 4, 5, 6, 7}


          আবার,  A = U - A

              = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - (1, 2, 5}

              = {3, 4, 6, 7}

          B = U - B

             = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - (2, 4, 7}

             = {1, 3, 5, 6}

        :. `AuuB = {3, 4, 6, 7} uu {1, 3, 5, 6}`

                        = {1, 3, 4, 5, 6, 7}

         :. `(AnnB) = AuuB`

               অর্থাৎ সর্ম্পকটি সত্য।

   গ. `(AuuC) = AnnC`

        দেওয়া আছে, A = {1, 2, 5}

            এবং C = {4, 5, 6}

         এখন, `AuuC = {1, 2, 5} uu {4, 5, 6}`

                             = {1, 2, 4, 5, 6}

         :. `(AuuC) = U - (AuuC)`

                           = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 2, 4, 5, 6}

                           = {3, 7}

          আবার, A = U - A

                       = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - (1, 2, 5}

                       = {3, 4, 6, 7}

                  C = U - C

                      = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {4, 5, 6}

                      = {1, 2, 3, 7}

          :.` AnnC = {3, 4, 6, 7}nn {1, 2, 3, 7}`

                          = {3, 7}

               :.` (AuuC) = AnnC`

           অর্থাৎ সর্ম্পকটি সত্য।

Question:P এবং Q যথাক্রমে 21 ও 35 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে `PuuQ` নির্ণয় কর। 

21 = `1 xx 21`

     = `3 xx 7`

   :. P = {1, 3, 7, 21}

    আবার, 35 = `1 xx 35`

                  = `5 xx 7`

            :.Q = {1, 5, 7, 35}

         :.` PuuQ = {1, 3, 7, 21} uu {1, 5, 7, 35}`

                        = {1, 3, 5, 7, 21, 35}

Question:বার্ষিক শতকরা ৬ টাকা মুনাফায় ৫০০ টাকায় ৪ বছরের মুনাফা যত হয়, বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা মুনাফায় কত টাকায় ২ বছর ৬ মাসের মুনাফা তত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,

  মুনাফার হার r `= ৬% = ৬/(১০০)`

  আসল P = 500 টাকা

  সময় n = ৪ বছর

   মুনাফা I = ?

   আমরা জানি, I = Prn

    অর্থাৎ মুনাফা = আসল `xx` মুনাফার হার `xx` সময়

    :. মুনাফা `= ৫০০ xx ৬/(১০০) xx ৪` টাকা = ১২০ টাকা

    দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,

    মুনাফা r = ১২০ টাকা

    মুনাফার হার r = `৫% = ৫/(১০০)`

    সময় n = ২ বছর ৬ মাস =` (২ + ৬/(১২))` বছর

                                = `(২ + ১/২)` বছর

                                = `৫/২` বছর

      মনে করি আসল P টাকা

       আমরা জানি, I = prn

             বা, P =` I/(rn)`

     অর্থা আসল = মুনাফা/মুনাফার হার `xx` সময়

     :. আসল = `(১২০)/(৫/(১০০) xx ৫/২)` টাকা

                = `((১২০)/১)/৮` টাকা

                =` ১২০ xx ৮/১` টাকা = ৯৬০ টাকা

        :. নির্ণেয় আসল ৯৬০ টাকা

                 উত্তর: ৯৬০ টাকা

        

       বিকল্প পদ্ধতি:

     ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ৬ টাকা

     :.  ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা `৬/(১০০)` টাকা

      :. ৫০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা `(৬ xx ৫০০ xx ৪)/(১০০)` টাকা

                                       = ১২০ টাকা

      ২ বছর ৬ মাস =` (২ + ৬/(১২))` বছর

                       = `(২ + ১/২)` বছর = `৫/২` বছর

      ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ৫ টাকা 

     :.  ১০০ টাকার` ৫/২` বছরের মুনাফা `৫ xx ৫/২ `টাকা 

                                  = `(২৫)/২` টাকা

      মুনাফা `(২৫)/২` টাকা হলে আসল ১০০ টাকা

      :.  মুনাফা ১ টাকা হলে আসল `(১০০ xx ২)/(২৫)` টাকা

       :. মুনাফা ১২০ টাকা হলে আসল `(১০০ xx ২ xx ১২০)/(২৫)` টাকা

                                     = ৯৬০ টাকা

              উত্তর: ৯৬০ টাকা

Question:বার্ষিক মুনাফা ৮% থেকে বেড়ে ১০% হওয়ায় তিশা মারমার আয় ৪ বছরে ১২৮ টাকা বেড়ে গেল। তার মূলধন কত ছিল? 

সমাধান:
বার্ষিক মুনাফা ৮% থেকে বেড়ে ১০% হলো 

     অর্থাৎ বার্ষিক মুনাফা বৃদ্ধি পেল (১০ - ৮) = ২%

    মনে করি মূলধন P টাকা

   দেওয়া আছে, মুনাফা I = ১২৮ টাকা

                   সময় n = ৪ বছর

    মুনাফার হার বৃদ্ধি r = `২% = ২/(১০০)`

    আমরা জানি, I = prn

             বা, P = `I/(rn)`

     অর্থাৎ মূলধন = মুনাফা/মুনাফা হার `xx` সময়

    :. মূলধন =` (১২৮)/(২/(১০০) xx ৪)` টাকা

      = `((১২৮)/২)/(২৫)` টাকা

      =` ১২৮ xx (২৫)/২` টাকা = ১৬০০ টাকা

    :. মূলধন ১৬০০ টাকা।

        উত্তর: ১৬০০ টাকা

Question:কোনো আসল ৩ বছরে  মুনাফা-আসল ১৫৭৮ টাকা এবং ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ১৮৩০ টাকা হয়। আসল ও মুনাফার হার নির্ণয় কর। 

সমাধান:
এখানে,

    আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ১৮৩০ টাকা

    আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ১৫৭৮ টাকা
     --------------------------------------
(বিয়োগ করে) ২ বছরের মুনাফা   = ২৫২ টাকা

       ২ বছরের মুনাফা   ২৫২ টাকা

     :.১ বছরের মুনাফা  `(২৫২)/২` টাকা

    :. ৩ বছরের মুনাফা  `(২৫২ xx ৩)/২`  টাকা

                           = ৩৭৮ টাকা

    :. আসল = মুনাফা-আসল-মুনাফা

              = (১৫৭৮ - ৩৭৮) টাকা

              = ১২০০ টাকা

     আমরা জানি, I = prn

        বা, r =` I/(pn)`

     যেখানে, আসল P = ১২০০ টাকা

              মুনাফা I = ৩৭৮ টাকা

              সময় n = ৩ বছর

              মুনাফার হার r = ?

   :. মুনাফার হার = মুনাফা/আসল সময়

                    = `(৩৭৮)/(১২০০ xx ৩)`

                    = ০.১০৫

                    = `০.১০৫ xx ১০০ xx ১/(১০০)`

                    =` ১০.৫ ১/(১০০)`

                    = ১০.৫%

      :. আসল ১২০০ টাকা এবং মুনাফার হার ১০.৫%

      উত্তর: ১২০০ টাকা এবং ১০.৫%


     বিকল্প পদ্ধতি:

    আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ১৮৩০ টাকা

    আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ১৫৭৮ টাকা
   ---------------------------------------
 (বিয়োগ করে) ২ বছরের মুনাফা = ২৫২ টাকা 

          ২ বছরের মুনাফা   ২৫২ টাকা

       :. ১ বছরের মুনাফা `(২৫২)/২` টাকা

       :. ৩ বছরের মুনাফা `(২৫২ xx ৩)/২` টাকা

                            = ৩৭৮ টাকা

      :. আসল = মুনাফা-আসল-মুনাফা

                = (১৫৭৮ - ৩৭৮) টাকা

                = ১২০০ টাকা

      ১২০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ৩৭৮ টাকা    

      :. ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা `(৩৭৮)/(১২০০ xx ৩)`  টাকা    

      :. ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা `(৩৭৮ xx ১০০)/(১২০০ xx ৩) `টাকা  

                                       = ১০.৫ টাকা

       :. আসল ১২০০ টাকা এবং মুনাফার হার ১০.৫%

         উত্তর: ১২০০ টাকা এবং ১০.৫%।

Question:বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৩০০০ টাকা এবং ৮% মুনাফায় ২০০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত টাকা হারে মুনাফা পাওয়া যায়? 

সমাধান:
প্রথম ক্ষেত্রে 

  আমরা জানি, I = prn

  অর্থাৎ মুনাফা = আসল` xx`  মুনাফার হার `xx` সময়

 :. ১০% হার মুনাফায় ৩০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা

      = `৩০০০ xx ১০% xx ১` টাকা

      =` ৩০০০ xx (১০)/(১০০) xx ১` টাকা

      = ৩০০ টাকা

      অনুরুপভাবে,

      ৮% হার মুনাফায় ২০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা

       = `২০০০ xx ৮/(১০০) xx ১` টাকা

       = ১৬০ টাকা

   :. মোট আসল P = (৩০০০ + ২০০০) টাকা

                       = ৫০০০ টাকা

    :. মোট মুনাফা I = (৩০০ + ১৬০) টাকা

                       = ৪৬০ টাকা

     সময় n = ১ বছর

     গড় মুনাফার হার r = ?

     আমরা জানি, I = prn

      বা, r =` I/(pn)`

     অর্থাৎ মুনাফার হার = মুনাফা/আসল `xx` সময়

       = `(৪৬০)/(৫০০০ xx ১)`

       = ০.০৯২

       = `০.০৯২ xx ১০০ xx ১/(১০০)`

       =` ৯.২ xx ১/(১০০)`

       = ৯.২%

      :. মুনাফার হার ৯.২%

      উত্তর: ৯.২%

Question:রড্রিক গোমেজ ৩ বছরের জন্য ১০০০ টাকা এবং ৪ বছরের জন্য ১৫০০০ টাকা ব্যাংক থেকে ঋণ নিয়ে ব্যাংককে মোট ৯৯০০ টাকা মুনাফা দেন। উভয় ক্ষেত্রে মুনাফার হার সমান হলে, মুনাফার হার নির্ণয় কর। 

সমাধান:

 মনে করি, উভয় ক্ষেত্রে মুনাফার হার r%

 আমরা জানি, মুনাফা = আসল `xx`  মুনাফার হার `xx` সময়

 r% হারে

 ১০০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা

 = `১০০০০ xx r % xx ৩` টাকা

 =` ১০০০০ xx r/(১০০) xx ৩` টাকা

 = ৩০০r টাকা

 আবার, r% হারে

 ১৫০০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা

 = `১৫০০০ xx r/(১০০) xx ৪` টাকা

 = ৬০০r টাকা

 শর্তমতে, ৩০০ + ৬০০r = ৯৯০০

           বা, ৯০০r = ৯৯০০

           বা, r =` (৯৯০০)/(৯০০)`

            :. r = ১১

     :. নির্ণেয় মুনাফার হার ১১%

        উত্তর: ১১%

Question:একটি ছোট বাক্সের দৈঘ্য ১৫ সে.মি ২.৪ মি.মি প্রস্থ ৭ সে.মি ৬.২ মি.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি ৮ সে.মি। বাক্সটির আয়তন কত ঘনসেন্টিমিটার? 

বাক্সের দৈঘ্য = ১৫ সে.মি. ২.৪ মি.মি

 = ১৫ সে.মি + `(২.৪)/(১০)` সে.মি

    [১ সে.মি = ১০ সে.মি]

 = ১৫ সে.মি. + ০.২৪ সে.মি.

 = ১৫.২৪ সে.মি.

 বাক্সের প্রস্থ   = ৭ সে.মি. ৬.২ মি.মি

 = ৭ সে.মি + `(৬.২)/(১০)` সে.মি.

 = ৭ সে.মি + ০.৬২ সে.মি.

 = ৭.৬২ সে.মি

 এবং বাক্সের উচ্চতা   = ৫ সে.মি. ৮ সে.মি.

        = ৫ সে.মি. + `৮/(১০)` সে.মি.

        = ৫ সে.মি + ০.৮ সে.মি

        = ৫.৮ সে.মি

       :. বাক্সের আয়তন

       = দৈর্ঘ্য প্রস্থ উচ্চতা

       = ১৫.২৪ সে.মি` xx`  ৭.৬২ সে.মি` xx`  ৫.৮ সে.মি

       = ৬৭৩.৫৪৭০৪ ঘন সে.মি

       = ৬৭৩.৫৪৭ ঘন সে.মি (প্রায়)