Question:4x - 7 এর বর্গ নির্ণয় কর।
`(4x - 7)^2 = (4x)^2 - 2.4x. 7 + (7)^2`
=` 16x^2 - 56x + 49`
উত্তর: `16x^2 - 56x + 49`Question:a + b = 7 এবং ab = 9 হলে `a^2 + b^2` এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, a + b = 7
এবং ab = 9
প্রদত্তরাশি `a^2 + b^2`
`= (a + b)^2 - 2ab`
`= (7)^2 - 2.9` [মান বসিয়ে]
`= 49 - 18`
`= 31`
:. নির্ণেয় মান = 31 (উত্তর)Question:x - y = 5 এবং xy = 6 হলে `(x + y)^2` এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, x - y = 5
এবং xy = 6
প্রদত্ত রাশি `= (x + y)^2`
`= (x - y)^2 + 4xy`
`= (5)^2 + 4.6` [মান বসিয়ে]
`= 25 + 24`
= 49
:. নির্ণেয় মান = 49Question:সৃত্রের সাহায্যে (5x + 7y) (5x - 7y) এর গুণফল নির্ণয় কর।
আমরা জানি, `(x + a) ও (x - a) = x^2 - a^2`
`:. (5x + 7y) (5x - 7y)`
`= (5x)^2 - (7y)^2`
`= 25x^2 - 49y^2`
:. নির্ণেয় গুণফল `= 25x^2 - 49y^2`
উত্তর :`25x^2 - 49y^2`Question:সৃত্রের সাহায্যে (x + 10) (x - 14) গুণফল নির্ণয় কর।
আমরা জানি,
`(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab`
`:. (x + 10) (x - 14)`
`= x^2 + (10 - 14)x + 10 xx (- 14)`
`= x^2 + (10 - 14)x + 10 xx (- 14)`
`= x^2 - 4x - 140`
:. নির্ণেয় গুণফল `= x^2 - 4x - 140`
উত্তর`: x^2 - 4x - 140`Question:সৃত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর বর্গ নির্ণয় কর। (ক). 5a + 7b (খ). 6a + 3 (গ). 7p - 2q (ঘ). ax - by ( ঙ). `x^3 + xy` (চ). 11a - 12b (ছ). `6x^2y - 5xy^2` ( জ).` - x - y` (ঝ).` - xyz - abc` (ঞ). `a^2x^3` (ট).` 108` (ঠ). `606` (ড).` 597` (ঢ).` a - b + c` (ণ). ax + b + 2 (ত).` xy + yz - zx` (থ).` 3p + 2q - 5r ` (দ). `x^2 - y^2 - z^2` (ধ). `7a^2 + 8b^2 - 5c^2`
ক.`= (5a)^2 + 2.5a.7b + (7b)^2`
`= 25a^2 + 70ab + 49b^2`
উত্তর`: 25a^2 + 70ab + 49b^2`
খ. `(6x + 3)^2`
`= (6x)^2 + 2. 6x. 3 + 3^2`
উত্তর: `= 36x^ + 36x + 9`
গ. `(7p - 2q)^2`
`= (7p)^2 - 2. 7b. 2q + (2q)^2`
`= 49p^2 - 28pq + 4q^2`
উত্তর`= 49p^2 - 28pq + 4q^2`
ঘ. `(ax - by)^2`
`= (ax)^2 - 2.ax.by + (by)^2`
`= a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2`
উত্তর: `a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2`
ঙ. `(x^3 + xy)^2`
`= (x^3)^2 + 2.x^3.xy + (xy)^2`
`= x^6 + 2x^4y + x^2y^2`
উত্তর: `x^6 + 2x^4y + x^2y^2`
চ. `(11a - 12b)^2`
`= (11a)^2 - 2. 11a. 12b + (12b)^2`
`= 121a^2 - 264ab + 144b^2`
উত্তর: `121a^2 - 264ab + 144b^2`
ছ. `(6x^2y - 5xy^2)^2`
`= (6x^2y)^2 - 2.6x^2y. 5xy^2 + (5xy^2)^2`
`= 36x^4y^2 - 60x^3y^3 + 25x^2y^4`
উত্তর: `36x^4y^2 - 60x^3y^3 + 25x^2y^4`
জ. `(- x - y)^2 = {- (x + y)}^2`
`= (x + y)^2`
`= x^2 + 2xy + y^2`
উত্তর: `x^2 + 2xy + y^2`
জ. `(- xyz - abc)^2`
`= {- (xyz + abc)}^2`
`= (xyz + abc)^2`
`= (xyz)^2 + 2.xyz.abc + (abc)^2`
উত্তর: `= x^2y^2z^2 + 2abcxyz + a^2b^2c^2`
ঞ. `(a^2x^3 - b^2y^4)^2`
`= (a^2x^3)^2 - 2.a^2x^3. b^2y^4 + (b^2y^4)^2`
`= a^4x^6 - 2a^2b^2x^3y^4 + b^4y^8`
উত্তর `: a^4x^6 - 2a^2b^2x^3y^4 + b^4y^8`
ট. `(108)^2 = (100 + 8)^2`
`= (100)^2 + 2.100. 8 + (8)^2`
`= 10000 + 1600 + 64`
`= 11664`
উত্তর `: 11664`
ঠ. `(606)^2 = (600 + 6)^2`
`= (600)^2 + 2. 600. 6 + 6^2`
`= 360000 + 7200 + 36`
` = 3672236`
উত্তর `: 367236`
ড. `(597)^2 = (600 - 3)^2`
`= (600)^2 - 2. 600. 3 + 3^2`
`= 360000 - 3600 + 9`
`= 356409`
উত্তর : 356409
ঢ. `(a - b + c)^2`
`= {a - (b - c)}^2`
`= a^2 - 2.a(b - c) + (b - c)^2`
`= a^2 - 2a(b - c) + b^2 - 2bc + c^2`
`= a^2 - 2ab + 2ac + b^2 - 2bc + c^2`
`= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca`
উত্তর: `a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca`
ণ. `(ax + b + 2)^2`
`= {ax + (b + 2)}^2`
`= (ax)^2 + 2.ax (b + 2) + (b + 2)^2`
` = a^2x^2 + 2ax (b + 2) + b^2 + 2. b. 2 + 2^2`
`= a^2x^2 + 2abx + 4ax + b^2 + 4b + 4`
উত্তর `: a^2x^2 + 2abx + 4ax + b^2 + 4b + 4`
ত. `(xy + yz - zx)^2`
`= {xy + (yz - zx)}^2`
`= (xy)^2 + 2.xy. (yz - zx) + (yz - zx)^2`
`= x^2y^2 + 2xy (yz - zx) + (yz)^2 - 2.yz.zx + (zx)^2`
`= x^2y^2 + 2xy^2z - 2x^2yz + y^2z^2 - 2xyz^2 + z^2x^2`
`= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 - 2x^2yz + 2xy^2z - 2xyz^2`
উত্তর `: x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 - 2x^2yz + 2xy^2z - 2xyz^2`
থ. `(3p + 2q - 5r)^2`
`= {3p + (2q - 5r)}^2`
`= (3p)^2 + 2.3p (2q - 5r) + (2q - 5r)^2`
`= 9p^2 + 6p (2q - 5r) + (2q)^2 - 2. 2q. 5r + (5r)^2`
`= 9p^2 + 12pq - 30rp + 4q^2 - 20qr + 25r^2`
`= 9p^2 + 4q^2 + 25r^2 + 12pq - 20qr - 30rp`
উত্তর: ` 9p^2 + 4q^2 + 25r^2 + 12pq - 20qr - 30rp`
দ. `(x^2 - y^2 - z^2)^`
`= {x^2 - (y^2 + z^2)}^2`
`= (x^2)^2 - 2. x^2. (y^2 + z^2) + (y^2 + z^2)^2`
`= x^4 - 2x^2 (y^2 + z^2) + (y)^2 + 2. y^2. z^2 + (z^2)^2`
`= x^4 - 2x^2y^2 - 2z^2x^2 + y^4 + 2y^2z^2 + z^4`
`= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 + 2y^z^2 - 2z^2x^2`
উত্তর: `x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 + 2y^z^2 - 2z^2x^2`
ধ. `(7a^2 + 8b^2 - 5c^2)^2`
`= {7a^2 + (8b^2 - 5c^2)}^2 `
`= (7a^2)^2 + 2.7a^2. (8b^2 - 5c^2) + (8b^2 - 5c^2)^2`
`= 49a^4 + 14a^2 (8b^2 - 5c^2) + (8b^2)^2 - 2. 8b^2. 5c^2 + (5c^2)^`
`= 49a^4 + 112a^2b^2 - 70a^2c^2 + 6ab^4 - 80b^2c^2 + 25c^4`
`= 49a^4 + 64b^4 + 25c^4 + 112a^2b^2 - 80b^2c^2 - 70c^2a^2`
`= 49a^4 + 64b^4 + 25c^4 + 112a^2b^2 - 80b^2c^2 - 70c^2a^2`Question:সরল কর: ক. `(x + y)^2 + 2(x + y) (x - y) + (x - y)^2` খ. `(2a + 3b)^2 - 2(2a + 3b) (3b - a) + (3b - a)^2` গ. `(3x^2 + 7y^2)^2 + 2(3x^2 + 7y^2) (3x^2 - 7y^2) + (3x^2 - 7y^2)^2` ঘ. `(8x + y)^2 - (16x + 2y) (5x + y) + (5x + y)^2` ঙ. `(5x^2 - 3x - 2)^2 + (2 + 5x^2 - 3x)^2 - 2(5x^2 - 3x - 2) (2 + 5x^2 - 3x)`
ক.`(x + y)^2 + 2(x + y) (x - y) + (x - y)^2`
মনে করি, x + y = a
এবং x - y = b
প্রদত্ত রাশি `= a^2 + 2ab + b^2`
`= (a + b)^2`
`= (x + y + x - y)^2` [a ও b এর মান বসিয়ে]
`= (2x)^2`
`= 4x^2`
:. নির্ণেয় সরলফল `= 4x^2`
উত্তর: `= 4x^2`
খ. `(2a + 3b)^2 - 2 (2a + 3b) (3b - a) + (3b - a)^2`
মনে করি, 2a + 3b = x
এবং 3b - a = y
প্রদত্ত রাশি `= x^2 - 2xy + y^2`
`= (x - y)^2`
`= {(2a + 3b) - (3b - a)}^2` [x y]
`= (2a + 3b - 3b + a)^2`
`= (3a)^2`
`= 9a^2`
নির্ণেয় সরলফল `= 9a^2`
উত্তর: `= 9a^2`
গ. `(3x^2 + 7y^2)^2 + 2 (3x^2 + 7y^2) (3x^2 - 7y^2) + (3x^2 - 7y^2)^2`
মনে করি, `3x^2 + 7y^2 = a`
এবং `3x^2 - 7y^2 = b`
প্রদত্ত রাশি `= a^2 + 2ab + b^2`
`= (a + b)^2`
`= (3x^2 + 7y^2 + 3x^2 - 7y^2)^2` [a এবং b এর মান বসিয়ে]
`= (6x^2)^2`
`= 36x^4`
:. নির্ণেয় সরলফল `= 36x^4`
উত্তর `= 36x^4`
ঘ. `(8x + y)^2 - (16x + 2y) (5x + y) + (5x + y)^2`
`= (8x + y)^2 - 2(8x + y) (5x + y) + (5x + y)^2`
মনে করি, 8x + y = a
এবং 5x + y = b
প্রদত্ত রাশি `= a^2 - 2ab + b^2`
`= (a - b)^2`
`= {(8x + y) - (5x + y)}^2` [a b]
`= (8x + y - 5x - y)^2`
`= (3x)^2`
`= 9x^2`
:. নির্ণেয় সরলফল `= 9x^2`
উত্তর: `= 9x^2`
ঙ. `(5x^2 - 3x - 2)^2 - 2(5x^2 - 3x - 2)`
`(2 + 5x^2 - 3x) + (2 + 5x^2 - 3x)^2`
মনে করি, `5x^2 - 3x - 2 = a`
এবং `2 + 5x^2 - 3x = b`
প্রদত্তরাশি `= a^2 - 2ab + b^2`
`= (a - b)^2`
`= {(5x^2 - 3x - 2) - (2 + 5x^2 - 3x)}^2` [a ও b এর মান বসিয়ে]
`= (5x^2 - 3x - 2 - 2 - 5x^2 + 3x)^2`
`= (- 4)^2`
= 16
:. নির্ণেয় সরলফল = 16
উত্তর : 16Question:সৃত্র প্রয়োগ করে গুণফল নির্ণয় কর : ক. (x + 7) (x - 7) খ. (5x + 13) (5x - 13) গ. ( xy + yz) (xy - yz) ঘ. (ax + b) (ax - b) ঙ. (a + 3) (a + 4) চ. (ax + 3) (ax + 4) ছ. (6x + 17) (6x - 13) জ. `(a^2 + b^2) (a^2 - b^2) (a^4 + b^4)` ঝ. (ax - by + cz) (ax + by - cz) ঞ. (3a - 10) (3a - 5) ট. (5a + 2b - 3c) (5a + 2b + 3c) ঠ. (ax + by + 5) (ax + by + 3)
ক. (x + 7) (x - 7)
`= x^2 - 7^2`
`= x^2 - 49`
নির্ণেয় গুণফল `= x^2 - 49`
উত্তর `: x^2 - 49`
খ. `(5x + 13) (5x - 13)`
`= (5x)^2 - (13)^2`
`= 25x^2 - 169`
:. নির্ণেয় গুণফল `= 25x^2 - 169`
`: 25x^2 - 169`
গ. `(xy + yz) (xy - yz)`
`= (xy)^2 - (yz)^2`
`= x^2y^2 - y^2z^2`
:. নির্ণেয় গুণফল` = x^2y^2 - y^z^2`
উত্তর `: x^2y^2 - y^2z^2`
ঘ. (ax + b) (ax - b)
`= (ax)^2 - (b)^2`
`= a^2x^2 - b^2`
:. নির্ণেয় গুণফল `= a^2x^2 - b^2`
উত্তর `: a^2x^2 - b^2`
ঙ. (a + 3) (a + 4)
`= a^2 + (3 + 4)a + 3. 4`
` = a^2 + 7a + 12`
:. নির্ণেয় গুণফল` = a^2 + 7a + 12`
উত্তর: `a^2 + 7a + 12`
চ. (ax + 3) (ax + 4)
`= (ax)^2 + (3 + 4) ax + 3.4`
`= a^2x^2 + 7ax + 12`
:. নির্ণেয় গুণফল `= a^2x^2 + 7ax + 12`
উত্তর: `a^2x^2 + 7ax + 12`
ছ. (6x + 17) (6x - 13)
`= (6x)^2 + (17 - 13). 6x + 17. (- 13)`
`= 36x^2 + 4. 6x - 221`
`= 36x^2 + 24x - 221`
:. নির্ণেয় গুণফল` = 36x^2 + 24x - 221`
উত্তর `: 36x^2 + 24x - 221`
জ. `(a^2 + b^2) (a^2 - b^2) (a^4 + b^4)`
`= {(a^2)^2 - (b^2)^2} (a^4 + b^4)`
`= (a^4 - b^4) (a^4 + b^4)`
`= (a^4)^2 - (b^4)^2`
`= a^8 - b^8`
:. নির্ণেয় গুণফল `= a^8 - b^8`
উত্তর: `a^8 - b^8`
ঝ. (ax - by + cz) (ax + by - cz)
= {ax - (by - cz)} {ax + (by - cz)}
= `(ax)^2 - (by - cz)^2`
=` a^2x^2 - {(by)^2 - 2.by. cz + (cz)^2}`
= `a^2x^2 - (b^2y^2 - 2bcyz + c^2z^2)`
=` a^2x^2 - b^2y^2 + 2bcyz - c^2z^2`
= `a^2x^2 - b^2y^2 - c^2z^2 + 2bcyz`
:. নির্ণেয় গুণফল` = a^2x^2 - b^2y^2 - c^2z^2 + 2bcyz`
উত্তর:` = a^2x^2 - b^2y^2 - c^2z^2 + 2bcyz`
ঞ. (3a - 10) (3a - 5)
`= (3a)^2 - (10 + 5). 3a + 10.5`
`[:. (x - a) (x - b) = x^2 - (a + b) x + ab]`
`= 9a^2 - 15.3a + 50`
`= 9a^2 - 45a + 50`
`= 9a^2 - 45a + 50`
`= 9a^2 - 45a + 50`
:. নির্ণেয় গুণফল `= 9a^2 - 45a + 50`
উত্তর `: 9a^2 - 45a + 50`
ট. (5a + 2b - 3c) (5a + 2b + 3c)
= {(5a + 2b) - 3c} {(5a + 2b) + 3c}
`= (5a + 2b)^2 - (3c)^2`
`= (5a)^2 + 2. 5a. 2b + (2b)^2 - (3c)^2`
`= 25a^2 + 20ab + 4b^2 - 9c^2`
`= 25a^2 + 4b^2 - 9c^2 + 20ab`
:. নির্ণেয় গুণফল` = 25a^2 + 4b^2 - 9c^2 + 20ab`
উত্তর: ` = 25a^2 + 4b^2 - 9c^2 + 20ab`
ঠ. (ax + by + 5) (ax + by + 3)
`= {(ax + by) + 5} {(ax + by) + 3}`
`= (ax + by)^2 + (5 + 3) (ax + by) + 5.3`
=`(ax)^2 + 2. ax. by + (by)^2 + 8(ax + by) + 15`
=` a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + 8ax + 8by + 15`
:. নির্ণেয় গুণফল `= a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + 8ax + 8by + 15`
উত্তর: `= a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + 8ax + 8by + 15`Question:a = 4, b = 6 এবং c = 3 হলে `4a^2b^2 - 16ab^2c + 16b^2c^2` এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, a = 4, b = 6 এবং c = 3
প্রদত্ত রাশি
`= 4a^2b2 - 16ab^2c + 16b^2c^2`
`= (2ab)^2 - 2. 2ab . 4bc + (4bc)^2`
`= (2ab - 4bc)^2`
`= (2.4.6 - 4. 6. 3)^2` [a, b, c এর মান বসিয়ে]
`= (48 - 72)^2`
`= (- 24)^2 = 576`
:. নির্ণেয় মান `= 576`
উত্তর = 576Question:`x - 1/x = 3` হলে `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, `x - 1/x = 3`
:. প্রদত্ত রাশি, `= x^2 + 1/x^2`
`= (x - 1/x)^2 + 2. x. 1/x`
`= (3)^2 + 2` [মান বসিয়ে]
`= 9 + 2`
:. নির্ণেয় মান = 11
উত্তর: 11