Question:‍`a + 1/a = 4` হলে `a^4 + 1/a^4` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `= a^4 + 1/a^4`

  :. প্রদত্ত রাশি `= (a^2)^2 + (1/a^2)^2`

                  `= (a^2 + 1/a^2) - 2. a^2. 1/a^2`

                  `= {(a + 1/a)^2 - 2.a. 1/a}^2 - 2`

                  `= {(4)^2 - 2}^2 - 2` [মান বসিয়ে]

                  `= (16 - 2)^2 - 2`

                  `= (14)^2 - 2`

                  `= 196 - 2`

                    = 194

   :. নির্ণেয় মান = 194

        উত্তর  : 194

Question:m = 6, n = 7  হলে `16(m^2 + n^2)^2 + 56(m^2 + n^2) (3m^2 - 2n^2) `

   `+ 49(3m^2 - 2n^2)^2` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, m = 6 এবং n = 7

  প্রদত্ত রাশি :.` = 16(m^2 + n^2)^2 + 56 (m^2 + n^2) (3m^2 - 2n^2) `

                    `+ 49 (3m^2 - 2n^2)^2`

                   `= {4(m^2 + n^2)}^2 + 2. 4(m^2 + n^2) 7(3m^2 - 2n^2)` 

                       `+ {7 (3m^2 - 2n^2)}^2`

                   `= {4(m^2 + n^2) + 7(3m^2 - 2n^2)}^2`

                   `= (4m^2 + 4n^2 + 21m^2 - 14n^2)^2`

                   `= (25m^2 - 10n^2)^2`

                   `= (25. 6^2 - 10. 7^2)^2` [m = 6 এবং n = 7 বসিয়ে]

                   `= (25. 36 - 10. 49)^2`

                   `= (900 - 490)^2`

                   `= (410)^2`

                     = 168100

        :. নির্ণেয় মান = 168100

            : 168100

Question:`a - 1/a = m` হলে দেখাও যে, `a^4 + 1/a^4 = m^4 + 4m^2 + 2` 

দেওয়া আছে, `a - 1/a = m`

  বামপক্ষ = `a^4 + 1/a^4`

         `= (a^2)^2 + (1/a^2)^2`

         `= (a^2 + 1/a^2) - 2. a^2. 1/a^2`

         `= {(a - 1/a)^2 + 2. a. 1/a}^2 - 2`

          `= (m^2 + 2)^2 - 2`   [মান বসিয়ে]

          `= (m^2)^2 + 2. m^2. 2 + (2)^2 - 2`

          `= m^4 + 4m^2 + 4 - 2`

          `= m^4 + 4m^2 + 2`

            = ডানপক্ষ

   :. `a^4 + 1/a^4 = m^4 + 4m^2 + 2`

Question:`x - 1/x = 4` হলে প্রমাণ কর যে, `x^2 + (1/x)^2 = 18` 

দেওয়া আছে, `x - 1/x = 4`

  এখন বামপক্ষ, `= x^2 + (1/x)^2`

                    `= (x - 1/x)^2 + 2.x. 1/x`

                    `= (4)^2 + 2` [মান বসিয়ে]

                    `= 16 + 2`

                      = 18

                      = ডানপক্ষ

         :. `x^2 + (1/x)^2`

             ` = 18`

Question:`m + 1/m = 2` হলে প্রমাণ কর যে, `m^4 + 1/m^4 = 2` 

দেওয়া আছে, 

       `m + 1/m = 2`

  এখন বামপক্ষ `= m^4 + 1/m^4`

                  `= (m^2)^2 + (1/m^2)^2`

                  `= (m^2 + 1/m^2)^2 - 2. m^2. 1/m^2`

                  `= {(m + 1/m)^2 - 2. m. 1/m}^2 - 2`

                  `= {(2)^2 - 2}^2 - 2`  [মান বসিয়ে]

                  `= (4 - 2)^2 - 2`

                  `= (2)^2 - 2`

                  `= 4 - 2`

                    = 2

                    = ডানপক্ষ

          :. `m^4 + 1/m^4 = 2`

Question:x + y = 12 এবং xy = 27 হলে  `(x - y)^2 x^2 + y^2` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, x + y = 12 এবং xy = 27

  এখন, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

                         `= (12)^2 - 4. 27`  [মান বসিয়ে]

                         `= 144 - 108`

                           = 36

   আবার, `x^2 + y^2 = (x + y) - 2xy`

                              `= (12)^2 - 2. 27`  [মান বসিয়ে]

                              `= 144 - 54`

                                = 90

                       :. নির্ণেয় মান = 36 ও 90

                   উত্তর: 36 ও 90

Question:‍a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে `2a^2 + 2b^2` ও ab এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a + b = 13

        এবং      a - b  = 3

   এখন, `2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)`

                                   = `(a + b)^2 + (a - b)^2`

                                   = `(13)^2 + (3)^2` [মান বসিয়ে]

                                   = 169 + 9

                                   = 178

    আবার, `ab = ((a + b)/2)^2 - ((a - b)/2)^2`

                  `= ((13)/2)^2 - (3/2)^2`  [মান বসিয়ে]

                  `= (169)/4 - 9/4`

                    = `(169 - 9)/4`

                    = `(160)/4`

                    = 40

       :. নির্ণেয় মান   178 ও 40

             উত্তর: 178 ও 40

Question:`(x^2 + xy)/(x^2y)` এবং `(x^2 - xy)/(xy^2)` কে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

`(x^2 + xy)/(x^2y)` এবং `(x^2 - xy)/(xy^2)`

  প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর `x^2y`ও `xy^2`  `= x^2y^2`

        এখানে,  `x^2y^2 -: x^2y = y`

   `:. (x^2 + xy)/(x^2y) = ((x^2 + xy). y)/(x^2y xx y)`

                                    `= (y (x^2 + xy))/(x^2y^2)`

    আবার, `x^2y^2 -: xy^2 = x`

    `:. (x^2 - xy)/(xy^2) = ((x^2 - xy))/(xy^2.x) = (x(x^2 - xy))/(x^2y^2)`

      :. নির্ণেয় সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো

      `(y(x^2 + xy))/(x^2y^2), (x(x^2 - xy))/(x^2y^2)`

      উত্তর: `(y(x^2 + xy))/(x^2y^2), (x(x^2 - xy))/(x^2y^2)`

Question:লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর:

   ক. `(4x^2y^3z^5)/(9x^5y^2z^5)`

   খ. `(16(2x)^4(3y)^5)/((3x)^3.(2y)^6)`

   গ. `(x^3y + xy^3)/(x^2y^3 + x^3y^2)`

   ঘ. `((a - b) (a + b))/(a^3 - b^3)`

   ঙ. `(x^2 - 6x + 5)/(x^2 - 25)`

   চ. `(x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 9x + 20)`

   ছ. `((x^3 - y^3) (x^2 - xy + y^2))/((x^2 - y^2) (x^3 + y^3))`

   জ. `(a^2 - b^2 - 2bc - c^2)/(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)` 

ক. `(4x^2y^3z^5)/(9x^5y^2z^3)`

        4 ও 9  এর গ.সা,গু = 1

      `x^2` ও `x^5` ''     ''   = `x^2`

     `y^3` ও `y^2`   ''   ''    =` y^2`

     `z^5` ও `z^3`   ''   ''    =` z^3`

    `:. 4x^2y^3z^5`  ও `9x^5y^2z^3` এর গ.সা.গু দ্বারা ভাগ করে পাই,

                 `= x^2y^2z^3`

            `(4x^2y^3z^5)/(9x^5y^2z^3)`  এর লব ও হরকে `x^2y^2z^3` দ্বারা ভাগ

              করে পাই, `(4xyz^2)/(9x^3)`

             :.  ‍নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ  `= (4yz)^2/(9x^3)`

               উত্তর  `: (4yz)^2/(9x^3)`

  খ.  `(16(2x)^4(3y)^5)/((3x)^3.(2y)^6)`

       `= (16. 16x^4. 243y^5)/(27x^3. 64y^6)`

       `= (62208x^4y^5)/(1728x^3y^6)`

        62208 ও 1728  এর  গ.সা,গু = 1728

     `x^4` ও `x^3`  ''      ''     =` x^3`

     `y^5` ও `y^6`  ''      ''     = `y^5`

     `:. x^4y^5` ও `1728x^3y^6` এর গ.সা.গু

          `= 1728x^3y^5`

        `(62208 x^4y^5)/(1728x^3y^6)` এর লব হরকে `1728x^3y^5`

         দ্বার ভাগ করে পাই, `(36x)/y`

         :. নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (36x)/y`

         উত্তর`: (36x)/y`

  গ. `(x^3y + xy^3)/(x^2y^3 + x^3y^2)`

                    `= (xy(x^2 + y^2))/(x^2y^2(y + x))`

                    `= (x^2 + y^2)/(xy(x + y)`

  :. নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (x^2 + y^2)/(xy(x + y)`

             উত্তর `: (x^2 + y^2)/(xy(x + y)`


   ঘ. `((a - b)(a + b))/(a^3 - b^3)`

     `= ((a - b)(a + b))/((a - b)(a^2 + ab + b^2))`

     `= (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

   :. নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

        `: (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`


   ঙ.  `(x^2 - 6x + 5)/(x^2 - 25)`

      `= (x^2 - 5x - x + 5)/(x^2 - 5^2)`

      `= (x(x - 5) - 1(x - 5))/((x + 5)(x - 5))`

      `= (x - 1)/(x + 5)`

   :. নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (x - 1)/(x + 5)`

                 উত্তর: `= (x - 1)/(x + 5)`


   চ. `(x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 9x + 20)`

      `= (x^2 - 4x - 3x + 12)/(x^2 - 5x - 4x + 20)`

      `= (x(x - 4) - 3(x - 4))/(x(x - 5) - 4(x - 5))`

      `= ((x - 4)(x - 3))/((x - 5) (x - 4))`

      `= (x - 3)/(x - 5)`

     :. নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (x - 3)/(x - 5)`

                উত্তর `= (x - 3)/(x - 5)`

   ছ. `((x^3 - y^3)(x^2 - xy + y^2))/((x^2 - y^2)(x^3 + y^3))`

     `= ((x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2))/((x + y)(x - y)(x + y) (x^2 - xy + y^2))`

     `= (x^2 + xy + y^2)/(x + y)^2`

     নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ `= (x^2 + xy + y^2)/(x + y)^2`

        উত্তর `: (x^2 + xy + y^2)/(x + y)^2`


   জ. `(a^2 - b^2 - 2bc - c^2)/(a^2 + 2ab + b^2 - c^2)`

       `= (a^2 - (b^2 + 2bc + c^2))/((a^2 + 2ab + b^2) - c^2)`

       `= (a^2 - (b + c))^2/((a + b)^2 - c^2)`

       `= ((a + b + c)(a - b - c))/((a + b + c)(a + b - c))`

       `= (a - b - c)/(a + b - c)`

     :. ‍নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ  `= (a - b - c)/(a + b - c)`

                উত্তর  `= (a - b - c)/(a + b - c)`

Question:সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

 ২. ক. `(x^2)/(xy), (y^2)/(yz), (z^2)/(zx)` 

ক. `(x^2)/(xy), (y^2)/(yz), (z^2)/(zx)`

   প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হর xy, yz ও zx  এর ল.সা,গু = xyz

  এখানে, হরগুলোর ল.সা,গু/প্রথম ভগ্নাংশের হর 

 = `(xyz)/(xy) = z`

`:. x^2/(xy) = (x^2.z)/(xy.z) `

`= (x^2z)/(xyz)`

 হরগুলোর ল.সা,গু/দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর

`= (xyz)/(yz) = x`

 `:. y^2/(yz) = (y^2.x)/(yz.x) `

`= (xy^2)/(xyz)`

 এবং হরগুলোর ল.সা,গু/তৃতীয় ভগ্নাংশের হর 

`= (xyz)/(zx) = y`

`:. z^2/(zx) = (z^2.y)/(zx.y) `

`= (yz^2)/(xyz)`

 :. নির্ণেয় সাধারণ হরবিশষ্টি ভগ্নাংশগুলো হলো

   `(x^2z)/(xyz), (xy^2)/(xyz) (yz^2)/(xyz)`

   উত্তর `: (x^2z)/(xyz), (xy^2)/(xyz) (yz^2)/(xyz)`