Question:যোগ নির্ণয় কর:

 ৩.ছ. `1/(x - 2) + 1/(x + 2) + 4/(x^2 - 4)`

    জ.` 1/(x^2 - 1) + 1/(x^4 - 1) + 4/(x^8 - 1)` 

ছ.`1/(x - 2) + 1/(x + 2) + 4/(x^2 - 4)`

  `= (1(x + 2) + 1(x - 2))/((x - 2)(x + 2)) + 4/(x^2 - 4)`

  `= (x + 2 + x - 2)/((x - 2)(x + 2)) + 4/(x^2 - 4)`

  `= (2x)/(x^2 - 4) + 4/(x^2 - 4)`

  `= (2x + 4)/(x^2 - 4)`

  `= (2(x + 2))/((x - 2)(x + 2))`

  `= 2/(x - 2)`

  উত্তর:  `= 2/(x - 2)`


 জ. ` 1/(x^2 - 1) + 1/(x^4 - 1) + 4/(x^8 - 1)`

      `= 1/(x^2 - 1) + 1/(x^2 - 1)(x^2 + 1)) + 4/(x^8 - 1)`

      `= (x^2 + 1 + 1)/((x^2 - 1)(x^2 + 1)) + 4/(x^8 - 1)`

     `= (x^2 + 2)/(x^4 - 1) + 4/((x^4 + 1)(x^4 - 1))`

     `= ((x^2 + 2)(x^4 + 1) + 4)/((x^4 + 1)(x^4 - 1))`

     `= (x^6 + x^2 + 2x^4 + 2 + 4)/((x^4)^2 - 1^2)`

     `= (x^6 + 2x^4 + x^2 + 6)/(x^8 - 1)`

    উত্তর:  `= (x^6 + 2x^4 + x^2 + 6)/(x^8 - 1)`

Question:বিয়োগফল নির্ণয় কর:

  ক. `a/(x - 3) - a^2/(x^2 - 9)`

  খ. `1/(y(x - y)) - 1/(x(x + y))`

  গ. `(x + 1)/(1 + x + x^2) - (x - 1)/(1 - x + x^2)`

  ঘ.  `(a^2 + 16b^2)/(a^2 - 16b^2) - (a - 4b)/(a + 4b)`

  ঙ. `1/(x - y) - (x^2 - xy + y^2)/(x^3 + y^3)` 

ক. `a/(x - 3) - a^2/(x^2 - 9)`

     `= a/(x - 3) - a^2/(x^2 - 3^2)`

     `= a/(x - 3) - a^2/((x + 3)(x - 3))`

    ` = (a(x + 3) - a^2)/((x - 3)(x + 3))`

    ` = (ax + 3a - a^2)/((x - 3)(x + 3))`

     `= (ax + 3a - a^2)/(x^2 - 9)`

 উত্তর: `= (ax + 3a - a^2)/(x^2 - 9)`


  খ. `1/(y(x - y)) - 1/(x(x + y))`

     `= (x(x + y) - y(x - y))/(xy(x - y)(x + y))`

     `= (x^2 + xy - xy + y^2)/(xy(x - y)(x + y))`

     `= (x^2 + y^2)/(xy(x - y)(x + y))`

     `= (x^2 + y^2)/(xy(x^2 - y^2)`

      উত্তর: `= (x^2 + y^2)/(xy(x^2 - y^2)`

 গ. `(x + 1)/(1 + x + x^2) - (x - 1)/(1 - x + x^2)`

  `= ((x + 1)(1 - x + x^2) - (x - 1)(1 + x + x^2))/((1 + x + x^2) (1 - x + x^2))`

  `= ((x - x^2 + x^3 + 1 - x + x^2) - (x + x^2 + x^3 - 1 - x - x^2))/((1 + x^2 + x) (1 + x^2 - x))`

 `= ((x^3 + 1) - (x^3 - 1))/((1 + x^2)^2 - x^2)`

 `= ((x^3 + 1) - (x^3 - 1))/(1 + 2x^2 + x^4 - x^2)`

` = (x^3 + 1 - x^3 + 1)/(x^4 + x^2 + 1)`

 `= 2/(x^4 + x^2 + 1)`

   উত্তর :` 2/(x^4 + x^2 + 1)`


 ঘ.  `(a^2 + 16b^2)/(a^2 - 16b^2) - (a - 4b)/(a + 4b)`

 `= (a^2 + 16b^2)/(a^2 - 16b^2) - (a - 4b)/(a + 4b)`

 `= (a^2 + 16b^2)/((a + 4b) (a - 4b)) - (a - 4b)/(a + 4b)`

 `= (a^2 + 16b^2 - (a - 4b)^2)/((a + 4b) (a - 4b))`

 `= (a^2 + 16b^2 - (a^2 - 2.a.4b + 16b^2))/((a + 4b) (a - 4b))`

 `= (a^2 + 16b^2 - (a^2 - 8ab + 16b^2))/((a + 4b) (a - 4b))`

 `= (a^2 + 16b^2 - a^2 + 8ab - 16b^2)/(a^2 - (4b)^2`

 `= (8ab)/(a^2 - 16b^2)`

    উত্তর: `(8ab)/(a^2 - 16b^2)`

   
  ঙ. `1/(x - y) - (x^2 - xy + y^2)/(x^3 + y^3)`

  `= ((x^3 + y^3) - (x - y) (x^2 - xy + y^2))/((x - y) (x^3 + y^3))`

  `= (x^3 + y^3 - (x^3 - x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2 - y^3))/((x - y)(x^3 + y^3))`

  `= (x^3 + y^3 - x^3 + x^2y - xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3)/((x - y)(x^3 + y^3))`

  `= (2x^2y - 2xy^2 + 2y^3)/((x - y)(x^3 + y^3))`

  `= (2y(x^2 - xy + y^2))/((x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2))`

  `= (2y)/(x^2 - y^2)`

   উত্তর :`(2y)/(x^2 - y^2)`

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

 x + y = 4

 x - y = 2 

প্রদত্ত সমীকরণ

    x + y = 4 .............(i)

    x - y = 2 ...............(ii)

   সমীকরণ (i) হতে পাই,

   y = 4 - x ...........(iii)

   সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই,

    x - (4 - x) = 2

  বা, x - 4 + x = 2

  বা, 2x - 4 = 2

  বা, 2x = 2 + 4

  বা,  2x = 6

   বা, x =` 6/2`

   :. x = 3

   x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই, 

   y = 4 - 3

   :. y = 1

   :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 1)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

 2x + y = 5

  x - y = 1 

প্রদত্ত সমীকরণ

   2x + y = 5...............(i)

   x - y = 1.............(ii)

   সমীকরণ (i) হতে পাই,

    y = 5 - 2x..............(iii)

   সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

    x - (5 - 2x) = 1

    x - 5 + 2x = 1

    x + 2x = 1 + 5

    3x = 6

    x = `6/3`

    :. x = 2

    x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        y = 5 - 2.2

    বা, y = 5 - 4

    বা, y = 1

   :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

 3x + 2y = 10

  x - y = 0 

প্রদত্ত সমীকরণ

  3x + 2y = 10............(i)

   x - y = 0................(ii)

   সমীকরণ (ii) হতে পাই,

    x = y

   বা, y = x..............(iii)

   সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

    3x + 2x = 10

   বা, 5x = 10

    বা, x = `(10)/5`

     :. x = 2

    সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

      y = 2

    :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 2)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

  `x/a + y/b = 1/a + 1/b`

  `x/a - y/b = 1/a - 1/b` 

প্রদত্ত সমীকরণ

 `x/a + y/b = 1/a + 1/b`..............(i)

 `x/a - y/b = 1/a - 1/b`.................(ii)

   সমীকরণ (i) হতে পাই,

  `y/b = 1/a + 1/b - x/a`................(iii)

   সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত `y/b` এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

    `x/a - 1/a - 1/b + x/a = 1/a - 1/b`

   বা, `x/a + x/a = 1/a - 1/b + 1/a`

   বা, `x/a + x/a = 1/a + 1/a`

    বা, `(x + x)/a = (1 + 1)/a`

    বা, `(2x)/a = 2/a`

     বা, 2x = 2

     :. x = 1

     সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই, 

    `y/b = 1/a + 1/b - 1/a`

    বা, `y/b = 1/b`

    :. y = 1

    :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

  3x - 2y = 0

  17x - 7y = 13 

প্রদত্ত সমীকরণ
  
  3x - 2y = 0.............(i)

  17x - 7y = 13...........(ii)

  সমীকরণ (i) হতে পাই,  - 2y = - 3x 

                 বা, `y = (-3x)/(- 2)`

      :. y = `(3x)/2`...............(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

    `17x - 7. (3x)/2 = 13`

    বা, `17x - (21x)/2 = 13`

    বা, `(34x - 21x)/2 = 13`

    বা, `(13x)/2 = 13`

     বা, 13x = 26

      বা,  x = `(26)/(13)`

       :. x = 2

      x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        y =` (3.2)/2`

        :. y = 3

      :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

 x - y = 2a

 ax + by = `a^2 + b^2` 

প্রদত্ত সমীকরণ

    x - y = 2a.................(i)

    ax + by =` a^2 + b^2`...........(ii)

     সমীকরণ  (i) হতে পাই,

      - y = 2a - x

    বা, y = x - 2a...............(iii)

         [ উভয় পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে ] 

     সমীকরণ (iii) হতে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     ax + b (x - 2a) =` a^2 + b^2`

     বা, ax + bx - 2ab = `a^2 + b^2`

     বা, ax + bx =` a^2 + b^2 + 2ab`

     বা, x (a + b) =` (a + b)^2`

     বা, x =` (a + b)^2/(a + b)`

        :. x = a + b

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

       y = a + b - 2a

       :. y = b - a

       :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (a + b, b - a)

Question:‍ প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

  ax + by = ab

  bx + ay = ab 

‍ প্রদত্ত সমীকরণ

     ax + by = ab............(i)

    bx + ay = ab............(ii)

     সমীকরণ (i) হতে পাই,

       by = ab - ax

     বা, y =` (ab - ax)/b`.................(iii)

     সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     bx + a. `(ab - ax)/b` = ab

      বা, `(b^2x + a^2b - a^2x)/b = ab`

      বা, `b^2x + a^2b - a^2x = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

      বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

      বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

       `:. x = (ab)/(a + b)`

       সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

      `y = (ab - a. (ab)/(a + b))/b`

       বা, y =` (ab - (a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((ab (a + b) - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y =` ((a^2b + ab^2 - a^2b)/(a + b))/b`

       বা, y = `((ab^2)/(a + b))/b`

        বা, y =` (ab^2)/(a + b) xx 1/b`

         বা, y =` (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) =` ((ab)/(a + b), (ab)/(a + b))`

Question:প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর: 

 ax - by = ab

 bx - ay = ab 

প্রদত্ত সমীকরণ

   ax - by = ab.............(i)

   bx - ay = ab..............(ii)

    সমীকরণ (i) থেকে পাই,

            - by = ab - ax

       বা, by = ax - ab

               [- 1 দ্বারা উভয়ই পক্ষকে গুণ করে ]

     `y = (ax - ab)/b`...............(iii)

    সমীকরণ (iii) হতে y এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     `bx - a. (ax - ab)/b`= ab

     বা, `bx - (a (ax - ab))/b` = ab

     বা, `(b^2x - a (ax - ab))/b = ab`

     বা, `(bx^2 - a^2x + a^2b)/b = ab`

      বা, `b^2x - a^2x + a^2b = ab^2`

      বা, `b^2x - a^2x = ab^2 - a^2b`

       বা, `x (b^2 - a^2) = ab (b - a)`

        বা, `x = (ab(b - a))/((b + a)(b - a))`

          `:. x = (ab)/(a + b)`

       x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

        `y = (a. (ab)/(a + b)  - ab)/b`

        বা, `y = (a^2b - (ab(a + b))/(a + b))/b`

        বা, `y = ((a^2b - a^2b - ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = ((- ab^2)/(a + b))/b`

        বা, `y = (- ab^2)/(a + b) xx 1/b`

          `:. y = - (ab)/(a + b)`

      :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = `((ab)/(a + b), - (ab)/(a + b))`