Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

 `x/2 + y/2 = 3`

 `x/2 - y/2 = 1` 

প্রদত্ত সমীকরণ

    `x/2 + y/2 = 3`...............(i)

   `x/2 - y/2 = 1`................(ii)

    সমীকরণ (i) ও সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

     `x/2 + y/2 + x/2 - y/2 = 3 + 1`

    বা, `x/2 + x/2 = 4`

    বা, `(x + x)/2 = 4`

    বা, `(2x)/2 = 4`

      :. x = 4

     x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

       `4/2 + y/2 = 3`

       বা, `2 + y/2 = 3`

       বা, `y/2 = 3 - 2`

        বা, `y/2 = 1`

         :. y = 2

       :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (4, 2)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  x + ay = b

  ax - by = c 

প্রদত্ত সমীকরণ

   x + ay = b...............(i)

  ax - by = c................(ii)

   সমীকরণ (i) কে b দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে a দ্বারা গুণ করে পাই,

                           bx + aby =` b^2`

                         `a^2x - aby `= ac
                ------------------------------
     বিয়োগ করে `bx + a^2x = b^2 + ac`

                 `x (b + a^2) = b^2 + ac`

         `:. x = (b^2 + ac)/(a^2 + b)`

         x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

       `(b^2 + ac)/(a^2 + b) + ay = b`

     বা, `ay = b - (b^2 + ac)/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (b(a^2 + b) - (b^2 + ac))/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (a^2b + b^2 - b^2 - ac)/(a^2 + b)`

     বা,  `ay = (a^2b - ac)/(a^2 + b)`

     বা, `y = (a(ab - c))/(a(a^2 + b))`

      `:. y = (ab - c)/(a^2 + b)`

    :. নির্ণেয় সমাধান,  (x, y) = `((b^2 + ac)/(a^2 + b), (ab - c)/(a^2 + b))`

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  `x/2 + y/3 = 3`

  `x - y/3 = 3` 

প্রদত্ত সমীকরণ

  `x/2 + y/3 = 3`..............(i)

  `x - y/3 = 3`.................(ii)

    সমীকরণ (i) ও সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

    `x/2 + y/3 + x - y/3 = 3 + 3`

    বা, `x/2 + x = 6`

    বা, `(x + 2x)/2 = 6`

    বা, `(3x)/2 = 6`

    বা,  3x = 12

    বা, x =` (12)/3`

       x = 4

      x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

        `4/2 + y/3 = 3`

       বা, `2 + y/3 = 3`

       বা, `y/3 = 3 - 2`

        বা, `y/3 = 1`

           :. y = 3

       :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (4, 3)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  `x/3 + 2/y = 1`

  `x/4 - 3/y = 3` 

প্রদত্ত সমীকরণ

  `x/3 + 2/y = 1`............(i)

  `x/4 - 3/y = 3`.............(ii)

    সমীকরণ (i) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 2 দ্বার গুণ করে পাই,

               `x + 6/y = 3`

               `x/2 - 6/y = 6`
  -------------------------
      যোগ করে `x + x/2 = 9`

             বা, `(2x + x)/2 = 9`

             বা, `(3x)/2 = 9`

             বা, 3x = 18

           ` x = (18)/3`

                    :. x = 6

       x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

          `6/3 + 2/y = 1`

         বা, `2 + 2/y = 1`

         বা, `2/y = 1 - 2`

         বা, `2/y = - 1`

         বা - y = 2

          :. y = - 2

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (6, - 2)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

   `x/a + y/b = 2/a + 1/b`

   `x/b - y/a = 2/b - 1/a` 

প্রদত্ত সমীকরণ

 `x/a + y/b = 2/a + 1/b`............(i)

 `x/b - y/a = 2/b - 1/a`............(ii)

   সমীকরণ (i) হতে পাই,

  `(bx + ay)/(ab) = (2b + a)/(ab)`

   বা,  bx + ay = 2b + a..............(iii)

                [উভয় পক্ষকে ab দ্বারা গুণ করে]

   সমীকরণ (ii) হতে পাই,

  `(ax - by)/(ab) = (2a - b)/(ab)`

   বা, ax - by = 2a - b.......................(iv)

          [উভয় পক্ষকে ab দ্বারা গু করে ]

  সমীকরণ (iii) কে b দ্বারা এবং সমীকরণ (iv) কে a দ্বারা গুণ করে পাই,

          `b^2x + aby = 2b^2 + ab`

          `a^2x - aby = 2a^2 - ab`
      ------------------------------------
 যোগ করে `b^2x + a^2x = 2b^2 + 2a^2`

       বা, `x (b^2 + a^2) = 2 (b^2 + a^2)`

       বা, `x = (2(b^2 + a^2))/(b^2 + a^2)`

            :. x = 2

   সমীকরণ (iii) এ x এর মান বসিয়ে পাই,

    b. 2 + ay = 2b + a

    বা, 2b + ay = 2b + a

    বা, ay = 2b + a - 2b

    বা, ay = a

     বা, y` = a/a`

     `:. y = 1`

  :. নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  `a/x + b/y = a/2 + b/3`

  `a/x - b/y = a/2 - b/3` 

`a/x + b/y = a/2 + b/3`.................(i)

 `a/x - b/y = a/2 - b/3`..................(ii)

 `1/x` = u এবং `1/y = v` ধরে সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই,

        `au + bv = a/2 + b/3`

         `au - bv = a/2 - b/3`
      -------------------------------
 যোগ করে   2au = 2. `a/2`

         বা,  2au = a

         বা,  u =` a/(2a)`

         বা, `1/x = 1/2`

            :. x = 2

     x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

      `a/2 + b/y = a/2 + b/3`

    বা, `b/y = a/2 + b/3 - a/2`

    বা, `b/y = b/3`

    বা, `1/y = 1/3`

         :. y = 3

     :. নির্ণেয় সমাধান, (x,y) = (2, 3)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  `x/6 + 2/y = 2`

  `x/4 - 1/y = 1` 

প্রদত্ত সমীকরণ

 `x/6 + 2/y = 2`.............(i)

  `x/4 - 1/y = 1`.............(ii)

    সমীকরণ (i) কে 1 দ্বারা এবং (ii) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

           `x/6 + 2/y = 2`

             `x/2 - 2/y = 2`
      -----------------------
   যোগ করে, `x/6 + x/2 = 4`

           বা, `(x + 3x)/6 = 4`

           বা, `(4x)/6 = 4`

           বা, 4x = 24

            বা,  x = `(24)/4`

              :. x = 6

           x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

             `6/6 + 2/y = 2`

            বা,  `1 + 2/y = 2`

            বা,  `2/y = 2 - 1`

            বা, `2/y = 1`

              :. y = 2

         :. নির্ণেয় সমাধান,  (x, y) = (6, 2)

Question:অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর:

  x + y = a - b

  ax - by =` a^2 + b^2` 

প্রদত্ত সমীকরণ

    x + y = a - b..............(i)

    ax - by =` a^2 + b^2`..............(ii)

    সমীকরণ (i) কে b দ্বারা এবং সমীকরণ (ii) কে 1 দ্বার গুণ করে পাই,

          bx + by =` a^2 - b^2`

          ax - by =` a^2 + b^2`
   --------------------------------
    যোগ করে, bx + ax = `ab + a^2`

         বা,  x =` (a(b + a) = a (b + a)`

         বা, `x = (a (b + a))/(b + a)`

                :. x = a

        x এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

           a + y = a - b

          বা, y = a - b - a

            :. y = - b

     :. ‍নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (a, - b)

Question:নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর:

 ক.{x : x বিজোড় সংখ্যা এবং 3 < x < 15}

 খ. { : x, 48}

 গ. {x : x, 3 x < 36}

 ঘ. {x : x `x^2 < 10`} 

ক. {x : x বিজোড় সংখ্যা এবং 3 < x < 15}

    যে সকল বিজোড় সংখ্যা 3 অপেক্ষা বড় কিন্তু 15 অপেক্ষা

   ছোট তাদের সেট। 

   3 অপেক্ষা বড় কিন্তু 15 অপেক্ষা ছোট বিজোড় 

   সংখ্যাগুলো হলো 5, 7, 9, 11, 13,

  :. নির্ণেয় সেট = {5, 7, 9, 11, 13}


  খ.  {x : x, 48 এর মেীলিক গুণনীয়কসমৃহ}

    যে সকল সংখ্যা 48 এর মেীলিক গুণনীয়ক তাদের সেট। 

    48 এর মেীলিক গুণনীয়ক সমৃহ হলো 2, 3

     :. নির্ণেয় সেট = {2, 3}


   গ. {x : x, 3 এর গণিতক এবং x < 36}

      {x : x, 3   x < 36}

     36 অপেক্ষা ছোট 3 এর গণিতকসমৃহের সেট।

     36 অপেক্ষা ছোট 3  এর গুণিতকসমৃহ হলো 3, 6, 

     9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 33

     নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33}


  ঘ. {x : x `x^2 < 10`}

      10 z = {.........- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,.........}

      x = 0   `x^2 = 0 < 10`

     x = `+- 1` `x^2 = 1 < 10`

     x = `+- 2` `x^2 = 4 < 10`

     x =` +- 3`  `x^2 = 9 < 10`

     x = ` +- 4` `x^2 = 16 > 10`

     x 0, `+-1, +-2, +-3`

    = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}

Question:নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর:

 ক. {3, 4, 5, 6, 7, 8}

 খ. {4, 8, 12, 16, 20, 24}

 গ. {7, 11, 13, 17} 

ক. {3, 4, 5, 6, 7, 8}

     3 থেকে 8 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সেট।

     নির্ণেয় সেট

    = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 3` <- x <- 8`}

    অথবা

    যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 9 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।

    :. নির্ণেয় সেট

     = {x : x স্বাভািবিক সংখ্যা এবং `2 < x < 9}`

  

  খ.  প্রদত্ত সেট = {4, 8, 12, 16, 20, 24}

       28 অপেক্ষা 4 এর গুণিতকসমৃহের সেট।

      :. নির্ণেয় সেট

       = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x < 28 }

 গ.  প্রদত্ত সেট = {7, 11, 13, 17}

     7 থেকে 17 পর্যন্ত মেীলিক সংখ্যার সেট।

    :. নির্ণেয় সেট

    = {x : x মেীলিক সংখ্যা এবং `7 <- x <- 17`}

    অথবা যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 5 অপেক্ষা বড় কিন্তু 19 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।

   :. নির্ণেয় সেট

    = {x : x মেীলিক সংখ্যা এবং `5 < x < 19` }