Question:একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার `2/3` গুণ এবং সংখ্যা দুইটির সমস্টি `100`.
   ক. তথ্যগুলোকে এক চলক বিশিষ্ট একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
   খ. সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর ।
   গ. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1 ; লব ও হর থেকে 1 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠীত হয় তা পূর্বের সংখ্যা দুটি দ্বারা গঠীত প্রকৃত ভগ্নাংশের সমান । ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর । 

ক. মনেকরি, একটি সংখ্যা = x

 `:.`অপর সংখ্যাটি =(x এর `2/3`) = `(2x)/3`

   প্রশ্নমতে, `x+(2x)/3= 100` (Ans.)


 খ. ‘ক’ হতে পাই,`x+(2x)/3= 100`

           বা, `(3x+2x)/3= 100`

           বা, `(5x)/3= 100`

           বা, `5x= 100xx3` [আড়াগুণন করে]

           বা, `5x= 300`

           বা, `x=300/5`

             `:. x = 60`

           অর্থাৎ, একটি সংখ্যা, `x= 60`

           এবং অপর সংখ্যাটি `=(2x)/3= (2xx60)/3= 40`

          `:.` সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40 (Ans.)


 গ. ‘খ’ থেকে পাই, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40

    `:.` সংখ্যা দুইটি দ্বারা গঠিত প্রকৃত ভগ্নাংশ `= 40/60=2/3`

      এখন,  মনে করি, ভগ্নাংশটির লব = x

      এবং       "    "        "     হর = x+1

     `:.` ভগ্নাংশটি= `x/(x+1)`

      প্রশ্নমতে,  `(x-1)/(x+1-1)= 2/3`

      বা, `(x-1)/x= 2/3`

      বা, `3x-3= 2x`

      বা, `3x-2x= 3`

       `:.   x = 3`

    `:.` ভগ্নাংশটি `= x/(x+1)= 3/(3+1)= 3/4` (Ans.)

Question:আদনান সাহেব তার ঈদ বোনাসের সম্পূর্ণ টাকা তার 2 ছেলে, 3 মেয়ে ও স্ত্রীর মাঝে ভাগ করে দিলেন । প্রত্যেক ছেলে প্রত্যেক মেয়ের দেড়গুণ টাকা পায় এবং তার স্ত্রীর 6,000 টাকা পায় যা মোট বোনাসের এক চতুর্থাংশ ।
 ক.  উপরিউক্ত তথ্যকে বীজগণিতিক সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
 খ.  ছেলেদ্বয় মোট বোনাসের কত পেল ?
 গ.  মোট বোনাস ও স্ত্রীর প্রাপ্ত টাকা একই রেখে, প্রত্যেক মেয়েকে যদি পূর্বের টাকার দেড়গুণ টাকা দেয়া হত তবে প্রত্যেক ছেলে পূর্বের তুলনায় কত টাকা কম পাবে ? 

ক.  এখানে , স্ত্রী পায় 6000 টাকা

   `:.` মোট বোনাস`xx1/4 = 6000`

    বা, মোট বোনাস =24000 টাকা

    মনে করে, প্রত্যেক মেয়ে পায় x  টাকা

    :. প্রত্যেক ছেলে পায় ` 1  1/2  x `  বা, `(3x)/2`  টাকা

     প্রশ্নানুসারে, `2xx(3x)/3+3x+6000= 24000`.........(i)


     খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      ` 2xx(3x)/3+3x+6000= 24000`

      বা, `3x+3x= 24000-6000`

      বা, `6x= 18000`

      বা, `x= 18000/6`

      `:.   x= 3000 `

      `:.` ছেলেদ্বয়  পায় `2xx(3x)/2= 3x= 3xx3000= 9000` টাকা

      `:.` মোট বোনাস হতে ছেলেদ্বয়ের প্রাপ্ত টাকার

        শতকরা পরিমাণ = (প্রাপ্ত টাকা`/`মোট বোনাসের টাকা` xx`100)%

                   =`(9000/24000xx100)%`

                   = `75/2%`  বা, `37.5%` (Ans.)


 গ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

     মোট বোনাস  টাকা = 24000  টাকা

     স্ত্রীর প্রাপ্ত টাকা  টাকা = 6000  টাকা

    এবং প্রত্যেক মেয়ের প্রাপ্ত টাকা  x টাকা = 3000 টাকা

   `:.` বর্তমানে প্রত্যেক মেয়ের প্রাপ্ত টাকা `= 1 1/2  x`  বা,`(3x)/2`টাকা 

                                    `= (3xx3000)/2`  টাকা

                                   `= 4500`  টাকা

 প্রশ্নানুসারে ,2 ছেলের টাকা + (3`xx`4500)+6000= 24000

    বা, 2 ছেলের টাকা +13500+6000= 24000

    বা,2 ছেলের টাকা +19500= 24000

    বা, 2 ছেলের টাকা = 24000-19500

    বা, 2 ছেলের টাকা = 4500

    বা,  1 ছেলের টাকা = `4500/2`

    `:.`1 ছেলের টাকা =2250 

     পূর্বে প্রতি ছেলের প্রপ্ত টাকা ছিল  টাকা = `(3x)/2`টাকা

                           `= (3xx3000)/2`  টাকা

                           `= 4500`  টাকা

  `:.` প্রত্যেক ছেলে পূর্বের তুলনায় কম পেল = (4500-2250)  টাকা

                                            = 2250  টাকা (Ans.)

Question:দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল 841    ।
   ক. একটি সংখ্যা y হলে তথ্যানুযায়ী সমীকরণ গঠন করে ।
    খ. সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর ।
    গ. সংখ্যা দুইটি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ( মিটারে) ও প্রস্থ (মিটারে) হয় তবে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ও কর্ণের দৈর্ঘ্য বের কর । 

ক. দেওয়া আছে,  সংখ্যা দুেইটি ক্রমিক

   `:.`একটি সংখ্যা y হলে অপর সংখ্যাটি y+1

    এখানে, সংখ্যা দুইটি বর্গের যোগফল 841

   `:.` প্রশ্নানুসারে,  `y^2+(y+1)^2=841`.........(i)


  খ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

      `y^2+(y+1)^2=841`  

       বা, `y^2+y^2+2y+1=841` 

       বা, `2y^2+2y+1-841=0`

       বা, `2y^2+2y-840=0`

       বা, `y^2+y-420=0`

       বা, `y^2+21y-20y-420=0`

        বা, `y(y+2)-20(y+21)=0`

         বা, `(y+21)(y-20)=0`

         হয়,  y+21=0     অথবা, y-20=0
             
       `:.   y= -21`    `:.  y= 20`
                          (গ্রহণযোগ্য নয়)

      `:.`ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 20 ও (20+1)  বা, 21

                                               Ans. 20  , 21 .


  গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই, সংখ্যা দুইটি 20 ও 21

   `:.` আয়তক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য  মিটার 21 ও প্রস্থ 20 মিটার

   `:.`আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

                              = 2(21+20) মিটার

                              = 82 মিটার

  এবং আয়তক্ষেএটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = `sqrt (`দৈর্ঘ্য`)^2 +  ( ` প্রস্থ `) ^2` একক

                                    =`sqrt 21^2+20^2 ` মিটার

                                    =`sqrt 441+400` মিটার

                                    =`sqrt 841` মিটার

                                    = 29  মিটার (Ans.)

Question:`4/(2x+1)+9/(3x+2)= 25/(5x+4)` একটি এক চলকবিশিষ্ট সমীকরন ।
   ক. `25/(5x+4)` কে ` (A+B)` আকারে প্রকাশ কর যেন `3A = 2B `হয় ।
   খ. সমীকরণটি সমাধান কর ।
   গ. সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর । 

ক. `2(5x+4)= 10+15/(5x4)`

 `=10/(5x+4)+15/(5x+4)` যা  (A+B)  আকারে এবং  3A=2B


 খ. প্রদত্ত সমীকরণ, 

    `4/(2x+1)+9/(3x+2)= 25/(5x+4)`

    বা,`4/(2x+1)+9/(3x+2)=10/(5x4)+15/(5x+4)` [ ‘ক’ থেকে পাই]

    বা,`4/(2x+1)-10/(5x+4)= 15/(5x+4)-9/(3x+2)` [পক্ষান্তর করে ]

    বা,`(4(5x+4)-10(2x+1))/( (2x+1)(5x+4))= (15(3x+2)-9(5x+4))/ ((5x+4)(3x+2))`

    বা,` (20x+16-20x)/((2x+1)(5x+4))= (45x+30-45x-36)/((5x+4)(3x+2))`

     বা, `6/(2x+1)(5x+4)= -6/(5x+4)(3x+2)`

     বা,`1/(2x+1)= -1/(3x+2)`
            [উভয়পক্ষকে `(5x+4)/6`  দ্বারা গুণ করে, যেখানে `5x+4!= 0` ]
      বা, `3x+2= -(2x+1)`

      বা, `3x+2= -2x-1`

      বা,`2x+3x= -2-1`

      বা, `5x= -3`

      বা,`x= - 3/5`

     `:.`নির্ণয় সমাধান : `x= - 3/5`


 গ.  `x=3/5` হলে প্রদত্ত সমীকরণের

     বামপক্ষ 
        `= 4/(2x+1) + 9/(3x+2)`

        `= 4/(2(-3/5)+1)+9/(3(-3/5)+2)`

        `= 4/(-(6/5)+1)+ 9/(-(9/5)+2)`

        `= 4/((-6+5)/5)+9/((-9+10)/5)= 4/(-1/5)+9/(1/5)`

        `=4xx(-5/1)+9xx 5/1`

        `= -20+45= 25`


  ডানপক্ষ 
    `= 25/(5x+4)`

    `=25/(5(-3/5)+4)= 25/(-3+4)=25/1= 25` 

    `:.` বামপক্ষ=  ডানপক্ষ

    `:.`সমীকরণটি সুদ্ধ হয়েছে ।

Question:একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 42মিটার ।
    ক. উপরের তথ্যকে সমীকরণ আকারে লিখ ।
    খ. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।
    গ. একটি ত্রিভুজের পরিসীমার সমান ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের কর । 

ক. দেওয়া আছে,  আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4:3
    মনে করি,  আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 4x মিটার ও প্রস্থ 3x মিটার
    আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
                             =2(4x+3x) মিটার

  প্রশ্নানুসারে, `2(4x+3)= 42`............(i)


 খ.  ’ক’ অংশ হতে পাই,
      `2(4x+3)= 42`
        
        বা, `4x+3x=42/2`
           
        বা, `7x=21`
              
        বা, `x= 21/3`
                    
         `:.  x= 3`
      
        `:.` আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার   
                                     
          =`(4xx3)`মিটার = 12 মিটার  
         
          এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 3x মিটার  
                                  
          =`(3xx3)` মিটার = 9 মিটার  
   
     Ans. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 12মিটার ও প্রস্থ 9  মিটার ।


  গ. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 42 মিটার 
         
     প্রশ্নানুসারে,    ত্রিভুজের পরিসীমা = 42 মিটার 

   ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x , (x+2) ও (x+4) মিটার
             
    `:. x+(x+2)+(x+4)= 42`
            
      বা, `x+x+2+x+4= 42`
            
      বা, `3x+6= 42`
            
      বা, `3x= 42-6`
           
      বা,`3x=36` 
           
      বা, `x= 36/3`
               
       `:.  x = 12`
         
     `:.` ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  12.(12+2) বা, 14 
                    
       এবং  (12+4) বা, 16

    Ans. 12 মিটার,14 মিটার,16 মিটার.

Question:মামুন একটি পরীক্ষাতে অংশগ্রহন করল । পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে মোট 35 টি প্রশ্ন আছে যার পূর্ণমান 100 এবং পরীক্ষার সময় 2 ঘন্টা ।
 প্রশ্নপত্রটি রচনামূলক ও বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সমন্বয়ে গঠিত । রচনামূলক প্রশ্নের মান এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের মান 2 ।
    ক. উপরের তথ্যকে বীজগাণিতিক সমীকরণে প্রকাশ কর ।
    খ. রচনামূলক ও বহুনির্বাচনি সংখ্যা বের কর ।
    গ. মামুন 1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে 1 টি বহুনির্বাচনি প্রশ্নের উত্তর করার সময়ের`7/2` গুণ সময় নেয় । সে 15 মিনিট আগে পরীক্ষা শেষ করে । 1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে সে কত সময় নেয় ? 

ক. মনে করি,  রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা x
             
 `:.` বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা `(35-x)`
    
  প্রশ্নানুসারে, `5x+(35-x)2= 100`.........(i)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পায়,
                   
   `5x+(35-x)2= 100`
                    
    বা, `5x+70-2x= 100`
                    
     বা,  `3x=100-70`
                    
     বা,  `3x=30`
                    
     বা,  `x= 30/3`
                          
     `:. x= 10`
               
     `:.`রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা 10 টি
                 
      এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা (35-10) টি বা,  25 টি
        
      Ans.10 টি, 25 টি ।


    গ. ‘খ‘ অংশ হতে পাই, 
              রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা 10 টি
              এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা 25 টি
 মনে করি , 1 টি বহুনির্বাচনি প্রশ্নের উত্তর দিতে সময় লাগে x মিনিট
  `:.`      1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে সময় লাগে `(7x)/2` মিনিট
      আবার পরীক্ষার সময় = 2 ঘন্টা  বা, `(2xx60)` বা, 120 মিনিট
     প্রশ্নানুসারে,  `10xx(7x)/2+25x= 120-15`
                  বা, `35x+25x= 105`
                  বা,  `60x= 105`
                  বা,  `x= 105/60`
                     `:.  x= 7/4`
    `:.`   1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে মামুনের প্রয়োজনীয় সময় = `7/2 x`মিনিট
                                                                             =`7/2xx7/4`মিনিট
                                                                             = `6.125` মিনিট   (Ans.)