Question:সসাধান সেট নির্ণয় কর: `2x(x + 3) = 2x^2 + 12` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
     `2x(x + 3) = 2x^2 + 12`

বা, `2x^2 + 6x = 2x^2 + 12`

বা, `2x^2 +6x - 2x^2 = 12`   [  পক্ষান্তর করে  ]

বা, `6x = 12`

বা, ` x = (12)/6`

 `:.  x = 2`

 `:.` নির্ণেয় সমাধান সেট: `S = {2}`

Question:সমাধান সেট নির্ণয় কর: `2x + sqrt(2) = 3x - 4 - 3sqrt(2)` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
     `2x + sqrt(2) = 3x - 4 - 3sqrt(2)`

বা, `2x - 3x = - 4 - 3sqrt(2) - sqrt(2)`     [  পক্ষান্তর করে  ]

বা, ` - x  = - 4 - 4sqrt(2)`

বা, ` - x = - 4(1 + sqrt(2))`

 `:.  x = 4(1 + sqrt(2))`     [  উভয়পক্ষকে`( - 1)` দ্বারা গুণ করে  ]

 `:.`   নির্ণেয় সমাধান সেট:  `s = { 4(1 + sqrt(2))}`

Question:সমাধান সেট নির্ণয় কর: `(x + a)/(x - b) = (x + a)/(x + c)` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
      `(x + a)/(x - b) = (x + a)/(x + c)`

 বা, `(x + a)(x + c) = (x + a)(x - b)`    [  আড়াগুণন করে  ]

 বা, `(x + a)(x + c) - (x + a)(x - b) = 0`    [  পক্ষান্তর করে  ]

 বা, `(x + a){ (x + c) - (x - b)} = 0`

 বা, `(x + a)(x + c - x + b) = 0`

 বা, `(x + a)(b + c) = 0`

  `:.  x + a = 0`    [  `:. b + c != 0`  ]

  `:. x = - a`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান সেট `s = { - a}`

Question:সমাধান সেট নির্ণয় কর: `(z - 2)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
      `(z - 2)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `(z - 1 - 1)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `(z - 1)/(z - 1) - 1/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `1 - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) = 2`

 বা, `1 = 2`

    কিন্তুু এটি সম্ভব নয়।
    সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই। 
    `:.` নির্ণেয় সমাধান সেট, `S = O/`

Question:আমেনা-বাকী রেসিডেন্সিয়াল মডেল স্কুল এন্ড কলেজের দশম শ্রেনীর ছাত্র, ছাত্রীরা বনভোজনে যাওয়ার জন্য 3000 টাকায় বাস ভাড়া করল । প্রতেক ছাত্র-ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে বলে ঠিক করল । 10 জন ছাত্র-ছাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া 10 টাকা বৃদ্ধি পেল ।
  ক.x জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া p টাকা হলে y জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া কত?
   খ.বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা কত এবং মাথাপিছু ভাড়া কত ?
   গ.কতজন ছাত্র-ছাত্রী না আসলে মাথাপিছু ভাড়া 25 টাকা বৃদ্ধি পাবে এবং ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা কত বৃদ্ধি পেলে মাথাপিছু ভাড়া 40 টাকা হ্রাস পাবে ? 

ক. x জন ছাত্র-ছাত্রী ভাড়া = p টাকা

`:.` 1 জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `= p/x` টাকা

 `:.` y জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `=(py)/x` টাকা (Ans)


 খ. মনে করি, ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা = x জন 

`:.`  মাথাপিছু ভাড়া`= 3000/x` টাকা 

  এখন, 10 জন ছাত্র-ছাত্রী না অাসায় বাসে

  ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা `=(x-10)` জন

`:.`  তাদের মাথাপিছু ভাড়া `=3000/(x-10)` টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(x-10)=3000/x+10`

    বা, `3000/(x-10)=(3000+10x)/x`

    বা, `(x-10)(3000+10x)=3000x`

    বা, `3000x+10x^2-30000-100x=3000x`

    বা, `10x^2-100x-30000=0`

    বা, `x^2-10x-3000=0`

    বা,  `x^2-60x+50x-3000=0`

    বা,  `x(x-60)+50(x-60)=0`

    বা,  `(x-60)(x+50)=0`

    হয়,   `x-60=0` অথবা, `x+50=0`

   `:. x= 60`   x`!=`-50 [যেহেতু ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না ]

   `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(x-10) `জন

                           `=(60-10)`জন

                           `=50`জন

   `:.`  মাথাপিছু ভাড়া = `3000/50`টাকা  `= 60` টাকা (Ans.)

    গ. ধরি,  R জন ছাত্র-ছাত্রী না আসলে মাথাপিছু

        ভাড়া 25 টাকা বৃদ্ধি পাবে ।

  `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60-R)` জন

  `:.`  মাথাপিছু ভাড়া  `= 3000/(60-R)` টাকা

      পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া টাকা `= 3000/60`

                                 `=50`টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(60-R)= 50+25`

      বা,  `3000/(60-R)=75`

      বা,  `3000=75(60-R)`

      বা,  `3000= 4500-75R`

      বা,  `75R= 4500-3000`

      বা,  `75R= 1500`

      বা,  `R=1500/75`

     `:. R= 20` জন (Ans.)

    আবার, ধরি,Q জন ছাত্র-ছাত্রী বেশি আসলে মাথাপিছু ভাড়া 40 টাকা হ্রাস পাবে ।

     `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60+Q)` জন

      `:.`  মাথাপিছু বাড়া `=3000/(60+Q)` টাকা

         পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া  টাকা  `=3000/60`

                                        =50 টাকা 
                     
         প্রশ্নমতে,  `3000/(60+Q)=50-40`

         বা, `3000/(60+Q)= 10`  বা, `3000= 600+10Q`

                                বা, `10Q= 3000-600`

                                 বা,     `10Q= 2400`

                                  বা,    `Q=2400/10`

                                     `:. Q= 240` জন (Ans)

Question:দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমস্টি 9 ; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 45 কম ।
     ক. এক চলক ব্যবহার করে ঐ সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ ।
      খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর  ।
       গ. সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হর নির্দেশ করে তবে ভগ্নাংশটির লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটি`1/2`  হবে । 

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি `= x`

  তাহলে দশক স্থানীয় অঙ্কটি `= 9-x`

 `:.` সংখ্যাটি `= 10x` (দশক সথানীয় অঙ্ক) +  একক স্থানীয় অঙ্ক

               `=10(9-x)+x`

              `=(90-10x)+x`      
                                        
              `=90-9x`

   অঙ্কদ্বয় স্থানবিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে 

   `= 10xxx+(9-x)`

   `=10x+9-x`

   `=9x+9`(Ans.)



  খ. প্রশ্নমতে, `9x+9= 90-9x-45`

     বা,  `9x+9x= 45-9` [পক্ষান্তর করে]

     বা,   `18x= 36`

     বা,     `x= 2`

    `:.` সংখ্যাটি `= 90-9x`

                   `= 90-(9xx2)`

                   `= 90-18`

                   `=72`(Ans.)



  গ. আমরা জানি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট হয় ।

     ‘খ’ হতে পাই সংখ্যাটি =72

   তাহলে ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের হর = দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7

        ”        ”     লব = একক স্থানীয় অঙ্ক = 2

  মনে করি,  ভগ্নাংশটির লব ও হর সাথে x যোগ করতে হবে  ।

  প্রশ্নমতে,  `(2+x)/(7+x) = 1/2`

       বা, `4+2x =7+x`

       বা, `2x-x = 7-4`

     `:. x= 3`(Ans.)

Question:একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে জন 5 করে ছাত্র বসলে 2 খানা বেঞ্চ খালি থাকে । কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 8 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয় ।
 ক. মোট ছাত্রসংখ্যা x হলে উভয় ক্ষেত্রে বেঞ্চের সংখ্যা x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
 খ. শর্তানুশারে সমীকরণ গঠন করে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় কর ।
 গ. কিছু ছাত্র 6 টাকা এবং অন্যরা 2 টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট চাঁদার পরিমাণ ছাত্র সংখ্যার 4 গুণের সমান হয় । কতজন ছাত্র 6 টাকা এবং কতজন ছাত্র 2 টাকা করে চাঁদা দিয়েছে । 

ক.  যদি মোট ছাত্র সংখ্যা x হয়, তবে 5 জন করে ছাত্র বসতে বেঞ্চ লাগে`x/5` টি

     `:.`  বেঞ্চের সংখ্যা `=(x/5+2)` টি

   4 জন করে বসলে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, সেহেতু বেঞ্চের সংখ্যা ` = (x-8)/4` টি (Ans.)


খ.  শর্তানুসারে, 
     `x/5+2=(x-8)/4`

      বা, `(x+10)/5 = (x-8)/4`

      বা, `4x+40 = 5x-40`

      বা, `-5x+4x = -40-40`

      বা,  `-x = -80`

       `:. x = 80`

       `:.` মোট ছাত্র সংখ্যা  8o জন (Ans.)




  গ. ‘খ’ হতে পাই, মোট ছাত্র সংখ্যা  80 জন

     মনে করি, 6 টাকা করে চাঁদা দেয় `= x` জন

    `:.`  2 টাকা করে চাঁদা দেয়  `= (80-x)`   জন

     শর্তমতে, `6x+2(80-x)= 4xx80`

          বা,  `6x+160-2x= 320`

          বা,  `4x= 320-160`

          বা,  `x = 160/4`

           `:. x=40`

          `:.`6 টাকা করে চাঁদা দেয় 40 জন 

           2  টাকা করে চাঁদা দেয় 40 জন  (Ans.)

Question:একটি লঞ্চে ডেকের যাত্রীসংখ্যা কেবিনের যাত্রীসংখ্যার চারগুণ অপেক্ষা 2 বেশী । মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ 
 ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা ।
      
 ক. তথ্য গুলোকে সমীকরণ আকারে লিখ ।
 খ. মোট যাত্রীসংখ্যা বের কর ।
 গ.  মোট যাত্রীসংখ্যা অপরিবর্তি রেখে মোট ভাড়া টাকা পেতে হলে কেবিনের যাত্রীসংখ্যা কত জন বেশী হতে পারে । 

ক.  মনে করি,  কেবিনের যাত্রীসংখ্যা x জন

  `:.`ডেকের যাত্রী সংখ্যা`(4x+2)` জন
       
   দেওয়া আছে,  ডেকের মাথাপিছু ভাড়া 30 টাকা

  `:.` কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া `(30xx2)` বা, 60 টাকা

   প্রশ্নানুসারে, `60x+30(4x+2) = 1680`............(i)


  খ.  “ক” অংশ হতে পাই,

     `60x+30(4x+2)= 1680`

       বা,`60x+120x+60= 1680`

       বা, `180x= 1680-60`

       বা,  `180x= 1620`

       বা,   `x= 1620/180`

        `:.  x= 9`    

     `:.`  কেবিনের যাত্রী সংখ্যা  = 9 জন

  এবং ডেকের যাত্রী সংখ্যা  `= (4xx9+2)` জন

                              = 38 জন

  `:.` মোট যাত্রী সংখ্যা `=(9+38)`জন = 47 জন (Ans.)


 গ.  “খ” অংশ হতে পাই,

   লঞ্চের মোট যাত্রী সংখ্যা 47 জন

   এবং কেবিনের যাত্রী সংখ্যা 9  জন

  মনে করি, 1860 টাকা পাওয়ার জন্য কেবিনের যাত্রীসংখ্যা হবে x জন

  `:.` ডেকের যাত্রী সংখ্যা `(47-x)` জন

   ডেকের মাথাপিছু ভাড়া 30 টাকা

  `:.` কেবিনের মাথা পিছু ভাড়া `(30xx2` বা, 60  টাকা

   প্রশ্নানুসারে,  `60x+(47-x)30= 1860`

      বা, `60x+1410-30x= 1860`

      বা,  `30x= 1860-1410`

      বা,  `30x= 450`

      বা,  `x= 450/30`

       `:.x= 15`

  `:.` কেবিনের যাত্রী সংখ্যা বেশি করতে হবে `(15-9)`  বা, 6 জন

     6 জন বেশি  । (Ans.)

Question:একজন ক্ষুদ্র ব্যকসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর 4% লাভ করলেন। বছর শেষে তিনি 256 মুনাফা পেলেন ।
     ক. উপরিক্ত তথ্যগুলোকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
     খ.তিনি কত টাকার উপর 5% এবং কত টাকার উপর 4% লাভ করলেন ?
     গ.তিনি যদি 5% মুনাফার পরিবর্তে 10% মুনাফা পেতো তাহলে মোট মুনাফা কত হত ? 

ক.  মনে করি,  5% হারে বিনিয়োগের পরিমাণ = x টাকা

       তাহলে,  4% হারে বিনিয়োগের পরিমাণ  `=(5600-x)` টাকা

       শর্তমতে,   x এর `5/100+(5600-x)`এর `4/100= 256`

        বা,  `(5x)/100+4(5600-x)/100= 256 (Ans.)`


   খ.  ’ক’ হতে পাই, `(5x)/100+4(5600-x)/100 = 256`

                    বা,    `5x+22400-4x= 25600`

                  বা,      `x =3200` (Ans)

    `:.` তিনি 3200 টাকার উপর 5% লাভ করলেন

   `:.` তিনি 4% লাভ করলেন (5600-3200)  টাকা

                    বা, 2400 টাকার উপর (Ans.)
     
     গ. ‘খ’ হতে পাই,                                                                                                         
         তিনি 5% লাভ করেন 3200 টাকার উপর

         এবং 4% লাভ করেন 2400 টাকার উপর ।

         মুনাফা যদি 5% এর পরিবর্তে 10% হয়

     অর্থাৎ 3200 টাকার 10% মুনাফা `=(3200xx10/100) ` টাকা

                                            `= 320` টাকা

  এবং 2400 টাকার মুনাফা 4% টাকা `=(2400xx4/100)`টাকা

                                             `= 96` টাকা

                 `:.` মোট মুনাফা       ` = (320+96)` টাকা

                                                `= 416`   (Ans.)

Question:120 টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকায় হয় ।
     ক. পঁচিশ পয়সার মুদ্রা যদি x সংখ্যক হয় তাহলে পঞ্চাশ পয়সা মুদ্রায় কত টাকা হবে ?
     খ. কোন প্রকার মুদ্রার সংখ্যা কতটি ?
     গ. মোট টাকা নির্দিষ্ট রেখে যদি পঞ্চাশ পয়সার সংখ্যা দ্বিগুণ করা হয়, তাহলে পচিঁশ পয়সার মুদ্রা কতটি কমাতে হবে ? 

ক. দেওয়া আছে, পঁচিশ পয়সার মুদ্রা x টি

  `:.`পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা `(120-x)` টি

   অতএব, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হবে `(120-x)xx5` পয়সা

            বা,`(120-x )50/100` টাকা (Ans.)
      

 খ.   প্রশ্নমতে,`25x+50(120-x)= 3500`

      বা, `25x+6000-50x= 3500`

      বা, `25x-50x= 3500-6000`[পক্ষান্তর করে]

      বা,`-25x= -2500`

       বা,`x= (-2500)/-25`

        `:.   x= 100`

        `:.` পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100  টি

         এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (120-100) টি  বা 20 টি

         পঁচিশ পয়সার মুদ্রা 100 টি এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা 20 টি (Ans.)


  গ. ‘খ’ হতে পাই, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 20 টি

     এবং পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100 টি

     পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা দ্বিগুন করলে হয় `(20xx2)`টি বা 40 টি

     40 টি পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হয় `= (40xx50)` পয়সা

                                     `= 2000` পয়সা

                                     `= 2000/100` টাকা

                                     `= 20` টাকা

    `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রা হবে `= (35-20)`টাকা

                                   `= 15`টাকা

                                   `= (15xx100)`পয়সা

                                   `= 1500`পয়সা

   `:.`পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হবে `1500/25`টি = 60 টি

   `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কমাতে হবে `(100-60)`টি

                                         `= 40`টি   (Ans.)