Question:`(i) 1+2+3+4+...`   

 `(ii) 2+4+6+8+...`

 `(iii) (1+2+3+4+.....+n)/(2+3+4+5+.........+(n+1)) = s_3`


 ক. (i) ও (ii) ধারার সাধারন পদ বের কর । খ. (i) ও (ii) নং ধারার প্রথম n- সংখ্যক পদের সমষ্টি যথাক্রমে,

 `s_1`  ও `s_2`  হলে দেখাও যে, `s_2=2s_1` গ.`s_3` 

(i) নং ধারারা প্রথম পদ  `a=1`, সাধারণ অন্তর  `d=1`

 `:.`  n-তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=1+(n-1)1`

 `=1+n-1`

 `=n`

 (ii) নং ধারার প্রথম পদ  `a=2` সাধারণ অন্তর `d=2`

 `:.`  n-তম পদ `=a+(n-1)d`
  
 `=2+(n-1)2`
  
`=2+2n-2`

Question:একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 42মিটার ।
    ক. উপরের তথ্যকে সমীকরণ আকারে লিখ ।
    খ. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর ।
    গ. একটি ত্রিভুজের পরিসীমার সমান ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের কর । 

ক. দেওয়া আছে,  আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4:3
    মনে করি,  আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 4x মিটার ও প্রস্থ 3x মিটার
    আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
                             =2(4x+3x) মিটার

  প্রশ্নানুসারে, `2(4x+3)= 42`............(i)


 খ.  ’ক’ অংশ হতে পাই,
      `2(4x+3)= 42`
        
        বা, `4x+3x=42/2`
           
        বা, `7x=21`
              
        বা, `x= 21/3`
                    
         `:.  x= 3`
      
        `:.` আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার   
                                     
          =`(4xx3)`মিটার = 12 মিটার  
         
          এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 3x মিটার  
                                  
          =`(3xx3)` মিটার = 9 মিটার  
   
     Ans. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 12মিটার ও প্রস্থ 9  মিটার ।


  গ. দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 42 মিটার 
         
     প্রশ্নানুসারে,    ত্রিভুজের পরিসীমা = 42 মিটার 

   ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x , (x+2) ও (x+4) মিটার
             
    `:. x+(x+2)+(x+4)= 42`
            
      বা, `x+x+2+x+4= 42`
            
      বা, `3x+6= 42`
            
      বা, `3x= 42-6`
           
      বা,`3x=36` 
           
      বা, `x= 36/3`
               
       `:.  x = 12`
         
     `:.` ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে  12.(12+2) বা, 14 
                    
       এবং  (12+4) বা, 16

    Ans. 12 মিটার,14 মিটার,16 মিটার.

Question:x-2y+1=0 2x+y-3=0 একটি সমীকরণজোট ।

 ক.      সমীকরণজোটটিকে `a_1x+b_1y+c_1`=0
                             
         `a_2x+b_2y+c_2`=0} জোটের সাথে তুলনা করে 
                          
         `a_1`,`a_2`, `b_1`,`b_2`,=0  এর মান বের করতে হবে ।

 খ.     সমীকরণজোটটি সাম্নজ্যস কিনা তা যাচাই কর । পরস্পর নির্ভরশীলতা যাচাই করে সমীকরণজোটের 

         সমাধান সংখ্যা নির্ণয় কর ।

 গ.    সমীকরণজোটটি সমাধান কর । 

ক, খ. শ্রেনির কাজ অংশের সমাধান দ্রষ্টব্য ।
 
  গ.  খ,  এর (i) হতে x=1+2y................(v)

  (ii) ও  (v) হতে 2(-1+2y)+y-3=0

  বা,  -2+4y+y-3=0

  বা, 5y=5
     
   :. y=1
  
  y এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই, 
    
  x=1+2.1=1

  নির্ণেয় সমাধান : (x,y)=(1,1) Ans

Question:মামুন একটি পরীক্ষাতে অংশগ্রহন করল । পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে মোট 35 টি প্রশ্ন আছে যার পূর্ণমান 100 এবং পরীক্ষার সময় 2 ঘন্টা ।
 প্রশ্নপত্রটি রচনামূলক ও বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সমন্বয়ে গঠিত । রচনামূলক প্রশ্নের মান এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের মান 2 ।
    ক. উপরের তথ্যকে বীজগাণিতিক সমীকরণে প্রকাশ কর ।
    খ. রচনামূলক ও বহুনির্বাচনি সংখ্যা বের কর ।
    গ. মামুন 1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে 1 টি বহুনির্বাচনি প্রশ্নের উত্তর করার সময়ের`7/2` গুণ সময় নেয় । সে 15 মিনিট আগে পরীক্ষা শেষ করে । 1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে সে কত সময় নেয় ? 

ক. মনে করি,  রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা x
             
 `:.` বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা `(35-x)`
    
  প্রশ্নানুসারে, `5x+(35-x)2= 100`.........(i)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পায়,
                   
   `5x+(35-x)2= 100`
                    
    বা, `5x+70-2x= 100`
                    
     বা,  `3x=100-70`
                    
     বা,  `3x=30`
                    
     বা,  `x= 30/3`
                          
     `:. x= 10`
               
     `:.`রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা 10 টি
                 
      এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা (35-10) টি বা,  25 টি
        
      Ans.10 টি, 25 টি ।


    গ. ‘খ‘ অংশ হতে পাই, 
              রচনামূলক প্রশ্নের সংখ্যা 10 টি
              এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্নের সংখ্যা 25 টি
 মনে করি , 1 টি বহুনির্বাচনি প্রশ্নের উত্তর দিতে সময় লাগে x মিনিট
  `:.`      1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে সময় লাগে `(7x)/2` মিনিট
      আবার পরীক্ষার সময় = 2 ঘন্টা  বা, `(2xx60)` বা, 120 মিনিট
     প্রশ্নানুসারে,  `10xx(7x)/2+25x= 120-15`
                  বা, `35x+25x= 105`
                  বা,  `60x= 105`
                  বা,  `x= 105/60`
                     `:.  x= 7/4`
    `:.`   1 টি রচনামূলক প্রশ্নের উত্তর দিতে মামুনের প্রয়োজনীয় সময় = `7/2 x`মিনিট
                                                                             =`7/2xx7/4`মিনিট
                                                                             = `6.125` মিনিট   (Ans.)

Question:দুইটি চলকের প্রথমটির 3 গুণ থেকে দ্বিতীয়টির  5 গুণের বিয়োগফল 7 এর সমান 

 এবং প্রথমটির 6 গুণ থেকে দ্বিতীয়টির 10 গুণের বিয়োগফল  15 এর সমান 

 বীজগণিতিক সমীকরণ গঠন করে ।

  ক.    চলক দুইটি যথাক্রমে x ও y হলে বীজগাণিতিক সমীকরণজোট গঠন কর ।

  খ.    সমীকরণজোটটি সামন্জ্যস কিনা ব্যাখ্যা কর ।

  গ.     সমীকরণজোটের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর । 

ক. মনে করি ,প্রথম চলক x এবং দ্বিতীয় চলক y
  
   :. ১ম সমীকরণ, 3x-5y=7
   
   এবং ২য় সমীকরণ, 6x-10y=15
 
   :. প্রাপ্ত সমীকরণজোট, 
   
   {3x-5y=7
      
    6x-10y=15

  খ. প্রাপ্ত সমীকরণজোট,
   
     3x-5y=7
 
     6x-10y=15
     
    x এর সহগদ্ধয়ের অনুপাত  `3/6`বা, `1/2`

    y ;  ;   ; ; ; ; ;  `(-5)/(-10)` বা, `1/2`

    এবং ধ্রবক পদদ্ধয়ের অনুপাত, `7/15`

    :.`3/6`=`(-5)/(-10)!=7/15 `
    
    :. সমীকরণজোটটি অসামন্জস্য । Ans

Question:৯.`A`ও`B` যথাক্রমে `35` এবং `45` এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে`A uu B` ও `A nn B` নির্ণেয় কর। 

সমাধান:
এখানে,
`35 = 1 xx 35`
` = 5 xx 7`
`A = {1, 5, 7, 35}`
আবার,
`45 = 1 xx 45`
` = 3 xx 15`
` = 5 xx 9`
`:. B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`:. A uu B = {1, 5, 7, 35} uu {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`= {1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}`
এবং 
`A nn B = {1, 5, 7, 35} nn {1, 3, 5, 9, 15, 45}`
`= {1, 5}`Ans.`{1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}` এবং  `{1, 5}`

Question:১০.যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা `346` এবং `556` কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে `31` অবশিষ্ট থাকে এদের সেট নির্ণেয় কর। 

সমাধান:
যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা `346` এবং `556` কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে `31` অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাটি `31` অপেক্ষা বড় এবং সংখ্যাটি `(346 - 31) = 315` ও 
`(556 - 31) = 525` এর সাধারণ গুণনীয়ক।
মনে করি,
`31` অপেক্ষা বড় `315` এর গুণনীয়কের সেট `= A`
এবং `525` এর গুণনীয়কের সেট `= B`
এখানে,
`315 = 1 xx 315`
`= 3 xx 105`
`= 5 xx 63`
`= 7 xx 45`
`= 9 xx 35`
আবার,
`525 = 1 xx 525`
`= 3 xx 175`
`= 5 xx 105`
`= 7 xx 75`
`= 15 xx 35`
`31` অপেক্ষা বড় `315` এর গুণনীয়কগুলো হলো:
`35, 45, 63, 105, 315`
`31` অপেক্ষা বড় `525` এর গুণনীয়কগুলো হলো:
`35, 75, 105, 175, 525`
`A = {35, 45, 63, 105, 315}` 
এবং  `B = {35 , 75, 105, 175, 525}`
`:.` নির্ণেয় সেট `= A nn B = {35, 105}`Ans. `{35, 105}`

Question:দুইটি চলকের সমষ্ঠি 10 ও বিয়োগফল 4 যেখানে প্রথম চলক> দ্বিতীয় চলক ।
 
 ক. উদ্দিপকটিকে সমীকরণজোট আকারে প্রকাশ কর ।
 
 খ. সমীকরণজোটটির প্রকৃতি কিরূপ এর সমাধান কয়টি ?
 
 গ. দুইটি চলকের সমষ্ঠি 14 এবং দ্বিতীয় চলক ও প্রথম চলকের বিয়োগফলের দ্বিগুণ 

    সমান 8 (দ্বিতীয় চলক > প্রথম চলক ) হলে সমীকরণজোটটির সমাধান ‘খ’ এর 

    অনুরূপ হবে কী-ব্যাখ্যা কর ।8 

ক.ধরি ,চলকদ্বয়ের ১মটি x এবং ২য়টি y যেখানে x> y
 
  উদ্দিপকের আলোকে গঠিত সমীকরণজোট :
  
  x+y=10.................(i)

  x-y=4...................(ii)} (Ans)

  খ.   ‘ক’ এর সমীকরণজোটে, 
 
  x   এর সহগদ্বয়ের অনুপাত`1/1`
 
  এবং y ,, ,,  ,,   ,, `1/(-1)`

  আমরা পাই,`1/1!=1/(-1)`

  সুতরাং সমীকরণজোট সামন্জ্যস ও পরস্পর অর্ভিরশীল এবং একটিমাত্র সমাধান আছে । (Ans)


 গ. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে গঠিত সমীকরণজোট :
    
    x+y=14.................(iii)
 
   2(y-x)=8
 
  বা, -2x+2y=8............(iv)

  এখানে,x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত `1/(-2)`

  y  এর সহগদ্বয়ের অনুপাত 

  আমরা পাই,`-1/1!=1/2` 

 এক্ষেত্রে সমীকরণজোট সামন্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং একটি সমাধান আছে । 

 :. সমীকরণজোটটির সমাধান ‘খ’ এর অনুরূপ ।

Question:দুইটি চলকের প্রথমটির সাথে দ্বিতীয়টির 3 গুণের যোগফল 1 এর সমান এবং প্রথটির দ্বিগুণের 

 সাথে দ্বিতীয়টির 6 গুণের যোগফল 2 এর সমান বীজগাণিতিক সমীকরণ গঠন করে ।
 
 ক.  প্রথম চলক x এবং দ্বিতীয় চলক y হলে বীজগাণিতিক সমীকরণজোটে গঠন কর ।
 
 খ. সমীকরণজোটটি সামন্জস্য কিনা ব্যাখ্যা কর ।
 
 গ. সমীকরণজোটের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর । 

উত্তর: ক. x+3y=1
       
       2x+6y=2}

       খ. সামন্জস্য;
     
       গ. অসংখ্য সমাধান ।

Question:শিক্ষক, মনিরকে একটি সমীকরণের তথ্য দিলেন এই ভাবে  x এর তিন গুণ থেকে y 

 এর চার গুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল  10 হয় এবং x গুণ থেকে y এর 8  গুণ

  বিয়োগ করলে 18 হয় ।

  ক. মনির তথ্যগুলো সমীকরণ আকারে প্রকাশ করলে কি দাড়াবে ?

  খ. সমীকরণজোটটির প্রকৃতি কিরূপ এবং এর কয়টি সমাধান আছে ?

  গ. শিকাষক ২য় সমীকরণের বিয়োগফল 18 এর পরিবর্তে 20 দিলে সমীকরণজোটের 

     প্রকৃতি কি পূর্বের মতো হবে ? 

ক. প্রদত্ত তথ্যের আলোকে সমীকরণজোট হলো:

    `3x-4y=10................(i)`

    `6x-8y=18................(ii)`} (Ans)

 খ.  ‘ক’ থেকে প্রাপ্ত সমীকরণজোটে
      
     x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত `3/6` বা, `1/2`
    
     y,, ,,   ,,   ,,   ,,  ,,`(-4)/(-8)` বা,`1/2`
     
     এবং ধ্রবক পদদ্বয়ের অনুপাত `10/18`=`5/9`
     
     আমরা পাই, `1/2`=`1/2!=5/9`
    
     সুতরাং সমীকরণজোট অসামন্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং সমাধান নেই ।(Ans)

  গ. ‘ক’ (ii) এর নং সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ, `6x-8y=20......(iii)`

     এখন নতুন সমীকরণজোট:

    `3x-4y=10...............(i)`

    `6x-8y=20..............(iii)`

  এখানে x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত`3/6` বা,`1/2`

  y  ,,    ,,      ,,      ,, `(-4)/(-8)` বা, `1/2`

  এবং ধ্রবক পদদ্বয়ের অনুপাত `10/20` বা, `1/2`

   আমরা পাই,`1/2`=`1/2`=`1/2`

   এক্ষেত্রে সমীকরণজোট সামন্জস্য ও নির্ভরশীল এবং অসংখ্য সমাধান বিদ্যমান ।

   :. সমীকরণজোটের প্রকৃতি পূর্বের মত নয় ।(Ans)