Question:9. x+2y=7
     
   2x-3y=0 

সমাধান দেওয়া আছে,  x+2y=0................(i)
                              
                       2x-3y=0................(ii)

     সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
                  x+2y-7=0
                 
                  2x-3y+0=0

   এখন,উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   
    `x/(2xx0-(-3)xx(-7))=y/(2xx(-7)-1xx0)`

    `=1/(1xx(-3)-2xx2)`
 
     বা, `x/(0-21)=y/(-14-0)=1/(-3-4)`
  
     বা, `x/-21=y/-14=1/-7`
     
     `:.x/-21=1/-7`
  
      বা, `x=-21/-7=3` এবং `y/-14=1/-7`
   
      বা, `y=-14/-7=2`
  
    :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(3,2)

Question:10. 4x+3y=-12
       2x=5 

সমাধান:প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়

        4x+3y=-1..................(i)
            
        2x=5...................(ii)

        সমীকরণদ্ধয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
           
        4x+3y+12=0
            
        2x+0y-5=0

        উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
       
       `x/(3xx(-5)-0xx12)=y/(12xx2-4xx(-5))=1/(4xx0-2xx3)`
    
        বা, `x/(-15-0)=y/(24+20)=1/(0-6)`
   
        বা,`x/-15=y/44=1/-6`
   
      `:.x/-15=1/-6 `এবং  `y/44=1/-6`
  
       বা, `x=-15/-6`  বা, ` y=44/-6`
     
       `:. x=5/2  :.  y=-22/3`
 
    :.  নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=((5/2,-22/3))`

Question:`8+11+14+17+.............`

 ক. ধারাটির `n` তম পদ বের কর ।

 খ. ধারাটির প্রথম `10`টি পদের সমষ্টি বের কর ।

 গ. খ হতে প্রাপ্ত সমষ্টিকে ১ম পদ এবং সাধারন অন্তর `9` ধরে নতুন ধারা এবং তার ৭ম পদ বের কর । 

ক. ধারাটির প্রথম পদ`a=8`

 সাধারন অন্তর `d=11-8=3`হলে,

 আমরা জানি, n তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=8+(n-1)3`

 `=8+3n-3`

 `=5+3n`Ans.খ. ’ক’ থেকে পাই, ১ম পদ  `a=8`, সাধারন অন্তর `d=3`

 এখানে পদসংখ্যা `n=10`
  
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম  `n`সংখ্যক পদের সমষ্টি

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
 
 তাহলে,প্রথম`10` টি পদের সমষ্টি,

 `s_10=10/2{2.8+(10-1)3}`

 `=5{16+9 xx 3}`

 `=5(16+27)`

 `=5 xx 43`

 `=215`Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই, ১ম পদ`a=215`

 এখন সাধারন অন্তর `d=9` হলে নতুন ধারাটি হলো

 `215+224+233+..........`
  
 আমরা জানি ,

 সমান্তর ধারার `n-`তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `:.` ধারাটির ৭ম পদ বের করার জন্য `n=7` বসিয়ে পাই,

 ধারাটির  ৭ম পদ`=215+(7-1)9`

 `=215+6 xx 9`

 `=215+54`

 `=269`Ans.

Question:`29+25+21+.........-23-.....`

 ক. ধারাটির `n` তম পদ কত?

 খ. ধারাটির  `n`তম পদ `-23` হলে,  `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি কত ?

 গ. `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি বের কর । 

ক. ধারাটির প্রথম পদ `A=29`  সাধারন অন্তর, `D=25-29= -4` হলে,
 
 ধারাটির `n` তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `=29+(n-1)(-4)`

 `=29-4n+4`

 `=33-4n`

 ক থেকে পাই `n` তম পদ   `=33-4n`

 এখানে `n` তম পদ `-23` হলে, `33-4n=-23`
  
 বা,`-4n=-23-33`
  
 বা,`-4n=-56`
 
 বা,`-n=-14`

 `:.`  `n=14`

 আবার প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.`  প্রথম `14`টি  পদের সমষ্টি `s_14=14/2{2 xx 29+(14-1)(-4)}`

 `=7{58+13(-4)}`

 `=7(58-52)`

 `=7 xx 6`

 `=42` Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই `n=14`

 `:.`ধারাটির `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_(2n) =(2n)/2{2a+(2n-1)d}`

  অতএব, `s_28=28/2{2 xx 29+(28-1)(-4)}`

 `=14{58+27(-4)}`

 `=14{58-108}`

 `=14(-50)`

 `=-700` Ans.

Question:11. -7x+8y=9
     5x-4y=-3 

সমাধান: দেওয়া আছে, -7x+8y=9................(i)
                          
          5x-4y=-3................(ii)
   
       (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
                  
         -7x+8y-9=0
                    
         5x-4y+3=0
 
       এখন, উপরউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
    
      `x/(8xx3-(-4)xx(-9))=y/((-9)xx5-3xx(-7))`

       `=1/((-7)xx(-4)-5xx8)`

       বা,  `x/(24-36)=y/(-45+21)=1/(28-40)`
  
       বা, `x/-12=y/-24=1/-12`
    
      `:.x/-12=1/-12`  বা, `x=-12/-12=1` এবং `y/-24=1/-12` 

       বা, `y=-24/-12=2`

       
      :. নির্ণেয় সমাধান :(x,y)=(1,2)

Question:12. 3x-y-7=0=2x+y-3 

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়
     
         3x-y-7=0=2x+y-3
     
        :.3x-y-7=0..............(i)
   
        2x+y-3=0.................(ii)

      সমীকরণদ্ধয়ের আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

     `:.x/((-1)xx(-3)-1xx(-7))=y/((-7)xx2 - 3xx(-3))`

      `=1/(3xx1-2xx(-1))`

      বা,`x/3+7=y/(-14+9)=1/3+2`
  
     বা, `x/10=y/-5=1/5`
  
  ` :. x/10=1/5  এবং y/-5=1/5`
    
     বা, `x=10/5  বা, y=-5/5`
      
    :. x=2   :. y=-1
  
  :. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(2,-1)

Question:`13. ax+by=a^2+b^2`
  
   2bx-ay=ab 

সমাধান: দেওয়া আছে,

         `ax+by=a^2+b^2.................(i)`
                           
          2bx-ay=ab.....................(ii)
   
         (i) নং ও (ii) সমীকরণকে পক্ষান্তর করে পাই,
         
        `ax+by-(a^2+b^2)=0`
            
          2abx-ay-ab=0
 
        এখন,উপরিউক্ত সমীকরণদ্ধয়ে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
         
       `x/(bxx(-ab)-(-a)xx{-(a^2+b^2)})`
          
       `=y/(-(a^2+b^2)xx2b-(-ab)xxa)=1/(-axxa-2bxxb)`
       
        বা,` x/(-ab^2-a^3-ab^2)=y/(2a^2b-2b^3+a^2b)=1/(a^2-2b^2)`
       
        বা,`x/(-a^3-2ab^2)=y/(-a^2b)=1/(-a^2-2b^2)`
      
        বা,`x/(-a(a^2+2b^2))=y/(-b(a^2+2b^2))=1/(-(a^2+2b^2))`
        
        বা,`x/a=y/b=1/1` [ত্রিপক্ষকে `-(a^2+2b^2))` দ্ধারা গুণ করে ]
            
        `:. x/a=1/1` বা , x=a  এবং` y/b=1/1` বা ,y=b
               
        ;. নির্ণেয় সমাধান: (x,y)=(a,b)

Question:120 টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকায় হয় ।
     ক. পঁচিশ পয়সার মুদ্রা যদি x সংখ্যক হয় তাহলে পঞ্চাশ পয়সা মুদ্রায় কত টাকা হবে ?
     খ. কোন প্রকার মুদ্রার সংখ্যা কতটি ?
     গ. মোট টাকা নির্দিষ্ট রেখে যদি পঞ্চাশ পয়সার সংখ্যা দ্বিগুণ করা হয়, তাহলে পচিঁশ পয়সার মুদ্রা কতটি কমাতে হবে ? 

ক. দেওয়া আছে, পঁচিশ পয়সার মুদ্রা x টি

  `:.`পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা `(120-x)` টি

   অতএব, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হবে `(120-x)xx5` পয়সা

            বা,`(120-x )50/100` টাকা (Ans.)
      

 খ.   প্রশ্নমতে,`25x+50(120-x)= 3500`

      বা, `25x+6000-50x= 3500`

      বা, `25x-50x= 3500-6000`[পক্ষান্তর করে]

      বা,`-25x= -2500`

       বা,`x= (-2500)/-25`

        `:.   x= 100`

        `:.` পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100  টি

         এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (120-100) টি  বা 20 টি

         পঁচিশ পয়সার মুদ্রা 100 টি এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা 20 টি (Ans.)


  গ. ‘খ’ হতে পাই, পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 20 টি

     এবং পঁশিচ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100 টি

     পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা দ্বিগুন করলে হয় `(20xx2)`টি বা 40 টি

     40 টি পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রা হয় `= (40xx50)` পয়সা

                                     `= 2000` পয়সা

                                     `= 2000/100` টাকা

                                     `= 20` টাকা

    `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রা হবে `= (35-20)`টাকা

                                   `= 15`টাকা

                                   `= (15xx100)`পয়সা

                                   `= 1500`পয়সা

   `:.`পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা হবে `1500/25`টি = 60 টি

   `:.` পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা কমাতে হবে `(100-60)`টি

                                         `= 40`টি   (Ans.)

Question:y(3+x)=x(6+y)

  3(3+x)=5(y-1) 

সমাধান:দেওয়া আছে,

         y(3+x)=x(6+y)..............(i)
                       
         3(3+x)=5(y-1)....................(ii)
     
        (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
              
        3y+xy=6x+xy
             
        বা, 6x+xy-3y-3y-xy=0
              
        বা, 6x-3y=0
   
       (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
             
        9+3x=5y-5
        
        বা, 3x-5y+9+5=0
           
        বা, 3x-5y+14=0
  
        আথাৎ(i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ দুইটির ভিন্ন রুপ হলো :
             
        6x-3y+0=0...............(i)
             
        3x-5y+14=0...............(iv)
 
        এখন (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
          
        `x/((-3)xx14-(-5)xx0)=y/(3xx0-6xx14)`
             
         `=1/(6xx(-5)-3xx(-3)`
           
           বা,`x/(-42+0)=y/(0-84)=1/(-30+9)`
              
           বা,`x/-42=y/-84=1/-21`
           
           `:. x/-42=1/-21`
             
             বা,`x=(-42)/(-21)=2`
              
              এবং`y/-84=1/-21`
           
              বা,` y=(-84)/(-21)=4`
          
             :. নিণেয় সমাধান: (x,y)=(2,4)

Question:একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার `2/3` গুণ এবং সংখ্যা দুইটির সমস্টি `100`.
   ক. তথ্যগুলোকে এক চলক বিশিষ্ট একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
   খ. সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর ।
   গ. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1 ; লব ও হর থেকে 1 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠীত হয় তা পূর্বের সংখ্যা দুটি দ্বারা গঠীত প্রকৃত ভগ্নাংশের সমান । ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর । 

ক. মনেকরি, একটি সংখ্যা = x

 `:.`অপর সংখ্যাটি =(x এর `2/3`) = `(2x)/3`

   প্রশ্নমতে, `x+(2x)/3= 100` (Ans.)


 খ. ‘ক’ হতে পাই,`x+(2x)/3= 100`

           বা, `(3x+2x)/3= 100`

           বা, `(5x)/3= 100`

           বা, `5x= 100xx3` [আড়াগুণন করে]

           বা, `5x= 300`

           বা, `x=300/5`

             `:. x = 60`

           অর্থাৎ, একটি সংখ্যা, `x= 60`

           এবং অপর সংখ্যাটি `=(2x)/3= (2xx60)/3= 40`

          `:.` সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40 (Ans.)


 গ. ‘খ’ থেকে পাই, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 60 এবং 40

    `:.` সংখ্যা দুইটি দ্বারা গঠিত প্রকৃত ভগ্নাংশ `= 40/60=2/3`

      এখন,  মনে করি, ভগ্নাংশটির লব = x

      এবং       "    "        "     হর = x+1

     `:.` ভগ্নাংশটি= `x/(x+1)`

      প্রশ্নমতে,  `(x-1)/(x+1-1)= 2/3`

      বা, `(x-1)/x= 2/3`

      বা, `3x-3= 2x`

      বা, `3x-2x= 3`

       `:.   x = 3`

    `:.` ভগ্নাংশটি `= x/(x+1)= 3/(3+1)= 3/4` (Ans.)