1. Question:সরল কর: ক. `(x^2 + 2x - 15)/(x^2 + x - 12) -: (x^2 - 25)/(x^2 - x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 5x + 6)` খ. `(x/(x - y) - x/(x + y)) -: (y/(x - y) - y/(x + y)) + ((x + y)/(x - y) + (x - y)/(x + y)) ` `-: ((x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y))` গ. `(x^2 + 2x - 3)/(x^2 + x - 2) -: (x^2 + x - 6)/(x^2 - 4)` ঘ. `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab) xx ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) ` `-: (a + b)/(a^2 + ab + b^2)` 

    Answer
    ক. `(x^2 + 2x - 15)/(x^2 + x - 12) -: (x^2 - 25)/(x^2 - x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 5x + 6)`
    
       `= (x^2 + 5x - 3x - 15)/(x^2 + 4x - 3x - 12) -: (x^2 - 5^2)/(x^2 - 5x + 4x - 20) xx (x - 2)/(x^2 - 3x - 2x + 6)`
    
       `= (x(x + 5) - 3(x + 5))/(x(x + 4) - 3(x + 4) - 3(x + 4)) -: ((x + 5)(x - 5))/(x(x - 5) + 4(x - 5)) `
    
                                                                                                `xx (x - 2)/(x(x - 3) - 2(x - 3))`
    
     
     `= ((x + 5)(x - 3))/((x + 4) (x - 3)) -: ((x + 5)(x - 5))/((x - 5)(x + 4)) xx (x - 2)/((x - 3) (x - 2))`
    
      `= (x + 5)/(x + 4) xx (x + 4)/(x + 5) xx 1/(x - 3)`
    
      `= 1/(x - 3)`
    
         উত্তর: `1/(x - 3)`
    
     খ. `(x/(x - y) - x/(x + y)) -: (y/(x - y) - y/(x + y)) + ((x + y)/(x - y) + (x - y)/(x + y)) `
    
                                                                `-: ((x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y))`
    
       `= (x(x + y) - x(x - y))/((x - y)(x + y)) -: (y(x + y) - y(x - y))/((x - y)(x + y))`
    
                        `+ ((x + y)^2 + (x - y)^2)/((x - y) (x + y)) -: ((x + y)^2 - (x - y)^2)/((x - y) (x + y))`
    
       `= (x^2 + xy - x^2 + xy)/((x - y) (x + y)) -: (xy + y^2 - xy + y^2)/((x - y)(x + y))`
    
              `+ (x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2)/((x - y)(x + y)) -: (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2)/((x - y)(x + y))`
    
       `= (2xy)/((x - y)(x + y)) xx ((x - y)(x + y))/(2y^2) + (2x^2 + 2y^2)/((x - y)(x + y)) -: (4xy)/((x - y)(x + y))`
    
       `= x/y + (2(x^2 + y^2))/((x + y)(x - y)) xx ((x - y)(x + y))/(4xy)`
    
       `= x/y + (x^2 + y^2)/(2xy)`
    
       `= (2x^2 + x^2 + y^2)/(2xy)`
    
       `= (3x^2 + y^2)/(2xy)`
    
         উত্তর: `(3x^2 + y^2)/(2xy)`
    
     গ. `(x^2 + 2x - 3)/(x^2 + x - 2) -: (x^2 + x - 6)/(x^2 - 4)`
    
         `= (x^2 + 3x - x - 3)/(x^2 + 2x - x - 2) -: (x^2 + 3x - 2x - 6)/(x^2 - 2^2)`
    
         `= (x(x + 3) - 1(x + 3))/(x(x + 2) - 1(x + 2)) -: (x(x + 3) - 2(x + 3))/((x + 2)(x - 2))`
    
         `= ((x + 3)(x - 1))/((x + 2)(x - 1)) -: ((x + 3)(x - 2))/((x + 2)(x - 2))`
    
         `= (x + 3)/(x + 2) -: (x + 3)/(x + 2)`
    
         `= (x + 3)/(x + 2) xx (x + 2)/(x + 3)`
    
           = 1
    
             উত্তর: 1
    
     ঘ. `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab) xx ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) -:  (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`
    
        `= ((a^2 + b^2)(a^2 - b^2))/(a^2 - 2ab + b^2) xx (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)/((a - b)(a^2 + ab + b^2) -: (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`
    
        `= ((a - b)(a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)^2 xx (a^2 - 2ab + b^2)/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) xx (a^2 + ab + b^2)/(a + b)`
    
       `= ((a - b)(a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)^2 xx (a - b)^2/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) xx (a^2 + ab + b^2)/(a + b)`
    
       `= a^2 + b^2`
    
         উত্তর: ` a^2 + b^2`

    1. Report
  2. Question:`(a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2), (a - b)/(a^3 - b^3), (a + b)/(a^3 + b^3)` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। ক. ১ম রাশিকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর। খ. দেখাও যে, রাশি তিনটির গুণফল `(a^2 + b^2)/(a^2 - ab + b^2)^2` গ. ১ম রাশিকে `(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)/((a + b)^2 - 4ab)` দ্বারা ভাগ করে ভাগফলের সাথে `a^2/(a + b)` যোগ কর। 

    Answer
    ক. ১ম রাশি `= (a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2)`
    
                 `= ((a^2)^2 - (b^2)^2)/(a - b)^2`
    
                 `= ((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/((a - b)(a - b))`
    
                 `= ((a^2 + b^2) (a + b) (a - b))/((a - b)(a - b))`
    
                 `= ((a + b)(a^2 + b^2))/(a - b)`
    
       নির্ণেয় লঘিষ্ট রুপ: `((a + b) (a^2 + b^2))/(a - b)` (Ans)
    
    
       খ. নির্ণেয় গুণফল 
    
               `= (a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2) xx (a - b)/(a^3 + b^3) xx (a + b)/(a^3 + b^3)`
    
               `= ((a^2 + b^2) (a + b) (a - b))/((a - b)(a - b)) xx (a - b)/((a + b) (a^2 - ab + b^2)) `
    
                                                                           `xx (a + b)/((a + b) (a^2 - ab + b^2))`
    
               `= (a^2 + b^2)/(a^2 - ab + b^2)^2` (Ans)
    
    
    
       গ. `{(a^4 - b^4)/(a^2 - 2ab + b^2) -: (a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)/((a + b)^2 - 4ab)} + a^2/(a + b)`
    
          `= {((a^2)^2 - (b^2)^2)/(a - b)^2 -: (a^2(a + b) + b^2 (a + b))/(a - b)^2} + a^2/(a + b)`
    
          `= {((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/(a - b)^2 -: ((a + b) (a^2 + b^2))/(a - b)^2} + a^2/(a + b)`
    
          `= ((a^2 + b^2) (a^2 - b^2))/(a - b)^2 xx (a - b)^2/((a + b) (a^2 + b^2)) + a^2/(a + b)`
    
          `= (a^2 - b^2)/(a + b) + a^2/(a + b)`
    
         ` = (a^2 - b^2 + a^2)/(a + b)`
    
          `= (2a^2 - b^2)/(a + b)`
    
             উত্তর: `(2a^2 - b^2)/(a + b)`

    1. Report
  3. Question:`A = x^2 - 5x + 6, B = x^2 - 7x + 12` `C = x^2 - 9x + 20` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। ক. `x/y` থেকে `(x + y)/y` এর বিয়োগ কর। খ. `1/B + 1/C` কে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর। গ. `1/A, 1/B, 1/C` কে সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

    Answer
    ক. নির্ণেয় বিয়োগফল `= x/y - (x + y)/y`
    
                           `= (x - x - y)/y`
    
                           `= (-y)/y`
    
                             = - 1
    
                  উত্তর: - 1
    
     
      খ. দেওয়া আছে, 
    
              `B = x^2 - 7x + 12` এবং `C = x^2 - 9x + 20`
    
            `:. 1/B + 1/C = 1/(x^2 - 7x + 12) + 1/(x^2 - 9x + 20)`
    
            `= 1/(x^2 - 4x - 3x + 12) +  1/(x^2 - 5x - 4x + 20)`
    
            `= 1/(x(x - 4) - 3(x - 4)) + 1/(x(x - 5) - 4(x - 5))`
    
            `= 1/((x - 3) (x - 4)) + 1/((x - 4)(x - 5))`
    
            `= (x - 5 + x - 3)/((x - 3)(x - 4)(x - 5))`
    
            `= (2x - 8)/((x - 3)(x - 4)(x - 5))`  (Ans)
    
      
      গ. `1/A = 1/(x^2 - 5x + 6)`
    
          `= 1/(x^2 - 3x - 2x + 6)`
    
          `= 1/(x(x - 3) - 2(x - 3))`
    
          `= 1/((x - 2) (x - 3))`
    
        `1/B = 1/(x^2 - 7x + 12)`
    
              `= 1/(x^2 - 4x - 3x + 12)`
    
              `= 1/(x(x - 4) - 3(x - 4))`
    
              `= 1/((x - 4)(x - 3))`
    
        এবং `1/C = 1/(x^2 - 9x + 20)`
    
                  `= 1/(x^2 - 4x - 5x + 20)`
    
                  `= 1/(x(x - 4) - 5(x - 4))`
    
                  `= 1/((x - 4) (x - 5))`
    
             প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর `x^2 - 5x + 6, x^2 - 7x + 12` ও `x^2 - 9x + 20` 
    
            এর ল,সা,গু হলো (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)
    
            এখন, হরগুলোর ল,সা,গু/প্রথম ভগ্নাংশের হর
    
             `= ((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))/((x - 2) (x - 3))`
    
             `= (x - 4) (x - 5)`
    
          `:. 1/A = (1 xx (x - 4) (x - 5))/((x - 2)(x - 3)(x - 4) (x - 5))`
    
             `= ((x - 4)(x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`
    
               হরগুলোর ল,সা,গু/দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর
    
    
            `= ((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))/((x - 3) (x - 4))`
    
            `= (x - 2) (x - 5)`
    
         `:. 1/B = (1 xx (x - 2) (x - 5))/((x - 3) (x - 4) (x - 2) (x - 5))`
    
            `= ((x - 2) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`
    
          এবং হরগুলোর ল,সা,গু/তৃতীয় ভগ্নাংশের হর
    
              `= ((x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5))/((x - 4) (x - 5))`
    
              `= (x - 2) (x - 3)`
    
          `:. 1/C = (1 xx (x - 2) (x - 3))/((x - 4)(x - 5) xx (x - 2) (x - 3))`
    
                   `= ((x - 2) (x - 3))/((x - 2) (x - 3)(x - 4)(x - 5))`
    
             :. নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো:
    
              `((x - 4) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`
    
              `((x - 2) (x - 5))/((x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5))`
    
              `((x - 2) (x - 3))/((x - 2) (x - 3)(x - 4)(x - 5))` (Ans)

    1. Report
  4. Question:`A = x - 2, B = x^2 + 2x + 4, C = x^2 - 8` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। ক. যোগফল নির্ণয় কর: `a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) + (a - b)/(ac)` খ. সরল কর: `1/A xx (x - 2)/B + (6x)/C` গ. প্রমাণ কর যে, `1/A xx (x + 2) -: (x + 2)/C = 1` 

    Answer
    ক. নির্ণেয় যোগফল 
    
           `= a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) + (a - b)/(ac)`
    
           `= (a^2 + b^2 + c^2 + b(a - b))/(abc)`
    
           `= (a^2 + b^2 + c^2 + ab - b^2)/(abc)`
    
           `= (a^2 + ab + c^2)/(abc)` (Ans)
    
     খ. দেওয়া আছে,
    
                  A = x - 2
    
                  B =` x^2 + 2x + 4`
    
                  C =` x^3 - 8`
    
                     =` x^3 - 2^3`
    
                     =` (x - 2) (x^2 + 2x + 2^2)`
    
                     = `(x - 2) (x^2 + 2x + 4)`
    
      প্রদত্ত রাশি,`= 1/A xx (x - 2)/B + (6x)/C`
    
                    =` 1/(x - 2) xx 1/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/((x - 2) (x^2 + 2x + 4))`
    
                    =` 1/(x^2 + 2x + 4) + (6x)/((x - 2)(x^2 + 2x + 4))`
    
                    =` (x - 2 + 6x)/((x - 2)(x^2 + 2x + 4))`
    
                    =` (7x - 2)/(x^3 - 8)` (Ans)
    
    
      গ. বামপক্ষ `= 1/A xx (x + 2)/B -: (x + 2)/C`
    
                   `= 1/(x - 2) xx (x + 2)/(x^2 + 2x + 4) -: (x + 2)/(x^3 - 8)`
    
                   `= (x + 2)/((x - 2) (x^2 + 2x + 4) xx (x^3 - 8)/(x + 2)`
    
                   `= (x^3 - 8)/(x^3 - 2^3)`
    
                   `= (x^3 - 8)/(x^3 - 8)`
    
                     = 1
    
                     = ডানপক্ষ
    
                 `:. 1/A xx (x + 2)/B -: (x + 2)/C = 1`  (প্রমাণিত)

    1. Report
  5. Question:`A = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12), B = (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7),` `C = (x^2 + 12x + 35)/(x^2 + 4x - 5)` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। ক. A কে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করো। খ. A + B কে সরল করো। গ. দেখাও যে, `B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1) = 1/(x - 3)` 

    Answer
    ক.`A = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12)`
    
           `= (x^2 + 4x - x - 4)/(x^2 + 4x + 3x + 12)`
    
           `= (x(x + 4) - 1 (x + 4))/(x(x + 4) + 3(x + 4))`
    
           `= ((x + 4)(x - 1))/((x + 4)(x + 3))`
    
           `= (x - 1)/(x + 3)`  (Ans)
    
    
      খ. `A + B = (x^2 + 3x - 4)/(x^2 + 7x + 12) + (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7)`
    
          `= (x - 1)/(x + 3) + (x^2 + 3x - x - 3)/(x^2 + 7x - x - 7)` [ক থেকে]
    
          `= (x - 1)/(x + 3) + (x(x + 3) - 1(x + 3))/(x(x + 7) - 1(x + 7))`
    
          `= (x - 1)/(x + 3) + ((x + 3) (x - 1))/((x + 7)(x - 1))`
    
          `= (x - 1)/(x + 3) + (x + 3)/(x + 7)`
    
          `= ((x - 1)(x + 7) + (x + 3)^2)/((x + 3) (x + 7))`
    
          `= (x^2 + 7x - x - 7 + x^2 + 6x + 9)/(x^2 + (3 + 7)x + 3.7)`
    
          `= (x^2 + 6x - 7 + x^2 + 6x + 9)/(x^2 + 10x + 21)`
    
          `= (2x^2 + 12x + 2)/(x^2 + 10x + 21)`  (Ans)
    
    
     গ. বামপক্ষ` = B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1)`
    
        `= (x^2 + 2x - 3)/(x^2 + 6x - 7) xx (x^2 + 12x + 35)/(x^2 + 4x - 5) -: (x^2 - 9)/(x - 1)`
    
        `= (x^2 + 2x - 2)/(x^2 + 7x - x - 7) xx (x^2 + 7x + 5x + 35)/(x^2 + 5x - x - 5) -: (x - 1)/(x^2 - 9)`
    
        `= (x^2 + 2x - 2)/(x(x + 7) - 1(x - 7)) xx (x(x + 7) + 5(x + 7))/(x(x + 5) - 1(x + 5)) xx (x - 1)/(x^2 - 3^2)`
    
        `= (x^2 + 2x - 2)/((x + 7) (x - 1)) xx ((x + 7)(x + 5))/((x + 5)(x - 1)) xx (x - 1)/((x + 3)(x - 3))`
    
        `= (x^2 + 2x - 3)/((x - 1)(x + 3)(x - 3))`
    
        `= (x^2 + 2x - 3)/((x^2 + 3x - x - 3)(x - 3))`
    
        `= (x^2 + 2x - 3)/((x^2 + 2x - 3)(x - 3))`
    
        `= 1/(x - 3)`
    
          = ডানপক্ষ
    
        `:. B xx C -: (x^2 - 9)/(x - 1) `
    
                `= 1/(x - 3)` (প্রমাণিত)

    1. Report
  6. Question:`1/(1 - p + p^2), 1/(1 + p + p^2)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` তিনটি বীজগাণিতীয় ভ্গ্নাংশ। ক. ৩য় ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর। খ. `1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0` গ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

    Answer
    ক. তৃতীয় ভগ্নাংশের হর
    
         `= 1 + p^2 + p^4`
    
         `= (p^2)^2 + 2. p^2 .1 + 1^2 - p^2`
    
         `= (p^2 + 1)^2 - p^2`
    
        ` = (P^2 + 1 + p) (p^2 + 1 - p)`
    
         `= (1 + p + p^2) (1 - p + p^2)`  (Ans)
    
    
     খ. বামপক্ষ
    
        `= 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`
    
        `= (1 + p + p^2 - 1 + p - p^2)/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`
    
        `= (2p)/(1 - p^2 + p^4) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)` [’ক’ এর সাহায্যে]
    
          = 0
    
          = ডানপক্ষ
    
        `:. 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0`
    
    
      গ. ১ম ভগ্নাংশের হর`= 1 -p + p^2`
    
          ২য় ভগ্নাংশের হর` = 1 + p + p^2`
    
          ৩য় ভগ্নাংশের হর` = 1 - p^2 + p^4`
    
        `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`[ক এর সাহায্যে]
    
        :. ভগ্নাংশের হরগুলোর ল,সা,গু
    
         `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`
    
        এখন, হরগুলোর ল,সা,গু/১ম ভগ্নাংশের হর
    
        `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/(1 - p + p^2) = 1 + p + p^2`
    
     `:. 1/(1 - p + p^2) = (1(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) = (1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`
    
        হরগুলোর ল,সা,গু/২য় ভগ্নাংশের হর
    
       `= ((1 + p + p^2) (1 - p + p^2))/(1 + p + p^2)`
    
      `:. 1/(1 + p + p^2) = (1(1 - p + p^2))/((1 + p + p^2) (1 - p + p^2)) = (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`
    
        হরগুলোর ল,সা,গু/৩য় ভগ্নাংশের হর
    
      `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2)(1 + p + p^2)) = 1`
    
       `:. (2p)/(1 - p^2 + p^4) = (2p. 1)/((1 + p^2 + p^4). 1) = (2p)/(1 + p^2 + p^4)`
    
        :. সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো:
    
         `(1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4), (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` (Ans)

    1. Report
  7. Question:`p = a^2 + 3a - 4, Q = a^2 - 1, R = a^2 + 5a + 4` ক. p এর উৎপাদক কতটি? খ. P Q R এর ল,সা,গু নির্ণয় কর। গ. সরল কর: `(3a)/P + (2a)/Q + a/(a^2 + 5a + 4)` 

    Answer
    ক দেওয়া আছে, 
    
            `P = a^2 + 3a - 4`
    
              `= a^2 + 4a - a - 4`
    
              `= a (a + 4) - 1(a + 4)`
    
                = (a + 4) (a - 1) 
    
            সুতরাং p এর উৎপাদক 2টি।
    
      খ. ‘ক’ থেকে পাই, 
    
              p = (a + 4) (a - 1)
    
          দেওয়া আছে, Q =` a^2 - 1`
    
                            = (a + 1) (a - 1)
    
                 এবং  R` = a^2 + 5a + 4`
    
                            =` a^2 + 4a + a + 4`
    
                            =` a(a + 4) + 1(a + 4)`
    
                            =` (a + 4) (a + 1)`
    
                        :. P, Q, R এর ল,সা,গু
    
                          = (a + 4) (a - 1) (a + 1)
    
                          = `(a + 4) (a^2 - 1)`
    
      গ. প্রদত্ত রাশি 
    
            `= (3a)/(a^2 + 3a - 4) + (2a)/(a^2 - 1) + a/(a^2 + 5a + 4)`
    
            `= (3a)/(a^2 + 4a - a - 4) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/(a^2 + a + 4a + 4)`
    
            `= (3a)/((a + 4)(a - 1)) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/((a + 1)(a + 4))`
    
            `= (3a(a + 1) + 2a(a + 4) + a(a - 1))/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`
    
            `= (3a^2 + 3a + 2a^2 + 8a + a^2 - a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`
    
            `= (6a^2 + 10a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`
    
            `= (2a(3a + 5))/((a + 4)(a^2 - 1))`

    1. Report
  8. Question:`x = 1 - a + a^2, y = 1 + a + a^2` `z = 1 + a^2 + a^4` ক. z কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তরফল রুপে প্রকাশ কর। খ. x, y, ও z এর ল,সা,গু নির্ণয় কর। গ. `1/x - 1/y - (2a)/z` কত? 

    Answer
    ক. `z = 1 + a^2 + a^4`
    
           `= (a^2)^2 + 2.a^2.1 + (1)^2 - a^2`
    
           `= (a^2 + 1)^2 - a^2`
    
    
      খ. `x = 1 - a + a^2`
    
          `y = 1 + a + a^2`
    
          `z = 1 + a^2 + a^4`
    
              =` 1 + 2.a^2.1 + (a^2)^2 - a^2`
    
              = `(1 + a^2)^2 - a^2`
    
              =` (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`
    
              =` (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`
    
            :. x, y, z এর ল,সা,গু `= (1 - a + a^2) (1 + a + a^2)`
    
                   `= (1 + a^2 - a) (1 + a^2 + a)`
    
                   `= (1 + a^2)^2 - a^2`
    
                   `= 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`
    
                   `= 1 + a^2 + a^4`
    
                      উত্তর: `1 + a^2 + a^4`
    
     গ. `1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`
    
         এখানে, `1 + a^2 + a^4 = 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`
    
         `= (1 + a^2)^2 - a^2`
    
         `= (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`
    
           হর `1 - a + a^2, 1 + a + a^2, 1 + a^2 + a^4`
    
            এর ল,সা,গু
    
          `= (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`
    
          `= 1 + a^2 + a^4`
    
         `:. 1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`
    
         `= (1 + a + a^2 - 1 + a - a^2 - 2a)/(1 + a^2 + a^4)`
    
           = `0/(1 + a^2 + a^4)`
    
           = 0
    
          উত্তর: 0

    1. Report
  9. Question:`a/(a^2 - 9b^2), b/(a^2 + 6ab + 9b^2)` দুইটি বীজগণিতীয় রাশি। ক. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু নির্ণয় কর। খ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফল নির্ণয় কর। গ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে কত যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে? 

    Answer
    ক. ১ম ভগ্নাংশে হর 
    
             `= a^2 - 9b^2`
    
             `= (a)^2 - (3b)^2`
    
             `= (a + 3b) (a - 3b)`
    
       ২য় ভগ্নাংশে হর 
    
              `= a^2 + 6ab + 9b^2`
    
              `= a^2 + 2.a. 3b + (3b)^2`
    
              `= (a + 3b)^2`
    
              `= (a + 3b) (a + 3b)`
    
          :. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু = (a + 3b)
    
    
       খ. নির্ণেয় যোগফল
    
         `= a/(a^2 - 9b^2) + b/(a^2 + 6ab + 9b^2)`
    
         `= a/(a^2 - (3b)^2 + b/(a^2 + 2.a.3b + (3b)^2)`
    
         `= a/((a + 3b)(a - 3b)) + b/(a + 3b)^2`
    
         `= a(a + 3b) + b (a - 3b))/((a + 3b)^2 (a - 3b))`
    
         `= (a^2 + 3ab + ab - 3b^2)/((a + 3b)(a^2 - 9b^2))`
    
    
      গ. ’খ’ থেকে পাই,
    
               `(a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
             `:. 1/(a + 3b) - (a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
               `= (a^2 - 9b^2 - a^2 - 4ab + 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
               `= (- 4ab - 6b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
               `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
              :. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে  `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`
    
               যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে।

    1. Report
  10. Question:`(x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y))` একটি বীজগাণিতিক রাশি। ক. বীজগণিতীয় রাশিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। খ. রাশিটির ভগ্নাংশের লবকে হর এবং হরকে লব ধরে প্রাপ্ত ভগ্নাংশ থেকে বিয়োগ কর। গ. ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত বিয়োগ ফলের লবের সাথে `(1 - y)^2` যোগ করে ভগ্নাংশটিকে দুইটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগফল আকারে প্রকাশ কর। 

    Answer
    ক. `x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y)`
    
          `= (x (1 - y) + y (1 - y) + xy (1 - y) + xy^2 + y^2)/(1 - y)`
    
          `= (x - xy + y - y^2 + xy - xy^2 + xy^2 + y^2)/(1 - y)`
    
          `= (x + y)/(1 - y)` (Ans)
    
    
      খ. ‘ক’ থেকে পাই,
    
          ভগ্নাংশ `= (x + y)/(1 - y)`
    
        :. বিপরীত ভগ্নাংশ `= (1 - y)/(x + y)`
    
        :. বিয়োগফল `= (x + y)/(1 - y) - (1 - y)/(x + y)`
    
                      `= ((x + y)^2 - (1 - y)^2)/((1 - y) (x + y))`
    
                      `= (x^2 + 2xy + y^2 - (1 - 2y + y^2))/((1 - y) (x + y))`
    
                      `= (x^2 + 2xy + y^2 - 1 + 2y - y^2)/((1 - y)(x + y))`
    
                      `= (x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y) (x + y))` (Ans) 
    
    
       গ. ‘খ’ থেকে পাই,
    
            `(x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y)(x + y))`
    
           `:. (x^2 + 2xy + 2y - 1 + (1 - y)^2)/((1 - y)(x + y))`
    
            `= (x^2 + 2xy + 2y - 1 + 1 - 2y + y^2)/((1 - y) (x + y))`
    
            `= (x^2 + 2xy + y^2)/((1 - y)(x + y))`
    
            `= (x + y)^2/((1 - y)(x + y))`
    
            `= (x + y)/(1 - y)`
    
           `= x/(1 - y) + y/(1 - y)`     (Ans)

    1. Report
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd