Question:`1/(x - 2), 1/(x + 2), 4/(x^2 + 4)` এবং `(32)/(x^4 + 16)` চারটি বীজগাণিতীয় রাশি।

 ক. ১ম ও ২য় রাশির যোগফল নির্ণয় কর।

 খ. ২য় রাশি থেকে ৩য় রাশির বিয়োগফল নির্ণয় কর এবং প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে `(x - 2)/(x^2 - 2x + 4)`যোগ কর।

 গ. প্রদত্ত রাশিগুলোর মাঝে বিয়োগ চিহৃ বসিয়ে সরল কর। 

ক. নির্ণেয় যোগফল `= 1/(x - 2) + 1/(x + 2)`

                      `= (x + 2 + x - 2)/((x - 2) (x + 2))`

                      `= (2x)/(x^2 - 2^2)`

                      `= (2x)/(x^2 - 4)`   (Ans)

 
 খ. `1/(x + 1) - 4/(x^2 + 4) = (x^2 + 4 - 4 (x + 2))/((x + 2) (x^2 + 4))`

                                       `= (x^2 + 4 - 4x - 8)/((x + 2) (x^2 + 4))`

                                       `= (x^2 - 4x - 4)/((x + 2)(x^2 + 4))`

  :. নির্ণেয় যোগফল  `= (x^2 - 4x - 4)/((x + 2) (x^2 + 4)) + (x - 2)/(x^2 - 2x + 4)`

 `= ((x^2 - 4x - 4) (x^2 - 2x + 4) + (x - 2) (x + 2) (x^2 + 4))/((x + 2)(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 4))`

` = (x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x^3 + 8x^2 - 16x - 4x^2 + 8x - 16 + (x^2 - 4) (x^2 + 4))/((x^3 - 2^3) (x^2 + 4))`

 `= (x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 8x - 16 + x^4 - 16)/((x^3 - 8)(x^2 + 4))`

 `= (2x^4 - 6x^3 + 8x^2 - 8x - 32)/((x^2 + 4)(x^3 - 8))`  (Ans)

Question:`(2a^2 + ab - b^2)/(a^3 + a^2b - a - b), (2a - b - c)/(a - b), (b - c)^2/((a - b) (a - c)), (b + c - 2a)/(a - c)`

      `{(c - a)/((b - c)(a - b)) + (b - a)/((a - c) (b - c)) + (b - c)/((a -  c)(a - b))}` পাচঁটি বীজগাণিতিক রাশি।

 ক. ১ম রাশিকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর।

 খ. ২য় রাশি হতে তৃতীয়  ও চতুর্থ রাশির যোগফল বিয়োগ কর।

 গ. ৫ম রাশিটির সরলফল নির্ণয় কর। 

ক. ১ম রাশি `= (2a^2 + ab - b^2)/(a^3 + a^2b - a - b) = (2a^2 + 2ab - ab - b^2)/(a^2 (a + b) - 1(a + b))`

        `= (2a(a + b) - b(a + b))/((a + b) (a^2 - 1))`

        `= ((a + b)(2a - b))/((a + b)(a^2 - 1))`

        `= (2a - b)/(a^2 - 1)`

        উত্তর: `(2a - b)/(a^2 - 1)`


 খ. প্রশ্নানুসারে, `(2a - b - c)/(a - b) - {(b - c)^2/((a - b)(a - c)) + (b + c - 2a)/(a - c)}`

   `= (2a - b - c)/(a + b) - (b - c)^2/((a - b)(a - c)) - (b + c - 2a)/(a - c)`

   `= ((a - c)(2a - b - c) - (b - c)^2 - (a - b) (b + c - 2a))/((a - b)(a - c))`

   `= ((2a^2 - ab - ac - 2ac + bc + c^2) - (b^2 - 2bc + c^2) - (ab + ac - 2a^2 - b^2 - bc + 2ab))/((a - b)(a - c))`

   `= (2a^2 - ab - 3ac + bc + c^2 - b^2 + 2bc - c^2 - 3ab - ac + 2a^2 + b^2 + bc)/((b - a)(a - c))`

   `= (4a^2 - 4ab - 4ac + 4bc)/((a - b)(a - c))`

   `= (4(a^2 - ab - ac + bc))/((a - b)(a - c))`

   `= (4{a(a - b) - c(a - b)})/((a - b)(a - c))`

   `= (4(a - b)(a - c))/((a - b)(a - c))`

     = 4

    উত্তর:  4

 
  গ. ৫ম রাশি, 

    `(c - a)/((c - a)(b - c)) + (b - a)/((a - c)(b - c)) + (b - c)/((a - c)(a - b))`

   `= ((c - a)(a - c) + (b - a)(a - b) + (b - c)(b - c))/((a - b)(b - c)(a - c))`

  `= (- (c - a) (c - a) - (a - b) (a - b) + (b - c) (b - c))/((a - b)(b - c)(a - c))`

  `= (- (c - a)^2 - (a - b)^2 + (b - c)^2)/((a - b)(b - c)(a - c))`

  `= (- (c^2 - 2ca + a^2) - (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2))/((a - b) (b - c)(a - c))`

  `= (- (c^2 + 2ca - a^2 - a^2 + 2ab - b^2 + b^2 - 2bc + c^2))/((a - b)(b - c)(a - c))`

  `= (- 2a^2 + 2ab - 2bc + 2ca)/((a - b) (b - c)(a - c))`

  `= (- 2a (a - b) + 2c (a - b))/((a - b) (b - c) (a - c))`

  `= ((a - b) (- 2a + 2c))/((a - b) (b - c) (a - c))`

  `= (- 2(a - b) (a - c))/((a - b)(b - c) (a - c))`

   `= (- 2)/(b - c)`

   `= (- 2)/(- (c - b))`

   `= 2/(c - b)`

      উত্তর:  ` 2/(c - b)`

Question:`(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab), ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3)` এবং `(a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

 ক. ১ম রাশিকে লঘিষ্ট আকারে রুপান্তর কর।

 খ. ২য় ও ৩য় রাশির যোগফল নির্ণয় কর।

 গ. রাশিগুলোকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর কর। 

ক. ১ম রাশি `= (a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab)`

               `= ((a^2)^2 - (b^2)^2)/(a^2 - 2ab + b^2)`

               `= ((a^2 + b^2)(a + b)(a - b))/((a - b)(a - b))`

               `= ((a^2 + b^2) (a + b))/((a - b))`

       উত্তর:  `((a^2 + b^2) (a + b))/((a - b))`

 খ. নির্ণেয় যোগফল

        `((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) + (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

       `= (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) + (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

      ` = (a^2 - 2ab + b^2)/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) + (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

       `= (a - b)^2/((a - b)(a^2 + ab + b^2)) + (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

       `= (a - b)/(a^2 + ab + b^2) + (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

       `= (a - b + a + b)/(a^2 + ab + b^2) `

       `= (2a)/(a^2 + ab + b^2)`

        উত্তর: `(2a)/(a^2 + ab + b^2)`

  গ. `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab), ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3), (a + b)/(a^2 + ab + b^2)`

     এখানে, 

    ১ম ভগ্নাংশের হর `= a^2 + b^2 - 2ab`

                      `= a^2 - 2ab + b^2`

                      `= (a - b)^2`

                      `= (a - b) (a - b)`

    ২য় ভগ্নাংশের হর `= a^3 - b^3`

                      `= (a - b) (a^2 + ab + b^2)`

    ৩য় ভগ্নাংশের হর `= a^2 + ab + b^2`

     :. ভগ্নাংশের হরগুলোর ল,সা,গু `= (a - b)^2 (a^2 + ab + b^2)`

      প্রাপ্ত ল,সা,গু কে প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় যথাক্রমে

     `a^2 + ab + b^2, (a - b), (a - b)^2`

     এখন, 

    `(a^4 - b^4)/(a^2 + b^2 - 2ab) = ((a^4 - b^4) xx (a^2 + ab + b^2))/((a^2 + b^2 - 2ab) xx (a^2 + ab + b^2))`

     `= ((a^4 - b^4) (a^2 + ab + b^2))/((a - b)^2 (a^2 + ab + b^2))`

     `= ((a^4 - b^4) (a^2 + ab + b^2))/((a - b)(a^3 - b^3))`

     `= ((a + b)^2 - 4ab)/(a^3 - b^3) = {((a + b)^2 - 4ab} xx (a - b))/((a^3 - b^3) xx (a - b))`

     `= ((a^2 - 2ab + b^2) (a - b))/((a - b) (a^3 - b^3))`

     `= ((a^2 - 2ab + b^2) (a - b))/((a - b)(a^3 - b^3))`

     `= ((a - b)^2 (a - b))/((a - b) (a^3 - b^3))`

     `= ((a - b)^3)/((a - b) (a^3 - b^3))`

     এবং `(a + b)/(a^2 + ab + b^2) = ((a + b) xx (a - b)^2)/((a^2 + ab + b^2) xx (a - b)^2)`

                                           `= ((a - b)^2 (a + b))/((a - b) (a - b) (a^2 + ab + b^2))`

                                            `= ((a - b)^2 (a + b))/((a - b)(a^3 - b^3))`

     নির্ণেয় সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো      `((a^4 - b^4) (a^2 + ab + b^2))/((a - b) (a^3 - b^3)), (a - b)^3/((a - b)(a^3 - b^3)), ((a - b)^2 (a + b))/((a - b) (a^3 - b^3))`

Question:`A = (x + 1)/(x - 1), B = (x^2 + x)/(x^2 + x - 2), C = x^2/(x^2 + 5x + 6)` এবং `D =(x^2 - y^2)/(x^3 - y^3)` চারটি বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ।

 ক. D কে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর।

 খ.প্রমাণ কর যে, `A -: B xx C = x/(x + 3)`

  গ. A, B এবং C কে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক.  `D = (x^2 - y^2)/(x^3 - y^3)`

            ` = ((x + y) (x - y))/((x - y) (x^2 + xy + y^2))` 

             `= ((x + y))/((x^2 + xy + y^2))`

      উত্তর:  ` ((x + y))/((x^2 + xy + y^2))`

  খ. দেওয়া আছে, 

    `A = (x + 1)/(x - 1), B = (x^2 + x)/(x^2 + x - 2),`এবং ` C = x^2/(x^2 + 5x + 6)`

 `:. A -: B xx C = (x + 1)/(x - 1) -: (x^2 + x)/(x^2 + x - 2) xx x^2/(x^2 + 5x + 6)`

    `= (x + 1)/(x - 1) xx (x^2 + x - 2)/(x^2 + x) xx x^2/(x^2 + 5x + 6)`

    `= (x + 1)/(x - 1) xx (x^2 + 2x - x - 2)/(x(x + 1)) xx x^2/(x^2 + 3x + 2x + 6)`

    `= (x + 1)/(x - 1) xx ((x + 2)(x - 1))/(x(x + 1)) xx x^2/((x + 3)(x + 2))`

    `= x/(x + 3)`

    `:. A -: B xx C = x/(x + 3)`  (প্রমাণিত)

  গ. `A = (x + 1)/(x - 1), B = (x^2 + x)/(x^2 + x - 2)`এবং `C = x^2/(x^2 + 5x + 6)`

      এখানে 

      A এর হর x = 1

      B এর হর `= x^2 + x - 2`

                 `= x^2 + 2x - x - 2`

                 `= x(x + 2) - 1(x + 2)`
 
                 `= (x + 2) (x - 1)`

   C এর হর `= x^2 + 5x + 6`

              `= x^2 + 3x + 2x + 6`

              `= x(x + 3) + 2(x + 3)`

              `= (x + 3) (x + 2)`

  :. A, B, C এর হরগুলোর ল,সা,গু = (x - 1) (x + 2) (x + 3)

   প্রাপ্ত ল,সা,গু কে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলির হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় যথাক্রমে

    (x + 2) (x + 3),  (x + 3) ও (x - 1)

  :. `A = (x + 1)/(x - 1) = ((x + 1)(x + 2)(x + 3))/((x - 1)(x + 2)(x + 3))`

    `B = (x^2 + x)/(x^2 + x - 2) = ((x^2 + x) xx (x + 3))/((x + 2)(x - 1) xx (x + 3)) = ((x^2 + x)(x + 3))/((x - 1)(x + 2)(x + 3))`

  এবং `C = x^2/(x^2 + 5x + 6), = (x^2 xx (x - 1))/((x + 2)(x + 3) xx (x - 1)) = (x^2 - (x - 1))/((x - 1)(x + 2)(x + 3))`

  :. নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলি `((x + 1)(x + 2)(x + 3))/((x - 1)(x + 2)(x + 3))`

   `((x^2 + x)(x + 3))/((x - 1)(x + 2)(x + 3)), (x^2 - (x - 1))/((x - 1)(x + 2)(x + 3))` (Ans)

Question:`(x - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3), (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12), (x^2 - 16)/(x^2 - 9)` তিনটি বীজগাণিতীয় রাশি।

 ক. ৩য় রাশির লব ও হরের পার্থক্য কত?

 খ. রাশি তিনটির গুণফল কত?

 গ. ১ম রাশি `-: `২য় রাশি `xx` ৩য় রাশি = কত? 

ক. দেওয়া আছে, 

    ৩য় রাশির লব` = x^2 - 16`

  এবং ৩য় রাশির হর = `x^2 - 9`

   :. পার্থক্য `= (x^2 - 16)^2 - (x^2 - 9)^2`

   `(x^2)^2 - 2.x^2.16 + (16)^2 - {(x^2)^2 - 2.x^2.9 + 9^2}`

  `= x^4 - 32x^2 + 256 - x^4 + 18x^2 - 81`

  `= - 14x^2 + 175`

  `= 175 - 14x^2`

  খ. নির্ণেয় গুণফল `= (x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3) xx (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12) xx (x^2 - 16)/(x^2 - 9)`

     `= (x^2 - 2x - x + 2)/(x^2 - 3x - x + 3) xx (x^2 - 3x - 2x + 6)/(x^2 - 4x - 3x + 12) xx (x^2 - 4^2)/(x^2 - 3^2)`

  `= (x(x - 2) - 1(x - 2))/(x(x - 3) - 1(x - 3)) xx (x(x - 3) - 2(x - 3))/(x(x - 4) - 3(x - 4)) xx ((x + 4)(x - 4))/((x + 3) (x - 3))`

   `= ((x - 2)(x - 1))/((x - 3)(x - 1)) xx ((x - 3)(x - 2))/((x - 4)(x - 3)) xx ((x + 4)(x - 4))/((x + 3)(x - 3))`

   `= ((x - 2)(x - 2)(x + 4))/((x - 3)(x + 3)(x - 3))`

   `= ((x - 2)^2(x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

    উত্তর: `((x - 2)^2(x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`


   গ. `(x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 4x + 3) -: (x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 7x + 12) xx (x^2 - 16)/(x^2 - 9)`

     `= (x^2 - 2x - x + 2)/(x^2 - 3x - x + 3) -: (x^2 - 3x - 2x + 6)/(x^2 - 4x - 3x + 12) xx (x^2 - 4^2)/(x^2 - 3^2)`

   `= (x(x - 2) - 1(x - 2))/(x(x - 3) - 1(x - 3)) -: (x(x - 3) - 2(x - 3))/(x(x - 4) - 3(x - 4)) xx ((x + 4)(x - 4))/((x + 3)(x - 3))`

  `= ((x - 2)(x - 1))/((x - 3)(x - 1)) -: ((x - 3)(x - 2))/((x - 4)(x - 3)) xx ((x + 4)(x - 4))/((x + 3)(x - 3))`

  `= ((x - 2)(x - 1))/((x - 3)(x - 1)) xx ((x - 4)(x - 3))/((x - 3)(x - 2)) xx ((x + 4)(x - 4))/((x + 3)(x - 3))`

  `= ((x - 4)^2 (x + 4))/((x - 3)^2 (x + 3))`

Question:`(2x^2 - 7x -: 3)/(2x^2 + 7x - 4), (3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3),``(2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15)` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. ১ম রাশির হরকে ২য় রাশির লব দ্বারা ভাগ কর।

  খ. ১ম রাশি `xx` ২য় রাশি` -:` ৩য় রাশি = কত?

  গ. রাশি তিনটিকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক. ‍১ম রাশির হর `= 2x^2 + 7x - 4`

   এবং ২য় রাশির লব` = 3x^2 + 11x - 4`

   :. নির্ণেয় ভাগফল` = (2x^2 + 7x - 4)/(3x^2 + 11x - 4)`

                      `= (2x^2 + 8x - x - 4)/(3x^2 + 12x - x - 4)`

                      `= (2x(x + 4) - 1(x + 4))/(3x(x + 4) - 1(x + 4))`

                      `= ((x + 4)(2x - 1))/((3x - 1)(x + 4))`

                      `= (2x - 1)/(3x - 1)`

                       উত্তর: `(2x - 1)/(3x - 1)`

  খ. `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4) xx (3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3) -: (2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15)`

 `= (2x^2 - 6x - x + 6)/(2x^2 + 8x - x - 4) xx (3x^2 + 12x - x - 4)/(3x^2 + 9x - x - 3) -: (2x^2 + 6x - 5x - 15)/(2x^2 - 6x - 5x + 15)`

 `= (2x (x - 3) - 1(x - 3))/(2x(x + 4) - 1(x + 4)) xx (3x(x + 4) - 1(x + 4))/(3x(x + 9) - 1(x + 3)) -: (2x(x + 3) - 5(x + 3))/(2x (x - 3) - 5(x - 3))`

`= ((x - 3)(2x - 1))/((x + 4)(2x - 1)) xx ((x + 4)(3x - 1))/((x + 3)(3x - 1)) -: ((x + 3)(2x - 5))/((x - 3)(2x - 5))`

 `= ((x - 3)(2x - 1))/((x + 4)(2x - 1)) xx ((x + 4)(3x - 1))/((x + 3)(3x - 1)) xx ((x - 3)(2x - 5))/((x + 3)(2x - 5))`

 `= ((x - 3))^2/((x + 3))^2`

    উত্তর: `((x - 3))^2/((x + 3))^2`

 গ. `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4), (3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3), (2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15)`

  এখানে,

  ১ম ভগ্নাংশের হর `= 2x^2 + 7x - 4`

                   `= 2x^2 + 8x - x - 4`

                   `= (2x(x + 4) - 1(x + 4))`

                   `= (x + 4)(2x - 1)`

  ২য় ভগ্নাংশের হর` = 3x^2 + 8x - 3`

                   ` = 3x^2 + 9x - x - 3`

                    `= 3x(x + 3) - 1(x + 3)`

                    `= (x + 3)(3x - 1)`

  ৩য় ভগ্নাংশের হর `= 2x^2 - 11x + 15`

                    `= 2x^2 - 6x - 5x + 15`

                    `= (2x(x - 3) - 5(x - 3))`

                    `= (x - 3)(2x - 5)`

     :. ভগ্নাংশগুলির হরগুলোর ল,সা,গু

        ` =  (x -: 4) (2x - 1) (x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

   প্রদত্ত ল,সা,গু কে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলির হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয়

            `(x + 3) (3x - 1)(x - 3)`

  `(2x - 5), (x + 4) (2x - 1) (x - 3) (2x - 5) (x + 4) (2x - 1) (x + 3) (3x - 1)`

 এখন, `(2x^2 - 7x + 3)/(2x^2 + 7x - 4) = ((2x^2 - 7x + 3) xx (x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))/((2x^2 + 7x - 4) xx (x + 3) (3x - 1) (x - 3)(2x - 5))`

 `= ((2x^2 - 7x + 3)(x^2 - 3^2)(6x^2 - 15x - 2x + 5))/((x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((x^2 - 9)(2x^2 - 7x + 3)(6x^2 - 17x + 5))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `(3x^2 + 11x - 4)/(3x^2 + 8x - 3) = ((3x^2 + 11x - 4) xx (x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))/((3x^2 + 8x - 3) xx (x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 - x + 8x - 4)(2x^2 - 5x - 6x + 15))/((x + 3)(3x - 1)(x + 4)(2x - 1)(x - 3)(2x - 5))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 + 7x - 4)(2x^2 - 11x + 15))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 এবং `(2x^2 + x - 15)/(2x^2 - 11x + 15) = ((2x^2 + x - 15) xx (x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))/((2x^2 - 11x + 15) xx (x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 - x + 8x - 4)(3x^2 - x + 9x - 3))/((x - 3)(2x - 5)(x + 4)(2x - 1)(x + 3)(3x - 1))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 + 7x - 4)(3x^2 + 8x - 3))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 :.  নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো` = ((x^2 - 9)(2x^2 - 7x + 3)(6x^2 - 17x + 5))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `= ((3x^2 + 11x - 4)(2x^2 + 7x - 4)(2x^2 - 11x + 15))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

 `= ((2x^2 + x - 15)(2x^2 + 7x - 4)(3x^2 + 8x - 3))/((3x - 1)(2x - 5)(2x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4))`

Question:`(1 - z/(x + y)), (mu)/(m - n), (m^3 + n^3)/(m^3 - m^2n + mn^2)` এবং `(x/(x + y + z) -: x/(x + y - z))` বীজগাণিতিক রাশি।

 ক. ৩য় রাশিকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ কর।

 খ. ১ম ও ৪র্থ রাশির গুণফল নির্ণয় কর।

 গ. ২য় ও ৩য় রাশির সাথে `(m^3 - n^3)/(m^2 + mn + n^2)` কে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাঙশে রুপান্তর কর। 

ক. ৩য় রাশি 

 `= (m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^2)`

 `= ((m + n)(m^2 - mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2))`

 `= (m + n)/m`

  উত্তর:  `(m + n)/m`

 খ. নির্ণেয় গুণফল 

 ` = (1 - z/(x + y)) (x/(x + y + z) + x/(x + y - z))`

 `= ((x + y - z)/(x + y)) {(x(x + y - z) + x(x + y + z))/((x + y + z)(x + y - z))}`

 `= ((x + y - z))/((x + y)) xx (x^2 + xy - zx + x^2 + xy + zx)/((x + y + z)(x + y - z))`

 `= (2x^2 + 2xy)/((x + y)(x + y + z))`

 `= (2x(x + y))/((x + y)(x + y + z))`

 `= (2x)/(x + y + z)`

  উত্তর:  `(2x)/(x + y + z)`

 
  গ. `(mn)/(m - n), (m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^2), (m^3 - n^3)/(m^2 + mn + n^2)`

   এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = m - n

   ২য় ভগ্নাংশের হর = `m^3 - m^2 n + mn^2`

                     =` m(m^2 - mn + n^2)`

  ৩য় ভগ্নাংশের হর =` m^2 + mn + n^2`

  :. হরগুলোর ল,সা,গু `= m(m - n) (m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2)`

  প্রাপ্ত ল,সা,গু কে প্রদ্ত্ত ভগ্নাংশগুলির হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় যথাক্রমে

  `m(m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2), (m - n)(m^2 + mn + n^2) m(m - n) (m^2 - mn + n^2)`

  এখন, 

 :. `(mn)/(m - n) = (mn xx m(m^2 + mn + n^2)(m^2 - mn + n^2))/((m - n) xx m(m^2 + mn + n^2) (m^2 - mn + n^2))`

  `= (m^2 n(m^2 - mn + n^2) (m^2 + mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

 `(m^3 + n^3)/(m^3 - m^2 n + mn^3) = ((m^3 + n^3) xx (m - n) (m^2 + mn + n^2))/((m^3 - m^2 n + mn^2) xx (m - n)(m^2 + mn + n^2))`

   `= ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))/(m(m^2 - mn + n^2) (m^3 - n^3))`

  এবং `(m^3 - n^3)/(m^2 + mn + n^2) = ((m^3 - n^3) xx m(m - n) (m^2 - mn + n^2))/((m^2 + mn + n^2) xx m(m - n) (m^2 - mn + n^2))`

  `= (m(m - n)(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

  নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো

 ` (m^2 n(m^2 - mn + n^2)(m^2 + mn + n^2))/(m(m^2 - mn + n^2) (m^3 - n^3))`

 `= ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3)), (m(m - n)(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))/(m(m^2 - mn + n^2)(m^3 - n^3))`

Question:জলিল তার মোবাইলটি ৪,০০০ টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি হিসাব করে দেখালেন যে, তার ১০% ক্ষতি হয়েছে। 

 ক. জলিলের কত টাকা ক্ষতি হয়েছে?

 খ. জলিল যদি ১০% লাভ করতে চাই তবে তাকে কত টাকায় মোবাইলটি বিক্রি করতে হবে?

 গ. ক্রয় মূল্যের সমান টাকা ৮% মুনাফা আসলে তিনি কত টাকা পাবেন? 

সমাধান:

ক. ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য

  (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

  বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

 :.  বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(৯০)` টাকা

 :.  বিক্রয়মূল্য ৪,০০০  টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৪,০০০)/(৯০)` টাকা

                                         = ৪৪৪৪.৪৪ টাকা

 :. ক্ষতির পরিমাণ = (৪৪৪৪.৪৪ - ৪০০০) টাকা

                    = ৪৪৪.৪৪ টাকা

   উত্তর: ৪,০০০ টাকা।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই,

    মোবাইলটির ক্রয়রমূল্য = ৪৪৪৪.৪৪ টাকা

     ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য

      = (১০০ + ১০) টাকা

      = ১১০ টাকা

    :. ক্রয়মূল্য ১ হলে বিক্রয়মূল্য `(১১০)/(১০০)` টাকা

    :. ৪৪৪৪.৪৪   ,,          ,,      `(১১০ xx ৪৪৪৪.৪৪)/(১০০)` টাকা

                        = ৪৮৮৮.৮৮ টাকা

   :. মোবাইলটি বিক্রয় করতে হবে ৪৮৮৮.৮৮ টাকায়।

    উত্তর: ৪৮৮৮.৮৮ টাকা

 গ. ক্রয়মূল্যের সমান টাকা ব্যাংকে জমা রাখা হলো।

   অর্থাৎ আসল p = টাকা

   মুনাফার হার r = ৮% =` ৮/(১০০) = ২/(২৫)`

   সময় n = ৫ বছর

   :. মুনাফা I = prn

           = `৪৪৪৪.৪৪ xx ৫ xx ২/(২৫)` টাকা

           = ১৭৭৭.৭৮ টাকা

  :. মনাফা-আসল = আসল + মুনাফা

                    = (৪৪৪৪.৪৪ + ১৭৭৭.৭৮) টাকা

                    = ৬২২২.২২ টাকা

     উত্তর: ৬২২২.২২ টাকা।

Question:একটি পন্যদ্রব্যের খুচরা মূল্য ৫৭৬ টাকা। দ্রব্যটি পাইকারি বিক্রেতা ২০% এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে।

 ক. ২০% কে অনুপাতে প্রকাশ কর।

 খ. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য নির্ণয় কর।

 গ. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য অপেক্ষা খুচরা মূল্য শতকরা কত বেশি। 

সমাধান:

ক. ২০% = `(২০)/(১০০) = ১/৫ = ১ : ৫`

  উত্তর: ১ : ৫

 খ. খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% লাভে 

     বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা বা ১২০ টাকা

  খুচরা বিক্রেতার

  বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

  :. বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(১২০)` টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৫৭৬)/(১২০)` টাকা

                                         = ৪৮০ টাকা

  :. পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা 

   পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২০% লাভে

   বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা বা ১২০ টাকা।

   পাইকারি বিক্রেতার,

   বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(১২০)` টাকা

   :. বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ৪৮০)/(১২০)` টাকা

                                   = ৪০০ টাকা

    :. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা

   উত্তর: ৪০০ টাকা


 গ. দেওয়া আছে, খুচরা মূল্য ৫৭৬ টাকা

  ‘খ’ থেকে পাই, পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা

 :. খুচরা মূল্য পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি

           = (৫৭৬ - ৪০০) টাকা

           = ১৭৬ টাকা

   :. পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য অপেক্ষা খুচরা মূল্য শতকরা বেশি হয় `(১৭৬)/(৪০০) xx ১০০% = ৪৪%`

                     উত্তর: ৪৪%।

Question:একজন দোকানদার কিছু ডাল ২৩৭৫.০০ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হলো।

 ক. ৫% কে অনুপাতে প্রকাশ কর।

 খ. তার কত টাকা ক্ষতি হলো?

 গ. ঐ ডাল কত টাকায় বিক্রয় করলে তার  ৬% লাভ হবে? 

সমাধান:

ক.` ৫% = ৫ ১/(১০০) = ১/(২০) = ১ : ২০`

   উত্তর: ১ : ২০

 খ. ডালের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ৫% ক্ষতিতে 

   বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৫)  টাকা বা ৯৫ টাকা।

   ডালের বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা

  :. ডালের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০)/(৯৫)` টাকা
 
  :. ডালের বিক্রয়মূল্য ২৩৭৫.০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য `(১০০ xx ২৩৭৫.০০)/(৯৫)` টাকা

                                          = ২৫০০ টাকা

  :. দোকানদারের ক্ষতি হলো (২৫০০ - ২৩৭৫) টাকা

                    = ১২৫ টাকা

   উত্তর: ১২৫ টাকা।

 গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই,

     ডালের ক্রয়মূল্য ২৫০০ টাকা।

    আবার, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ৬% লাভে বিক্রয়মূল্য

    (১০০ + ৬) টাকা = ১০৬ টাকা।

  ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা
 
  :.  ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য `(১০৬)/(১০০)` টাকা
 
  :. ক্রয়মূল্য ২৫০০  টাকা হলে বিক্রয়মূল্য `(১০৬ xx ২৫০০)/(১০০)` টাকা

                               = ২৬৫০ টাকা

  :. ঐ ডাল ২৬৫০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে।

  উত্তর: ২৬০০ টাকা।