Question:`1/(1 - p + p^2), 1/(1 + p + p^2)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` তিনটি বীজগাণিতীয় ভ্গ্নাংশ।

 ক. ৩য় ভগ্নাংশের হরকে উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর।

 খ. `1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0`

 গ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক. তৃতীয় ভগ্নাংশের হর

     `= 1 + p^2 + p^4`

     `= (p^2)^2 + 2. p^2 .1 + 1^2 - p^2`

     `= (p^2 + 1)^2 - p^2`

    ` = (P^2 + 1 + p) (p^2 + 1 - p)`

     `= (1 + p + p^2) (1 - p + p^2)`  (Ans)


 খ. বামপক্ষ

    `= 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    `= (1 + p + p^2 - 1 + p - p^2)/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    `= (2p)/(1 - p^2 + p^4) - (2p)/(1 + p^2 + p^4)` [’ক’ এর সাহায্যে]

      = 0

      = ডানপক্ষ

    `:. 1/(1 - p + p^2) - 1/(1 + p + p^2) - (2p)/(1 + p^2 + p^4) = 0`


  গ. ১ম ভগ্নাংশের হর`= 1 -p + p^2`

      ২য় ভগ্নাংশের হর` = 1 + p + p^2`

      ৩য় ভগ্নাংশের হর` = 1 - p^2 + p^4`

    `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`[ক এর সাহায্যে]

    :. ভগ্নাংশের হরগুলোর ল,সা,গু

     `= (1 - p + p^2) (1 + p + p^2)`

    এখন, হরগুলোর ল,সা,গু/১ম ভগ্নাংশের হর

    `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/(1 - p + p^2) = 1 + p + p^2`

 `:. 1/(1 - p + p^2) = (1(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2) (1 + p + p^2)) = (1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`

    হরগুলোর ল,সা,গু/২য় ভগ্নাংশের হর

   `= ((1 + p + p^2) (1 - p + p^2))/(1 + p + p^2)`

  `:. 1/(1 + p + p^2) = (1(1 - p + p^2))/((1 + p + p^2) (1 - p + p^2)) = (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)`

    হরগুলোর ল,সা,গু/৩য় ভগ্নাংশের হর

  `= ((1 - p + p^2)(1 + p + p^2))/((1 - p + p^2)(1 + p + p^2)) = 1`

   `:. (2p)/(1 - p^2 + p^4) = (2p. 1)/((1 + p^2 + p^4). 1) = (2p)/(1 + p^2 + p^4)`

    :. সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো:

     `(1 + p + p^2)/(1 + p^2 + p^4), (1 - p + p^2)/(1 + p^2 + p^4)` এবং `(2p)/(1 + p^2 + p^4)` (Ans)

Question:`p = a^2 + 3a - 4, Q = a^2 - 1, R = a^2 + 5a + 4`

 ক. p এর উৎপাদক কতটি?

 খ. P Q R এর ল,সা,গু নির্ণয় কর।

 গ. সরল কর: `(3a)/P + (2a)/Q + a/(a^2 + 5a + 4)` 

ক দেওয়া আছে, 

        `P = a^2 + 3a - 4`

          `= a^2 + 4a - a - 4`

          `= a (a + 4) - 1(a + 4)`

            = (a + 4) (a - 1) 

        সুতরাং p এর উৎপাদক 2টি।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই, 

          p = (a + 4) (a - 1)

      দেওয়া আছে, Q =` a^2 - 1`

                        = (a + 1) (a - 1)

             এবং  R` = a^2 + 5a + 4`

                        =` a^2 + 4a + a + 4`

                        =` a(a + 4) + 1(a + 4)`

                        =` (a + 4) (a + 1)`

                    :. P, Q, R এর ল,সা,গু

                      = (a + 4) (a - 1) (a + 1)

                      = `(a + 4) (a^2 - 1)`

  গ. প্রদত্ত রাশি 

        `= (3a)/(a^2 + 3a - 4) + (2a)/(a^2 - 1) + a/(a^2 + 5a + 4)`

        `= (3a)/(a^2 + 4a - a - 4) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/(a^2 + a + 4a + 4)`

        `= (3a)/((a + 4)(a - 1)) + (2a)/((a + 1)(a - 1)) + a/((a + 1)(a + 4))`

        `= (3a(a + 1) + 2a(a + 4) + a(a - 1))/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (3a^2 + 3a + 2a^2 + 8a + a^2 - a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (6a^2 + 10a)/((a + 4)(a + 1)(a - 1))`

        `= (2a(3a + 5))/((a + 4)(a^2 - 1))`

Question:`x = 1 - a + a^2, y = 1 + a + a^2` `z = 1 + a^2 + a^4`

 ক. z কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তরফল রুপে প্রকাশ কর।

 খ. x, y, ও z এর ল,সা,গু নির্ণয় কর।

 গ. `1/x - 1/y - (2a)/z` কত? 

ক. `z = 1 + a^2 + a^4`

       `= (a^2)^2 + 2.a^2.1 + (1)^2 - a^2`

       `= (a^2 + 1)^2 - a^2`


  খ. `x = 1 - a + a^2`

      `y = 1 + a + a^2`

      `z = 1 + a^2 + a^4`

          =` 1 + 2.a^2.1 + (a^2)^2 - a^2`

          = `(1 + a^2)^2 - a^2`

          =` (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`

          =` (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`

        :. x, y, z এর ল,সা,গু `= (1 - a + a^2) (1 + a + a^2)`

               `= (1 + a^2 - a) (1 + a^2 + a)`

               `= (1 + a^2)^2 - a^2`

               `= 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`

               `= 1 + a^2 + a^4`

                  উত্তর: `1 + a^2 + a^4`

 গ. `1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`

     এখানে, `1 + a^2 + a^4 = 1 + 2a^2 + a^4 - a^2`

     `= (1 + a^2)^2 - a^2`

     `= (1 + a^2 + a) (1 + a^2 - a)`

       হর `1 - a + a^2, 1 + a + a^2, 1 + a^2 + a^4`

        এর ল,সা,গু

      `= (1 + a + a^2) (1 - a + a^2)`

      `= 1 + a^2 + a^4`

     `:. 1/(1 - a + a^2) - 1/(1 + a + a^2) - (2a)/(1 + a^2 + a^4)`

     `= (1 + a + a^2 - 1 + a - a^2 - 2a)/(1 + a^2 + a^4)`

       = `0/(1 + a^2 + a^4)`

       = 0

      উত্তর: 0

Question:`a/(a^2 - 9b^2), b/(a^2 + 6ab + 9b^2)` দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।

 ক. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু নির্ণয় কর।

 খ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফল নির্ণয় কর।

 গ. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে কত যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে? 

ক. ১ম ভগ্নাংশে হর 

         `= a^2 - 9b^2`

         `= (a)^2 - (3b)^2`

         `= (a + 3b) (a - 3b)`

   ২য় ভগ্নাংশে হর 

          `= a^2 + 6ab + 9b^2`

          `= a^2 + 2.a. 3b + (3b)^2`

          `= (a + 3b)^2`

          `= (a + 3b) (a + 3b)`

      :. ভগ্নাংশ দুইটির হরের গ,সা,গু = (a + 3b)


   খ. নির্ণেয় যোগফল

     `= a/(a^2 - 9b^2) + b/(a^2 + 6ab + 9b^2)`

     `= a/(a^2 - (3b)^2 + b/(a^2 + 2.a.3b + (3b)^2)`

     `= a/((a + 3b)(a - 3b)) + b/(a + 3b)^2`

     `= a(a + 3b) + b (a - 3b))/((a + 3b)^2 (a - 3b))`

     `= (a^2 + 3ab + ab - 3b^2)/((a + 3b)(a^2 - 9b^2))`


  গ. ’খ’ থেকে পাই,

           `(a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

         `:. 1/(a + 3b) - (a^2 + 4ab - 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (a^2 - 9b^2 - a^2 - 4ab + 3b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (- 4ab - 6b^2)/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

          :. ভগ্নাংশ দুইটির যোগফলের সাথে  `= (- 2b (2a + 3b))/((a + 3b) (a^2 - 9b^2))`

           যোগ করলে যোগফল `1/(a + 3b)` হবে।

Question:`(x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y))` একটি বীজগাণিতিক রাশি।

 ক. বীজগণিতীয় রাশিকে ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

 খ. রাশিটির ভগ্নাংশের লবকে হর এবং হরকে লব ধরে প্রাপ্ত ভগ্নাংশ থেকে বিয়োগ কর।

 গ. ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত বিয়োগ ফলের লবের সাথে `(1 - y)^2` যোগ করে ভগ্নাংশটিকে দুইটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগফল আকারে প্রকাশ কর। 

ক. `x + y + xy + (xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x (1 - y) + y (1 - y) + xy (1 - y) + xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x - xy + y - y^2 + xy - xy^2 + xy^2 + y^2)/(1 - y)`

      `= (x + y)/(1 - y)` (Ans)


  খ. ‘ক’ থেকে পাই,

      ভগ্নাংশ `= (x + y)/(1 - y)`

    :. বিপরীত ভগ্নাংশ `= (1 - y)/(x + y)`

    :. বিয়োগফল `= (x + y)/(1 - y) - (1 - y)/(x + y)`

                  `= ((x + y)^2 - (1 - y)^2)/((1 - y) (x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + y^2 - (1 - 2y + y^2))/((1 - y) (x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + y^2 - 1 + 2y - y^2)/((1 - y)(x + y))`

                  `= (x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y) (x + y))` (Ans) 


   গ. ‘খ’ থেকে পাই,

        `(x^2 + 2xy + 2y - 1)/((1 - y)(x + y))`

       `:. (x^2 + 2xy + 2y - 1 + (1 - y)^2)/((1 - y)(x + y))`

        `= (x^2 + 2xy + 2y - 1 + 1 - 2y + y^2)/((1 - y) (x + y))`

        `= (x^2 + 2xy + y^2)/((1 - y)(x + y))`

        `= (x + y)^2/((1 - y)(x + y))`

        `= (x + y)/(1 - y)`

       `= x/(1 - y) + y/(1 - y)`     (Ans)

Question:`p = 1/(x - 1), q = 2/(x^2 + 1), r = 4/(x^4 + 1), s = 1/(x + 1)` হলে

  ক. (p + q)  নির্ণয় কর।

  খ. `1/p, 1/q, 1/s`এর ল,সা,গু নির্ণয় কর।

  গ. (p - s - q + r) কে সরল কর। 

ক. দেওয়া আছে, 

  `p = 1/(x - 1), q = 2/(x^2 + 1)`

 `:. p + p = 1/(x - 1) + 2/(x^2 + 1)`

 `= (x^2 + 1 + 2 (x - 1))/((x - 1)(x^2 + 1))`

`= (x^2 + 1 + 2x - 2)/((x - 1) (x^2 + 1)`

`= (x^2 + 2x - 1)/((x - 1) (x^2 + 1))`  (Ans)

 খ. দেওয়া আছে, 

    `p = 1/(x - 1)`

 `:. 1/p = x - 1`

  `q = 2/(x^2 + 1)`

   `x^2 + 1 = 2/q`

  `(x^2 + 1)/2 = 1/q`

  `:. 1/q = (x^2 + 1)/2`

  `s = 1/(x + 1)`

 `:. 1/s = x + 1`

 `:. 1/p, 1/q` এবং `1/s` এর ল,সা,গু 1.

 গ. দেওয়া আছে,

 `p = 1/(x - 1), q = 2/(x^2 + 1), r = 4/(x^4 + 1)` এবং `s = 1/(x + 1)`

 `:. p - s - q + r = 1/(x - 1) - 1/(x + 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (x + 1 - x + 1)/(x^2 - 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= 2/(x^2 - 1) - 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (2 (x^2 + 1) - 2 (x^2 - 1))/((x^2 - 1) (x^2 + 1)) + 4/(x^4 + 1)`

 `= (2x^2 + 2 - 2x^2 + 2)/(x^4 - 1) + 4/(x^4 + 1)`

 `= 4/(x^4 - 1) + 1/(x^4 + 1)`

 `= (4x^4 + 4 + 4x^4 - 4)/((x^4 - 1)(x^4 + 1))`

 `= (8x^4)/(x^8 - 1)`   (Ans)

Question:`1/(a^2 - b^2 - c^2 - 2bc), 1/(b^2 - c^2 - a^2 - 2ca), 1/(c^2 - a^2 - b^2 - 2ab)`

 ক. ভগ্নাংশের লঘিষ্ট করণ বলতে কি বুঝ।

 খ. ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর গ,সা,গু নির্ণয় কর।

 গ. ‘খ’ নং হতে প্রাপ্ত গ,সা,গু এর বর্গের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দাও। 

ক. ভগ্নাংশের লঘিষ্টকরণ: কোনো বীজগাণিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে ভগ্নাংশটির লব ও হরে গ,সা,গু দিয়ে লব ও হরকে ভাগ করলে লব ও হরের ভাগফল দ্বারা গঠিত নতুন ভগ্নাংশটিই হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লঘিষ্টরুপ।

 যেমন: `(a^3 b^2 - a^2b^3)/(a^3b - ab^3)`

       ` = (a^2b^2(a - b))/(ab(a^2 - b^2))`

        `= (a^2b^2 (a - b))/(ab (a + b) (a - b))`

        `= (ab)/(a + b)`


   খ. ভগ্নাংশের হরগুলো হলো নিম্নরুপ

       `a^2 - b^2 - c^2 - 2bc`

      `b^ - c^2 - a^2 - 2ca, c^2 - a^2 - b^2 - 2ab`

      ১ম রাশি `a^2 - b^2 - c^2 - 2bc`

             `= a^2 - (b^2 + c^2 + 2bc)`

            `= a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)`

           `= a^2 - (b + c)^2`

           `= (a + b + c) (a - b - c)` 

    ২য় রাশি `b^2 - c^2 - a^2 - 2ca`

             `= b^2 - (c^2 + a^2 + 2ca)`

             `= b^2 - (c^2 + 2ca + a^2)`

             `= b^2 - (c + a)^2`

             `= (b + c + a) (b - c - a)`

             `= (a + b + c) (b - c - a)`

    ৩য় রাশি `c^2 - a^2 - b^2 - 2ab`

             `= c^2 - (a^2 + b^2 + 2ab)`

             `= c^2 - (a^2 + 2ab + b^2)`

             `= c^2 - (a + b)^2`

             `= (c + a + b) (c - a - b)`

             `= (a + b + c) (c - a - b)`

       ১ম রাশি, ২য় রাশি, ও ৩য় রাশির সাধারণ উৎপাদক (a + b + c)

        :. হরগুলোর গ,সা,গু = (a + b + c)

Question:`1/(x + 2y), 1/(x - 2y), (2x)/(x^2 - 4y^2)` এবং `(16xy^2)/(x^4 - 16y^4)` চারটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।

 ক. ১ম ও ২য় ভগ্নাংশ যোগ কর।

 খ. ১ম তিনটি ভগ্নাংশের সমষ্টি থেকে ৪র্থ ভগ্নাংশ বিয়োগ কর।

 গ. ১ম তিনটি ভগ্নাংশকে সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত কর। 

ক. নির্ণেয় যোগফল 

       `= 1/(x + 2y) + 1/(x - 2y)`

       `= (x - 2y + x + 2y)/((x + 2y) (x - 2y))`

       `= (2x)/((x)^2 - (2y^2))`

       `= (2x)/(x^2 - 4y^2)`

        উত্তর: `(2x)/(x^2 - 4y^2)`

                     
 খ. `1/(x + 2y) + 1/(x - 2y) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/(x^4 - 16y^4)`

     `= (x - 2y + x + 2y)/((x + 2y) (x - 2y)) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2)^2 - (4y^2)^2`

    ` = (2x)/(x^2 - 4y^2) + (2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2))`

     `= (2x + 2x)/(x^2 - 4y^2) - (16xy^2)/((x^2 - 4y^2) (x^2 + 4y^2))`

     `= (4x(x^2 + 4y^2) - 16xy^2)/((x^2 - 4y^2) (x^2 + 4y^2))`

    ` = (4x^3 + 16xy^2 - 16xy^2)/(x^4 - 16y^4) `

    ` = (4x^3)/(x^4 - 16y^4)`

         উত্তর: `(4x^3)/(x^4 - 16y^4)`


 গ. `1/(x + 2y), 1/(x - 2y), (2x)/(x^2 - 4y^2)`

    ১ম ভগ্নাংশের হর `= x + 2y`

    ২য় ভগ্নাংশের হর `= x - 2y`

    ৩য় ভগ্নাংশের হর`= x^2 - 4y^2`

                     `= x^2 - (2y)^2`

                     `= (x + 2y) (x - 2y)`

    প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর

     `(x + 2y) (x - 2y) (x^2 - 4y^2)`

    এর ল,সা,গু `= (x + 2y) (x - 2y)`

     হরগুলোর ল,সা,গু/প্রথম ভগ্নাংশের হর

         `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x + 2y)`

        `= x - 2y`

    `:. 1/(x + 2y) = (1 xx (x - 2y))/((x + 2y) (x - 2y)) `

                        `= (x - 2y)/(x^2 - 4y^2)`

        হরগুলোর ল,সা,গু/দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর,

               `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x - 2y)`

                 = x + 2y

     `:. 1/(x - 2y) = (1 xx (x + 2y))/((x - 2y) (x + 2y))`

                       `= (x + 2y)/(x^2 - 4y^2)`

         এবং হরগুলোর ল,সা,গু/তৃতীয় ভগ্নাংশের হর

         `= ((x + 2y) (x - 2y))/(x^2 - 4y^2)`

               `= (x^2 - 4y^2)/(x^2 - 4y^2) = 1`

            `:. (2x)/(x^2 - 4y^2) = (2x xx 1)/(x^2 - 4y^2)`

          :. নির্ণেয় সাধারণ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো

        `(x - 2y)/(x^2 - 4y^2), (x + 2y)/(x^2 - 4y^2) (2x)/(x^2 - 4y^2)`

Question:`1/(x - y), x/(x^2 + xy + y^2), y^2/(x^3 - y^3)`তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।

 ক. ভগ্নাংশ তিনটির হরের ল,সা,গু নির্ণয় কর।

 খ. ভগ্নাংশগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।

 গ. প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক. ১ম ভগ্নাংশের হর = x - y

    ২য় ভগ্নাংশের হর = `x^2 + xy + y^2`

    ৩য় ভগ্নাংশের হর = `x^3 - y^3`

                       = `(x - y) (x^2 + xy + y^2)`

       :. হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2)`

                              `= x^3 - y^3`


     খ. এখানে, ১ম রাশি` = 1/(x - y)`

           ২য় রাশি `= x/(x^2 + xy + y^2)`

           ৩য় রাশি` = y^3/(x^3 - y^3) = y^2/((x - y) (x^2 + xy + y^2)`

     হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3`

     সুতরাং `1/(x - y), x/(x^2 + xy + y^2), y^2/(x^3 - y^3)` এর যোগফল

     `= 1/(x - y) + x/(x^2 + xy + y^2) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2)/((x - y)(x^2 + xy + y^2)) + (x(x - y))/((x - y)(x^2 + xy + y^2)) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3) + (x^2 - xy)/(x^3 - y^3) + y^2/(x^3 - y^3)`

    `= (x^2 + xy + y^2 + x^2 - xy + y^2)/(x^3 - y^3)`

      `= (2(x^2 + y^2))/(x^3 - y^3)`

    নির্ণেয় যোগফল `= (2(x^2 + y^2))/(x^3 - y^3)`

   
  গ. ১ম ভগ্নাংশ` = 1/(x - y)`

      ২য় ভগ্নাংশ` = x/(x^2 + xy + y^2)`

      ৩য় ভগ্নাংশ` = y^2/(x^3 - y^3)`

      ‘ক’ থেকে পাই,

     হরগুলোর ল,সা,গু `= (x - y) (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3`

     এখানে, `(x - y) (x^2 + xy + y^2) -: (x - y) = x^2 + xy + y^2`

          `:. 1/(x - y) = (x (x^2 + xy + y^2))/((x - y) xx (x^2 + xy + y^2)) = (x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3)`

      আবার,

            `(x - y) (x^2 + xy + y^2) -: (x^2 + xy + y^2) = x - y`

            `:. x/(x^2 + xy + y^2) = (x xx (x - y))/(x^2 + xy + y^2) xx (x - y)) = (x(x - y))/(x^3 - y^3)`

      আবার,

          `(x^3 - y^3) -: (x^3 - y^3) = 1`

        `:. y^2/(x^3 - y^3) = (y^2 xx 1)/((x^3 - y^3) xx 1) = y^2/(x^3 - y^3)`

     :. নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো: 

      `(x^2 + xy + y^2)/(x^3 - y^3), (x (x - y))/(x^3 - y^3), y^2/(x^3 - y^3)`

Question:`1/(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab), 1/(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc),1/(c^2 + a^2 - b^2 + 2ca)` তিনটি বীজগাণিতীয় রাশি।

 ক. ৩য় রাশির হরকে উৎপাদক বিশ্লেষণ কর।

 খ. ভগ্নাংশ তিনটি যোগ কর।

 গ. ভগ্নাংশ হরগুলোর ল,সা,গু নির্ণয় কর। 

ক. ৩য় রাশির হর `= c^2 + a^2 - b^2 + 2ca`

                   `= c^2 + 2ca + a^2 - b^2`

                   `= (c + a)^2 - b^2`

                   `= (c + a + b) (c + a - b)`  (Ans)

  খ. `1/(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab) + 1/(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)`

                                        ` + 1/(c^2 + a^2 - b^2 + 2ca)`

`= 1/((a^2 + 2ab + b^2) - c^2) + 1/((b^2 + 2bc + c^2) - a^2) `

                                             `+ 1/((c^2 + 2ca + a^2) - b^2)`

`= 1/((a + b)^2 - c^2) + 1/((b + c)^2 - a^2) + 1/((c + a)^2 - b^2)`

`= 1/((a + b + c) (a + b - c)) + 1/((b + c + a)(b + c - a)) + 1/((c + a + b) (c + a - b))`

 = `((b + c - a)(c + a - b) + (a + b - c)(c + a - b) + (a + b - c)(b + c - a))/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

এখন লব `bc + ab - b^2 + c^2 + ca - bc - ca - a^2 + ab + ca + a^2 - ab + bc + ab - b^2`

            `- c^2 - ca + bc + ab + ca - a^2 + b^2 + bc - ab - bc - c^2 + ca`

        `= 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2`

  :. প্রদত্ত রাশি `= (2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

    উত্তর: ` (2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2)/((a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b))`

 
  গ. ১ম রাশির হর` = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab`

                     `= a^2 + 2ab + b^2 - c^2`

                     `= (a + b)^2 - c^2`

                     `=  (a + b + c) (a + b - c)`

     ২য় রাশির হর `= b^2 + c^2 - a^2 + 2bc`

                    `= b^2 + 2bc + c^2 - a^2`

                     `= (b + c)^2 - a^2`

                     `= (b + c + a)(b + c - a)`

                       = (a + b + c) (b + c - a)

 ’ক’ থেকে পাই, ৩য় রাশির হর = (a + b + c) (c + a - b)

  :. হরগুলোর গ,সা,গু = (a + b + c)