Question:` abx^2 + acx^3 + adx^4, xa^2 - 144b^2 ``x^2 - 2xy - 4y - 4` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. প্রথম রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। 

  খ. দ্বিতীয় রাশর মান k(a + 12b) হলে k এর মান নির্ণয় কর।

  গ. তৃতীয় রাশিটিকে দুইটি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ কর। 

ক. `abx^2 + acx^3 + adx^4`

   `= ax^2 (b + cx + dx^2)`  (Ans)


  খ. প্রশ্নমতে, `xa^2 - 144xb^2 = k(a + 12b)`

      বা,  `k(a + 12b) = xa^2 - 144xb^2`

      বা, `k(a + 12b) = x{a^2 - (12b)^2}`

      বা, `k(a + 12b) = x(a + 12b) (a - 12b)`

      `:. k = x(a - 12b)` (Ans)


 গ.প্রদত্ত তৃতীয় রাশি,

   `x^2 - 2xy - 4y - 4`

   `= x^2 - 2^2 - 2y (x + 2)`

   `= (x + 2) (x - 2) - 2y(x + 2)`

   `= (x + 2) (x - 2y - 2)`   (Ans)

Question:`2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4; c^2 + b^2 - a^2 + 2bc` দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. ২য় রাশিটিকে উৎপাদককে বিশ্লেষণ কর।

  খ. ১ম রাশিটিকে ২টি রাশির বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ কর।

  গ. দেখাও যে, প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক (a + b + c) 

ক. দ্বিতীয় রাশি, 

     `= c^2 + b^2 - a^2 + 2bc`

     `= b^2 + 2bc + c^2 - a^2`

     `= (b + c)^2 - a^2   [:. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2]`

     `= (b + c + a) (b + c - a)`

  :. নির্ণেয় উৎপাদক `= (b + c + a) (b + c - a)` (Ans)


 খ. প্রথম রাশি
  ` = 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

   `= 4b^2 c^2 - 2b^2c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

  ` = 4b^2 c^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2 c^2 - 2c^2 a^2 - 2a^2 b^2)`

   `= 4b^2 c^2 - {(b^2)^2 + (c^2)^2 + (-a^2)^2 + 2.b^2.c^2`

                                   `+ 2.c^2. (- a^2) + 2(- a^2) .b^2}`

    `= (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2`

   :. প্রথম রাশিকে ২টি রাশির বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ করে পাই,

     `(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2` (Ans)

  গ. ‘ক’ অংশ হতে প্রাপ্ত দ্বিতীয় রাশির উৎপাদকগুলো হলো

    `(a + b + c) (b + c - a)`

  প্রদত্ত রাশি,  
      `= 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

      `= 4b^2 c^2 - 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

      `= 4b^2 c^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2 c^2 - 2c^2 a^2 - 2a^2 b^2)`

      `= 4b^2 c^2 - {(b^2)^2 + (c^2)^2 + (-a^2)^2 + 2.b^2.c^2 + 2c^2. (- a^2) + 2.(- a^2). b^2}`

      `= (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2`

     ` = (2bc - b^2 - c^2 + a^2) (2bc + b^2 + c^2 - a^2)`

      `= {a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)} {(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}`

      `= {a^2 - (b - c)^2} {(b + c)^2 - a^2}`

      `= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)`

  :. নির্ণেয় উৎপাদক `= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)`

  :. ১ম রাশির উৎপাদক = (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (b + c - a)

  :. ২য় রাশির উৎপাদক = (a + b + c) (b + c - a)

  :. প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক  = (a + b + c) (b + c - a)  (দেখানো হলো)

Question:`(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5), (x + 5) (x - 9) - 15`

  ক. প্রথম রাশিটিকে  2টি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ কর।
 
  খ. প্রথম রাশির সাথে - 48 যোগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

  গ. দ্বিতীয় রাশিকে উৎপাদক বিশ্লেষণ কর। 

ক. প্রথম রাশি, `= (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)`

                   `= (x^2 + 2x + 3x + 6) (x^2 + 4x + 5x + 20)`

                   `= (x^2 + 5x + 6) (x^2 + 9x + 20)`  (Ans)

 খ. প্রথম রাশির সাথে (-48) যোগ করলে

    `(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 48`

   `= (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) - 48`

   `= (x^2 + 7x + 10) (x^2 + 7x + 12) - 48`

   `= (a + 10) (a + 12) - 48  [x^2 + 7x = a` ধরে ]

   `= a^2 + 22a + 120 - 48`

   `= a^2 + 22a + 72`

   `= a^2 + 18a + 4a + 72`

   `= a(a + 18) + 4(a + 18)`

   `= (a + 18) (a + 4)`

   `= (x^2 + 7x + 18) (x^2 + 8x + 4)`  [a এর মান বসিয়ে পাই,]


  গ. `(x + 5) (x - 9) - 15`

      `= x^2 + 5x - 9x - 45 - 15`

      `= x^2 - 4x - 60`

      `= x^2 - 10x + 6x - 60`

      `= x(x - 10) + 6(x - 10)`

      `= (x - 10) (x + 6)`   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `6x^2 - 7x + 1` 

ধরি, `f(x) = 6x^2 - 7x + 1`

   `f(1) = 6.1^2 - 7.1 + 1 = 0`

   `:. (x - 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `6x^2 - 7x + 1 = 6x^2 - 6x - x + 1`

     `= 6x (x - 1) - 1 (x - 1) = (x - 1) (6x - 1)`    (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `3a^3 + 2a + 5` 

ধরি, `f(a) = 3a^3 + 2a + 5`

  তাহলে `f(- 1) = 3 (- 1)^3 + 2 (- 1) + 5`

    `= - 3 - 2 + 5 = 0`

 `:. {a - (- 1) = (a + 1). f(a)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `3a^3 + 2a + 5`

  `= 3a^3 + 3a^2 - 3a^2 - 3a + 5a + 5`

 `= 3a^2 (a + 1) - 3a (a + 1) + 5(a + 1)`

 `= (a + 1) (3a^2 - 3a + 5)`   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `x^3 - 7xy - 6y^3` 

ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়েগের উদেশ্যে x কে অনির্দেশক  বা চলক এবং y 

 কে ধ্রবক হিসেবে বিবেচনা করি।

  মনে করি, `f(x) = x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

  `:. f(-y) = (-y)^3 - 7(-y) y^2 - 6y^3`

   `= - y^3 + 7y^3 - 6y^3`

    = 0

 `:. {x - (-y)} = (x + y), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `x^3 - 7xy^2 - 6y^3`

    `= x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - 6xy^2 - 6y^3`

    `= x^2 (x + y) - xy(x + y) - 6y^2 (x + y)`

   `= (x + y) (x^2 - xy - 6y^2)`

   `= (x + y) (x^2 - 3xy + 2xy - 6y^2)`

   `= (x + y) {x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}`

   `= (x + y) (x - 3y) (x + 2y)`   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

`x^2 - 5x - 6` 

ধরি, `f(x) = x^2 - 5x - 6`

 তাহলে, `f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) - 6`

  `= 1 + 5 - 6 = 6 - 6 = 0`

`:. {x - (-1)} = (x + 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন,  `x^2 - 5x - 6`

  `= x^2 + x - 6x - 6`

 `= x(x + 1) - 6(x + 1)`

`= (x + 1) (x - 6(`   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `2x^2 - x - 3` 

ধরি, `f(x) = 2x^2 - x - 3`

 তাহলে, `f(- 1) = 2 (-1)^2 - (-1) - 3`

             = 2 + 1 - 3

             = 0

 `:. {x - (-1)} = (x + 1), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `2x^2 - x - 3`

  `= 2x^2 + 2x - 3x - 3`

  `= 2x (x + 1) - 3(x + 1)`

    = (x + 1) (2x - 3)   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `3x^2 - 7x - 6` 

ধরি, `f(x) = 3x^2 - 7x - 6`

 তাহলে, `f(3) = 3 (3)^2 - 7.3 - 6`

   `= (3 xx 9) - 21 - 6`

    = 27 - 27

    = 0

  `:. (x - 3), f(x)` এর একটি উৎপাদক।

  এখন, `3x^2 - 7x - 6`

    `= 3x^2 - 9x + 2x - 6`

    `= 3x (x - 3) + 2(x - 3)`

      = (x - 3) (3x + 2)     (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

`x^3 + 2x^3 - 5x - 6` 

ধরি, `f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6`

 তাহলে, `f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6`

         = 8 + 2.4 - 10 - 6

         = 8 + 8 - 10 - 6

         = 0

 `:. (x - 2), f(x)`  এর একটি উৎপাদক।

 এখন, `x^3 + 2x^2 - 5x - 6`

  `= x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6`

  `= x^2 (x - 2) + 4x (x - 2) + 3(x - 2)`

  `= (x - 2) (x^2 + 4x + 3)`

  `= (x - 2) (x^2 + 3x + x + 3)`

  `= (x - 2) {x (x + 3) + 1(x + 3)}`

  `= (x - 2) (x + 3) (x + 1)`

  `= (x - 2) (x + 1) (x + 3)`   (Ans)