1. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `4x^3 - 5x^2 + 5x - 1` 

    Answer
    ধরি, `f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 5x - 1`
    
     তাহলে, `f(1/4) = 4.(1/4)^3 - 5(1/4)^2 + 5 (1/4) - 1`
    
                     `= 4. 1/(64) - 5. 1/(16) + 5 . 1/4 - 1`
    
                     `= 1/(16) - 5/(16) + 5/4 - 1`
    
                     `= (1 - 5 + 20 - 16)/(16)`
    
                     `= (21 - 21)/(16)`
    
                     `= 0/(16)`
    
                       = 0
    
     `:. (x - 1/4)` অর্থাৎ (4x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
    
     এখন, `4x^3 - 5x^2 + 5x - 1`
    
      `= 4x^3 - x^2 - 4x^2 + x + 4x - 1`
    
      `= x^2 (4x - 1) - x(4x - 1) + 1(4x - 1)`
    
      `= (4x - 1) (x^2 - x + 1)`   (Ans)

    1. Report
  2. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: `18x^3 + 15x^2 - x - 2` 

    Answer
    ধরি, `f(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2`
    
     তাহলে, `f(- 1/2) = 18 (- 1/2)^3 + 15(- 1/2)^2 - (- 1/2) - 2`
    
                        `= - 18 .1/2 + 15 . 1/4 + 1/2 - 2`
    
                        `= (- 9 + 15 + 2 - 8)/4`
    
                        `= (17 - 17)/4 = 0/4 = 0`
    
       `:. {x - (- 1/2)} = (x + 1/2)`
    
       অর্থাৎ (2x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
    
     এখন,  `18x^3 + 15x^2 - x - 2`
    
       `= 18x^3 + 9x^2 + 6x^2 + 3x - 4x - 2`
    
       `= 9x^2 (2x + 1) + 3x (2x + 1) - 2(2x + 1)`
    
       `= (2x + 1) (9x^2 + 3x - 2)`
    
       `= (2x + 1) (9x^2 + 6x - 3x - 2)`
    
       `= (2x + 1) {3x (3x + 2) - 1(3x + 2)}`
    
       `= (2x + 1) (3x + 2) (3x - 1)`      (Ans)

    1. Report
  3. Question:` x^3 - 21x - 20, x^3 + 6x^2 + 11x + 6` ক. (x + 5) দ্বারা প্রথম রাশিটি নিঃশেষে বিভাজ্য কী না? খ. রাশি দুইটির একটি সাধারণ উৎপাদক বের কর। গ. ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে রাশি দুইটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। 

    Answer
    ক. ধরি, `f(x) = x^3 - 21x - 20`
    
      f(x), (x + 5) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে f(- 5) = 0 হবে।
    
      এখন, `f(- 5) = (-5)^3 - 21 (- 5) = 0`
    
                    `= - 125 + 105 - 20`
    
                   `= - 145 + 105`
          
                     = - 40
    
         যেহেতু  `f(- 5) != 0`
    
         :. (x + 5) দ্বারা প্রথম রাশিটি নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
    
    
     খ. ধরি, `f(x) = x^3 - 21x - 20`
    
        এবং `g(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6`
    
        এখন, f(-1) = (-1)^3 - 21 (-1) - 20`
    
                      = - 1 + 21 - 20`
    
                      = 0 
    
         :. (x + 1), f(x)  এর একটি উৎপাদক। 
    
        আবার, `g(-1) = (-1)^3 + 6 (-1)^2 + 11 (-1) + 6` 
    
                         `= - 1 + 6 - 11 + 6` 
    
                          = 0 
    
       :. (x + 1), g(x) এর একটি উৎপাদক। 
    
       :. (x + 1), f(x) g(x)  এর একটি সাধারণ উৎপাদক।  (Ans)
    
        
     গ. ’খ’ হতে যেহেতু (x + 1) উভয় রাশির উৎপাদক।
    
       প্রথম রাশি ` x^3 - 21x - 20`
    
           `= x^3 + x^2 - x^2 - x - 20x - 20` 
    
           `= x^2 (x + 1) - x (x + 1) - 20 (x + 1)`
    
           `= (x + 1) (x^2 - x - 20)`
    
           `= (x + 1) (x^2 - 5x + 4x - 20)`
    
           `= (x + 1) {x (x - 5) + 4(x - 5)}`
    
           `= (x + 1) (x - 5) (x + 4)`  (Ans) 
    
      এবং ২য় রাশি `x^3 + 6x^2 + 11x + 6`
    
           `= x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6`
    
           `= x^2 (x + 1) + 5x (x + 1) + 6 (x + 1)`
    
           `= (x + 1) (x^2 + 5x + 6)`
    
           `= (x + 1) (x^2 + 3x + 2x + 6)`
    
           `= (x + 1) {x (x + 3) + 2(x + 3)}`
    
           `= (x + 1) (x + 2) (x + 3)`     (Ans)

    1. Report
  4. Question:`f(x) = 12 + 4x - 3x^2 - x^3` এবং `g(x) = 2x^4 - 3x^3 - 3x - 2` ক. f(-1) g(1) নির্ণয় কর। খ. ভাগশেষ উৎপাদকের সাহায্যে দেখাও যে, (x + 2) (x - 2) উভয়ই f(x) এর উৎপাদক। গ. g(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে, 
    
      `f(x) = 12 + 4x - 3x^2 - x^3`
    
      `:. f(-1) = 12 + 4(-1) - 3(-1)^2 - (-1)^3`
    
                  = 12 - 4 - 3 + 1
    
                 = 13 - 7 
    
                 = 6    (Ans)

    1. Report
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd