Question:`1+3+5+7+..........+125` যেকোনো ধারা । ক. ধারাটির প্রকৃতি কিরুপ ? খ. ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর । গ. দেখাও যে, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি, `169+171+173+........+209` ধারাটির সমষ্টির সমান ।
Answer
ক. এথনে ধারাটির যে কোন পদ - পুর্ববতী পদ `= (3-1)` বা `(5-3) = 2` শেষ পদ বিদ্যমান । `:.`ধারাটি একটি সসীম সমান্তর ধারা । Ansখ. এথনে ধারাটির ১ম পদ, `a=1` এবং সাধারন অন্তর, `d=2` মনে করি ধারাটির `n` তম পদ `=125` অর্থাৎ, `a+(n-1)d=125` বা, `a+(n-1) xx 2=125` বা, `1+2n-2=125` বা, `- 1+2n=125` বা, `2n=125+1` বা, `2n=126` `:. n=63` `:.` ধারাটির সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}` `=63/2{2 xx 1+(63-1) xx 2}=63/2(2+63 xx 2)` `=63/2(2+124)=63/2 xx 126` `=63 xx 63= 3969` `:.` ধারাটির সমষ্টি `=3969`Ansগ. ‘খ’ হতে পাই, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n =3969` এখানে ধারাটির যেকোন পদ - পূর্ববতী পদ `=(171-169) বা (173-171)=2` `:.` ধারাটি একটি সমান্তর ধারা । ধারাটির প্রথম পদ `a =169` এবং সাধারন অন্তর `d=2` মনেকরি ধারাটির `n` তম পদ` =209` অথ্যৎ `a+(n-1)d =209` বা, `169+(n-1) xx 2=209` বা, `169+2n-2=209` বা , `2n=209-167` বা, `2n=42` বা, `n=42/2` `:. n=21` `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}` `=21/2{2 xx 169+(21-1) xx 2}` `=21/2{338+20 xx 2}` `=21/2{338+40}` `=21/2 xx 378` `=21 xx 189` `=3969` `:.` প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n=` শেষোক্ত ধারাটির সমষ্টি `s_n = 3969` (দেখানো হলো)