Question:কোন সমান্তর ধারার `p`তম `q` তম ও `r` তম পদ যথাক্রমে `a,b,c` হলে, দেখাও যে, `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` 

সমান্তর ধারার প্রথম পদ`=x`

 সাধারন অন্তর `=d`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম `n` তম পদ =১ম পদ `+(n-1)d`

`:.` সমান্তর ধারার `p` তম পদ `=x+(p-1)d=a...........(i)`
   
 `q` তম পদ `=x+(q-1)d=b..............(ii)`

  এবং` r` তম পদ `=x+(r-1)d=c..............(iii)`

  বামপক্ষ
   `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

  `={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+

  {x+(r-1)d}(p-q)`[`a,b,c` এর মান বসিয়ে]

  `=x(q-r)+d(p-1)(q-r)+x(r-p)+d(q-1)(r-p)+`
              `x(p-q)+d(r-1)(p-q)`

 `=x(q-r+r-p+p-q)+d(pq-pr-q+r+qr-pq-r`
                  `+p+pr-qr-p+q)`

 `=x xx 0+d xx 0`

 `=0+0=0`

  =ডানপক্ষ

 `:. a(q-r)+b(r-p)+c(p-a)=0`(দেখানো হলো)

Question:দেখাও যে,`1+3+5+7+.................+125`
`=169+171+173+...............+209.` 

বামপক্ষ`=1+3+5+7+.................+125`
    
 এখানে ধারাটির প্রথম পদ, `a=1`
    
 ধারাটির  সাধারন অন্তর,`d=3-1=2`

 `:.`ইহা একটি সমান্তর ধারা ।
 
  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=125`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
 
  বা,`125=1+(n-1)2`
  
 বা,`125=1+2n-2`
  
 বা,`125=2n-1`
  
 বা,`2n = 125+1`
  
 বা,`2n = 126`
  
 বা,`n =126/2`

 `:. n = 63`

 সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,`s_n = n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_63 = 63/2{2.1+(63-1)2}`

 `= 63/2(2+62 xx 2)`

 `= 63/2(2+124)`

 `= 63/2 xx 126`

 `= 63 xx 63 =3969.`

  আবার ডানপক্ষ =`169+171+173+.......................+209`
  
 এখানে, ধারাটির প্রথম পদ`a=169`
  
 ধারাটির সাধারন অন্তর`d=171-169=2`

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা

  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=209`
 
  আমরা জানি,
 
  সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
  
  বা,`209=169+(n-1)2`
 
  বা,`209=169+2n-2`
 
  বা,`209=2n+167`
  
  বা,`2n=209-167`
 
  বা,`2n=42`
  
  বা,`n=42/2`

 `:. n=21`

 `:.` সমান্তর ধারার প্রথম `21` পদের সমষ্টি,

 `s_21 =21/2{2.169+(21-1)2}`

 `=21/2(338+20 xx 2)=21/2(338+40)`

 `=21/2 xx 378`

 `=21 xx 189=3969`

 `:. 1+3+5+7+...................+125`

 `=169+171+173+....................+209` (দেখানো হলো)

Question:এক ব্যক্তি `2500` টাকার একটি ঋন কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন । প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে `2` টাকা বেশি । যদি প্রথম কিস্তি `1` টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋন শোধ করতে পারবেন ? 

মনেকরি, ঐ ব্যক্তি `n` টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করেন ।

 ধরি, প্রথম কিস্তি হবে,`a=1`

 দ্বিতীয় কিস্তি হবে,`a_1 =(1+2)`বা `3` টাকা

 তৃতীয় কিস্তি হবে,`a_2=(3+2)` বা `5` টাকা
 .............................................
 ...........................................
  
 কিস্তির ধারা হবে`1+3+5+...............`

 তাহলে ধারাটির প্রথম পদ,`a=1`

 `:.` এটি একটি সমান্তর ধারা । সাধারন অন্তর,` d=3-1=2` টাকা

  কিস্তিগুলোর সমষ্টি`s_n =2500`টাকা
 
 আমরা জানি,`s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
  
 বা,`2500=n/2{2.1+(n-1)2}`
  
 বা,`2500=n/2(2+2n-2)`
  
 বা,`2500=n/2 .2n`  বা,`2500 =n^2`
  
 বা,`n = !=sqrt2500`[বর্গমূল করে]
  
 বা,`n =50`[(-) ‍চিহ্ন বর্জন করে; যেহেতু কিস্তি সংখ্যা ধনাত্বক]

 `:. n= 50`

 `:. 50`টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করবে ।

 `:. 50`টি ।

 Ans:`50`

Question:`2012` সালের জানুয়ারী মাসে একজন সরকারি চাকুরিজীবী `8000` টাকা বেতন পান । প্রতি বছর মাসিক বেতন `300` টাকা করে বৃদ্ধি পায় ।

 ক. তার মাসিক বেতন একটি সমান্তর ধারায় প্রকাশ কর ।

 খ. `2017` সালের জানুয়ারী মাসে তার মূলবেতন কত হবে নির্ণয় কর ।

 গ. মূলবেতন থেকে প্রতি মাসে `10%` হারে  ভবিষ্যৎ তহবিলে কর্তন করলে `20` বছরে ভবিষ্যৎ তহবিল মোট কর্তনের
 পরিমান নির্ণয় কর । 

ক. দেওয়া আছে ,
 
 মুলবেতন,` a=8000` টাকা 
 
 বাৎসরিক বেতন বৃদ্দি, `d=300` টাকা 
 
 ২য় বছরে বেতন =`(a+d)` 
  
 =`(8000+300)` টাকা 
  
 =`8300` টাকা 
 
 ৩য় বছরে বেতন   =`(a+2d)`
  
 =`(8000+2 xx  300)` টাকা 
  
 =`8600` টাকা 

 `:.` সমান্তর ধারাটি, `8000+8300+8600+.......` খ. পদ সংখ্যা, `n=6`
 
 আমরা জানি,` n`-তম পদ `=a+(n-1)d`

 `:.`  `6` তম পদ `=a+(6-1)d`
             
 `=8000+5  xx  300`  [’ক’ করে]
            
 ` =9500`

 `:.` `2017` সালের জানুয়ারী মাসে তার মূল বেতন হবে `=9500` টাকা । গ. `2012` সালে তার মোট বেতন  `=(8000  xx  12) =96000` টাকা

 `2013`  ’’     ’’     ’’    ’’   `=(8300  xx  12) =99600`  টাকা

 `2014`  ’’     ’’    ’’   ’’     `=(8600  xx  12) =103200`  টাকা

 তাহলে বৎসরভিত্তিক ধারাটি দাড়ায়  ,

`96000+99600+103200+............`

 যা একটি সমান্তর ধারা ।

 প্রথম পদ `a=96000` টাকা

  সাধারন অন্তর,`d=99600-9600=3600` টাকা এবং পদসংখ্যা,

  `n=20`
 
 আমরা জানি
   `s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
        
   =`20/2{2 xx 96000+(20-1) xx 3600}`
        
   =`10(192000+68400)`
        
   =`10 xx 260400`
        
   =`2604000`

 `20`  বছরে তার মোট বেতন হবে `=2604000` টাকা   

  তার সঞ্চয় তহবিলে বাৎসরিক জমার পরিমান `10%`
   
 মোট কর্তনের পরিমান `=2604000` এর  `10%`
    
 `=2604000`  এর`10/100`
     
 `=260400` টাকা ।

Question:একটি সমান্তর ধারার প্র্রথম `m` সংখ্যক পদের সমষ্টি `m(m+3)`.

 ক. প্রথম পদ কত ?

 খ. ‍ধারাটি নির্নয় কর ।

 গ.ধারাটির `(x+1)` পদের সমষ্টি `304` হলে `x` এর মান নির্নয় কর । 

ক. দেওয়া আছে,

 সমান্তর ধরার প্রথম  `m` সংখ্যক পদের সমষ্টি.

 `s_m =m(m+3)`
         
  `=m^2+3m`
           
  `m=1` হলে, `s_1=1^2+3 xx 1`
                             
                     `=1+3=4`

 `:.` ধারাটির প্রথম পদ `=4`(Ans.)খ. ‍

   ’ক’ থেকে,

 `s_m =m^2+3m`

 `m=1`হলে `s_1=1^2+3 xx 1=1+3=4`

 `m=2`হলে `s_2=2^2+3 xx 2=4+6=10`

 `m=3` হলে `s_3=3^3+3 xx 3=9+9=18`

 `m=4` হলে `s_4=4^2+3 xx 4=16+12=28`

 ` m=5` হলে `s_5=5^2+3 xx 5=25+15=40`

 ধারাটির প্রথম পদ `=4`
 
 দিত্বীয় পদ `=s_2-s_1=10-4=6`
 
 তৃতীয় পদ `=s_3-s_2=18-10=8`

 চতুর্থ পদ `=s_4-s_3=28-18=10`

 পঞ্চম পদ `=s_5-s_4`
         
    ` =40-28=12`

`:.` ধারাটি `4+6+8+10+12+..............`(Ans.)গ. ’খ’ থেকে প্রাপ্ত ধারাটি,
    
 4+6+8+10+12+..............

 প্রথম ধারা`a=4`

 সাধারন অন্তর `d=6-4=2`

 সমান্তর ধারার `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `=n/2{2a+(n-1)d}`

 `(x+1)` সংখ্যক পদের সমষ্টি 

 `=(x+1)/2{2a+(x+1-1)d}`
               
`=(x+1)/2(2a+xd)`
                
 `=(x+1)/2(2 xx 4+x xx 2)`
                 
 `=(x+1)/2(8+2x)`
                  
 `=(x+1)/2 xx 2(x+4)`
                  
 `=(x+1)(x+4)`
                  
 `=x^2+4x+x+4`
                  
 `=x^2+5x+4`

 প্রশ্নমতে,

 `x^2+5x+4=304`
 
  বা,`x^2+5x+4-304=0`
 
  বা,`x^2+5x-300=0`
  
 বা,`x^2+20x-15x-300=0`
  
 বা,`x(x+20)-15(x+20)=0`

 `:. (x+20)(x-15)=0`
  
 হয়,`x+20=0`       অথবা,`x-15=0`
  
 বা,`x=-20`               `:. x=15`
 
 কিন্তু পদসংখ্যা ঋনাত্বক হতে পারে না । অর্থাৎ `x != -20`

 `:. x=15`(Ans.)

Question:নিচের তিনটি অনুক্রমের সাধারণ পদ দেওয়া হলো :

 `n/1 ,(-1)^(n+1)n/(n+1),(n-1)/(n+1).`

 ক. দ্বিতীয় অনুক্রমের সপ্তম পদ ‍লিখ । খ. দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুক্রম দুইটি লিখ ।

 গ. প্রথম ও  তৃতীয় অনুক্রমের সাধারন পদ যোগ করলে যে নতুন একটি অনুক্রম পাওয়া যায় সেটির প্রথম তিন পদের যোগফল বের কর । 

ক. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`=(-1)^(n+1)n/(n+1)`

`:.` দ্বিতীয় অনুক্রমের সপ্তম পদ`=(-1)^(7+1)7/(7+1)`

   `=(-1) 8 7/8=7/8`Ansখ. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(-1)^(n+1)n/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(-1)^(1+1)1/(1+1)`

 `=(-1)^2 1/2=1/2`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

 `=(-1)^(2+1)2/(2+1)`

 `=(-1)^3 2/3=-2/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `=(-1)^(3+1)3/(3+1)`

 `=(-1)^4 2/4=-2/4`

 `:.` অনুক্রমটি হলো `1/2, -2/3,3/4,..........`Ans তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(n-1)/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(1-1)/(1+1)=0/2=0`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

  `=(2-1)/(2+1)=1/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

  `=(3-1)/(3+1)=2/4`

 `:.`  অনুক্রমটি হলো `0,1/3,2/4,..........`Ansগ. প্রথম ও তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ 
  
 পদের যোগফল `=1/n+(n-1)/(n+1)`
   
 `=(n+1+n(n-1))/(n(n+1))`
   
 `=(n+1+n^2-n)/(n^2+n)`

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `:.` নতুন  অনুক্রমের সাধারণ পদ 

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `n=1` হলে, নতুন অনুক্রমের প্রথম পদ      

 `=(1^2+1)/(1^2+1)=2/2=1`

 `n=2`হলে,নতুন অনুক্রমের ২য় পদ  

  `(2^2+1)/(2^2+2)=(4+1)/(4+2)=5/6`

 `n=3` হলে, নতুন অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `(3^2+1)/(3^2+3)=(9+1)/12=10/12=5/6`

  `:.` নতুন অনুক্রমটির প্রথম তিন পদের যোগফল 

  `=1+5/6+5/6=(6+5+5)/6`
         
 `=16/6=8/3`Ans

Question:`8+11+14+17+.............`

 ক. ধারাটির `n` তম পদ বের কর ।

 খ. ধারাটির প্রথম `10`টি পদের সমষ্টি বের কর ।

 গ. খ হতে প্রাপ্ত সমষ্টিকে ১ম পদ এবং সাধারন অন্তর `9` ধরে নতুন ধারা এবং তার ৭ম পদ বের কর । 

ক. ধারাটির প্রথম পদ`a=8`

 সাধারন অন্তর `d=11-8=3`হলে,

 আমরা জানি, n তম পদ `=a+(n-1)d`

 `=8+(n-1)3`

 `=8+3n-3`

 `=5+3n`Ans.খ. ’ক’ থেকে পাই, ১ম পদ  `a=8`, সাধারন অন্তর `d=3`

 এখানে পদসংখ্যা `n=10`
  
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম  `n`সংখ্যক পদের সমষ্টি

 `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
 
 তাহলে,প্রথম`10` টি পদের সমষ্টি,

 `s_10=10/2{2.8+(10-1)3}`

 `=5{16+9 xx 3}`

 `=5(16+27)`

 `=5 xx 43`

 `=215`Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই, ১ম পদ`a=215`

 এখন সাধারন অন্তর `d=9` হলে নতুন ধারাটি হলো

 `215+224+233+..........`
  
 আমরা জানি ,

 সমান্তর ধারার `n-`তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `:.` ধারাটির ৭ম পদ বের করার জন্য `n=7` বসিয়ে পাই,

 ধারাটির  ৭ম পদ`=215+(7-1)9`

 `=215+6 xx 9`

 `=215+54`

 `=269`Ans.

Question:`29+25+21+.........-23-.....`

 ক. ধারাটির `n` তম পদ কত?

 খ. ধারাটির  `n`তম পদ `-23` হলে,  `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি কত ?

 গ. `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি বের কর । 

ক. ধারাটির প্রথম পদ `A=29`  সাধারন অন্তর, `D=25-29= -4` হলে,
 
 ধারাটির `n` তম পদ  `=a+(n-1)d`

 `=29+(n-1)(-4)`

 `=29-4n+4`

 `=33-4n`

 ক থেকে পাই `n` তম পদ   `=33-4n`

 এখানে `n` তম পদ `-23` হলে, `33-4n=-23`
  
 বা,`-4n=-23-33`
  
 বা,`-4n=-56`
 
 বা,`-n=-14`

 `:.`  `n=14`

 আবার প্রথম `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.`  প্রথম `14`টি  পদের সমষ্টি `s_14=14/2{2 xx 29+(14-1)(-4)}`

 `=7{58+13(-4)}`

 `=7(58-52)`

 `=7 xx 6`

 `=42` Ans.গ. ’খ’ থেকে পাই `n=14`

 `:.`ধারাটির `2n` সংখ্যক পদের সমষ্টি,

 `s_(2n) =(2n)/2{2a+(2n-1)d}`

  অতএব, `s_28=28/2{2 xx 29+(28-1)(-4)}`

 `=14{58+27(-4)}`

 `=14{58-108}`

 `=14(-50)`

 `=-700` Ans.

Question:একটি সমান্তর ধারার প্রথম `8`টি পদের সমষ্টি `56` এবং প্রথম  `20`টি পদের সমষ্টি `260` ।

 ক. উপরিউক্ত তথ্যের আলোকে দুইটি সমীকরন গঠন কর ।

 [/b]খ.[/b]  ধারাটির প্রথম পদ এবং সাধারন অন্তর বের কর ।

 [/b]গ.[/b]  ধারাটি নির্নয় কর এবং প্রথম  `30` পদের  সমষ্টি নির্ণয় কর । 

ক. মনেকরি,সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ`=a`

 এবং সাধারন অন্তর`=d`

  এখন প্রথম  `n` পদের  সমষ্টি,`s_n=n/2{2a+(n-1)d}`

 `:.``s_8=8/2{2a+(8-1)d}=4(2a+7d)`
 
 এবং`s_20=20/2{2a+(20-1)d}=10(2a+19d)`

 `:.`প্রশ্নমতে,  `4(2a+7d)=56`
 
  বা, `2a+7d=14...........(i)`

 এবং`10(2a+19d)=260`
  
  বা,`2a+19d=26...........(ii)`


 [/b]খ.[/b]
  
 ক. থেকে পাই,

 `2a+7d=14............(i)`

 `2a+19d=26...........(ii)`
  
  (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,

  `12d=12`

  `:. d=1`

  (i) নং এ `d` এর মান বসিয়ে পাই,

 `2a+7.1=14`

  বা, `2a=14-7`
 
  বা,`a=7/2`

  `:. a=7/2`

  `:.` ধারাটির প্রথম পদ, `a=7/2`  সাধারন অন্তর `d=1` Ans.


 [/b]গ.[/b]

 কোন ধারা বের করতে হলে সাধারনত ধারাটির প্রথম তিনটি পদ বের করলেই ধারাটি প্রকাশ করা যায ।

 এখানে, প্রথম পদ`a=7/2`

  ২য় পদ `=a+d=7/2+1` [খ থেকে]
           
           `=9/2`

  ৩য় পদ  `=a+2d` [খ থেকে]
          
           `=7/2+2`
          
           `=11/2`

  `:.`ধারাটি  `7/2+9/2+11/2+.........`

  এখন, ধারাটির প্রথম   30টি পদের সমষ্টি,

  `s_30=30/2{2. 7/2+(30-1)1}`
        
        `=15(7+29)`
        
       `=15 xx 36`
        
       `=540`

Question:কোন সমান্তর ধরার প্রথম পদ `m`, সাধারণ অন্তর  ` n` এবং ` p`-তম,   `q`-তম, ও  ` r`-তম পদ যথাক্রমে,   `a,b,c `।

 ক. উপরোক্ত তথ্যগুলোকে সমীকরণ আকারে লিখ ।
 
 খ. দেখাও যে, `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0`

 গ. ধারাটির `m` ও  `n` এর মান বের করে দেখাও যে  ` m-n=(bp-aq)/(p-q)` 

ক. সমান্তর ধারার ১ম পদ `m`, সাধারণ অন্তর   `n` হলে,
   
 ধারাটির `P-`তম পদ, ` m+(p-1)n=a……(i)`
  
 ধারাটির `q -`তম পদ,  ` m+(q-1)n=b……(ii)`

 ধারাটির `r -`তম পদ, ` m+(r-1)n=c……(iii)` খ. এখানে, বামপক্ষ `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

 `= {m+(p-1)n}(q-r)+{m+(q-1)n}(r-p)`

 `+{m+(r-1)n}(p-q)`  [ক, থেকে `a,b` ও `c` এর মান বসিয়ে ]

 `= m(q-r+r-p+p-q)+n{p-1(q-r)`

 `+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}`

 `= m  xx 0+n{pq-pr-q+r+qr-pq-r`

 ` +p+rp-rp-p+q}`

 `= 0+n xx 0=0`

 `:. a (q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` (দেখানো হলো) গ. `m+(p-1)n=a………………(i)`

 `m+(q-1)n=b………………(ii)`

 `m+(r-1)n=c………………(iii)`

 `(i)` নং থেকে `(ii)` নং বিয়োগ করে পাই,

 `n(p-1-q+1)=a-b`
 
 বা ,` n=(a-b)/(p-q)`

 `:. n =(a-b)/(p-q)`
 
 (i) নং এ `n` এর মান বসিয়ে পাই,

 `m+(p-1) (a-b)/(p-q)=a`
 
 বা , `m= a - ((p-1)(a-b))/(p-q)`
  
 বা, `m=(ap-aq-ap+bp+a-b)/(p-q)`

 `:.  m =(a-b+bq-aq)/(p-q)`
  
 `:.`,` m-n = (a-b+bp-aq)/(p-q)- (a-b)/(p-q)`
    
 `=(bp-aq)/(p-q)` (দেখানো হলো)