1. Question:5+11+17+23+............+59=কত ? 

    Answer
    প্রদত্ত ধারাটি, 5+11+17+23+......+59
     
     যার প্রথম পদ,a=5
    
     এবং সাধারন অন্তর,d=11-5=6
    
     `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।
     
     মনেকরি, ধারাটির n তম পদ =59
     
     আমরা জানি, n তম পদ =a+(n-1)d
    
     `:.`a+(n-1)d=59
      
     বা, 5+(n-1)` xx` 6=59 [মান বসিয়ে]
      
     বা , 5+6n-6=59
       
     বা, 6n-1=59
       
     বা, 6n=59+1
       
     বা,6n=60
       
     বা,`n=60/6`
    
     `:.`n=10
     
     আমরা জানি সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
     
     `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
    
     `:. s_10=10/2{2 xx 5+(10-1)6}`[n.aএবং d এর মান বসিয়ে]
    
     =5(10+9 `xx` 6)
    
     =5(10+54)
    
    `=5  xx 64`
    
      =320
    
      Ans:320

    1. Report
  2. Question:29+25+21+.................-23=কত ? 

    Answer
    প্রদত্ত ধারাটি,29+25+21+..................-23 
     
     যার প্রথম পদ a=29
    
     এবং সাধারন অন্তর, d=25-29=-4
    
     `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।
     
     মনে করি,ধারাটির n তম পদ = -23
    
     আমরা জানি, n তম পদ =a+(n-1)d
    
    `:.` a+(n-1)d=-23
    
      বা , 29+(n-1) `xx`(-4)=-23[ a এবং d এর মান বসিয়ে]
     
      বা , 29-4n+4=-23
      
      বা, 33-4n=-23
      
      বা,-4n=-23-33
      
      বা,-4n=-56
      
      বা,`n=-56/-4`
    
     `:.` n=14
     
      আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল,
    
     `s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
    
     `:. s_14=14/2{2 xx 29+(14-1) xx (-4)}`[ n,  a এবং d এর মান বসিয়ে]
    
      =7{58+13 `xx` (-4)}
    
      =7{58-52}
    
      =7`xx`6
    
      =42
    
      Ans:42.

    1. Report
  3. Question:কোন সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত ? 

    Answer
    মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
     
     এবং সাধারন অন্তর =d
    
     আমরা জানি n তম পদ = a+(n-1)d
    
     `:.` 12 তম পদ  =a+(12-1)d=a+11d
      
     প্রশ্নমতে,  a+11d=77................(i)
    
     `:.` প্রথম 23 পদের সমষ্টি,
    
     `s_23= 23/2`{2a+(23-1)d}
    
     =`23/2`{2a+22d}
    
     =`23/2 xx 2` (a+11d)
    
     =23` xx `(a+11d)
    
     =23 `xx` 77   [(i) নং  থেকে a+11d=77]
    
     =1771
    
     Ans:1771.

    1. Report
  4. Question:একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত ? 

    Answer
    মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
    
     ও সাধারন অন্তর =d
    
     এবং ধারাটির 16 তম পদ =-20
      
     আমরা জানি ,
     
     n তম পদ =a+(n-1)d
    
     `:.` 16  তম পদ =a+(16-1)d
      
     বা, -20=a+15d
    
     `:.` a+15d = -20
    
      আবার, আমরা জানি,
     
      সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের 
      
      সমষ্টি, `s_n` =`n/2`{2a+(n-1)d}
    
     `:. s_31 = 31/2`{2a+(31-1)d}
       
     =`31/2`{2a+30d}
       
     =`31/2  xx `2(a+15d)
     
     =31 `xx` (-20) [`:.` a+15d = -20]
    
     = - 620
    
     Ans: - 620

    1. Report
  5. Question:9+7+5+............... ধারাটির প্রথম n পদের যোগফল -144 হলে, n এর মান নির্নয় কর । 

    Answer
    প্রদত্ত ধারাটি , 9+7+5+....
    
     যার প্রথম পদ ,a=9
    
     এবং সাধারন অন্তন, d=7-9= -2
    
     এটি একটি সমান্তন ধারা ।
     
     আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার পদসংখ্যা n হলে,
    
     n সংখ্যক পদের যোগফল, `s_n = n/2{2a+(n-1)d}`
    
     =`n/2`{2.9+(n-1)(-2)}[মান বসিয়ে]
    
     =`n/2`(18+2-2n)
    
     =`n/2`(20-2n)
    
     =n(10-n)
    
     প্রশ্নমতে, n(10-n) = -144
      
     বা, 10n - `n^2`+144=0
      
     বা, `n^2`-10n - 144 = 0 [ উভয়কে (-1) দ্বারা গুন করে]
      
     বা, `n^2`- 18n + 8n-144 = 0
      
     বা, n(n-18) + 8(n-18) = 0
     
     `:. `(n+8)(n-18) =0
     
     হয় , n+8 = 0          অথবা, n-18=0
    
     `:.`n= - 8              `:.`n=18
    
     কিন্তু,কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্বক হতে পারে না ।
    
     সুতরাং ,n= - 8 গ্রহনযোগ্য নয় ।
    
     অতএব, n এর মান 18.
    
     Ans:18.

    1. Report
  6. Question:2+4+6+8+............ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্নয় কর । 

    Answer
    প্রদত্ত ধারাটি,2+4+6+8+......
    
     যার প্রথম পদ a=2
    
     সাধারান অন্তর, d=4-2=2
    
    `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা ।
    
      মনে করি ধারাটির পদ সংখ্যা =n
    
     এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি `s_n=2550`
       
     আমরা জানি,
      
     ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল,`s_n=n/2{2a+(n-1)d}`
    
     `:.n/2`{2.2+(n-1)2} = 2550
      
      বা, `n/2(4+2n-2) = 2550`
     
      বা,`n/2(2n+2) = 2550`
      
      বা,`n/2 .2(n+1) = 2550`
      
      বা,`n^2+n = 2550`
    
      বা,`n^2+n - 2550 = 0`
     
      বা,`n^2+51n - 50n - 2550 = 0`
      
      বা,`n(n+51) - 50(n+51) = 0`
      
      বা,`(n+51)(n-50) =0`
    
     `:.``(n+51)(n-50) =0`
      
      হয়,` n+51 = 0  `         অথবা,` n-50 = 0`
    
     `:.`n = - 51         `:.` n = 50
    
      কিন্তু কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না ।
      
      সুতরাং,` n = - 51` গ্রহনযোগ্য নয় ।
    
     `:.`নির্নেয় মান :` n= 50`
    
      Ans: `50.`

    1. Report
  7. Question:কোন ধারার প্রথম ` n ` সংখ্যক পদের সমষ্টি `n (n+1)` হলে ধারাটি নির্নয় কর । 

    Answer
    দেওয়া আছে ,
    
     ধারাটির n পদের সমষ্টি`s_n=n(n+1)=n^2+n`
    
     `n=1,2,3........` ইত্যাদি বসিয়ে পাই,
    
     `s_1`= ১ম `1` পদের সমষ্টি =` 1^2`+1=1+1=2
    
     `s_2`= ১ম `2 `পদের সমষ্টি = `2^2`+2=4+2=6
    
     `s_3` = ১ম `3` পদের সমষ্টি = `3^2`+3=9+3=12 ইত্যাদি
    
     `:.` প্রথম পদ = `s_1`=`2`
     
      দ্বিতীয় পদ =`s_2` - `s_1`= 6 - 2 = 4
     
      তৃতীয় পদ = `s_3` - `s_2`= 12 - 6 = 6
     
      সুতরাং ধারাটি হলো  2+4+6+...........
    
      Ans:  ধারাটি 2+4+6+...........

    1. Report
  8. Question:কোন ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n (n + 1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত ? 

    Answer
    দেওয়া আছে,
     ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি,  `s_n`= n (n + 1) 
    `:.` ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি   `s_10` = 10(10+1)
       = 10  `xx` 11
       =110
    Ans:110

    1. Report
  9. Question:একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্নয় কর । 

    Answer
    মনে করি,সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
      
     ও সাধারন অন্তর = d
       
     দেওয়া আছে, সমান্তর ধারাটির প্রথম 12 পদের সমষ্টি,  `s_12 =144`
       
     ও ধারটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি, `s_20 =560`
    
     আমরা জানি,কোন সমান্তর ধারার প্রথম n পদের 
        
     সমষ্টি,`s_n = n/2{2a + (n -1)d}`
    
     `:.` সমান্তর ধারাটির প্রথম 12 পদের 
    
      সমষ্টি,`s_12 = 12/2 {2a + (12- 1)d}`
    
      বা, 144 = 6(2a + 11d)
     
      বা, 24 = 2a+11d
      
     `:.`  2a+11d = 24.......(i)
    
     `:.` সমান্তর ধারাটির প্রথম 20 পদের সমষ্টি,
    
     `s_20 = 20/2{2a + (20-1)d}`
     
      বা , 560 = 10(2a+19d )
     
      বা, 56 = 2a + 19d
    
     `:.` 2a+19d = 56.........(ii)
     
      (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করি,
      
      2a+19d = 56.........(ii)
      
      2a+ 11d = 24.......(i)
      (-)    (-)     (-)
      ____________________
       8d =32  [বিয়োগ করে]
     
      বা, d = 4
    
      `:.` d = 4
    
      dএর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
    
      2a+11.4 = 24
     
      বা  , 2a +44 = 24
     
      বা  ,2a=24 - 44
     
      বা, 2a = - 20
     
      বা, a = `(-20)/2`
    
     `:.` a = - 10
    
     `:.` সমান্তর ধারার প্রথম 6 পদের 
    
      সমষ্টি, `s_6 = 6/2{2(- 10)+(6 - 1)4}` [মান বসিয়ে]
            
      =3{- 20 +5.4}
             
      =3{- 20 +20}
             
      =3.0
             
      =0
    
      Ans: 0.

    1. Report
  10. Question:কোন সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি নির্নয় কর । 

    Answer
    মনেকরি,
      
     সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ =a
     
     ও সাধারন অন্তর =d
       
      দেওয়া আছে,
     
      ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি `s_m= n`
    
      এবং ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি `s_n= m`
       
      আমরা জানি,
    
      সমান্তর ধারার m পদের সমষ্টি  `s_m = m/2{2a+(m-1)d}`
    
     `:.` n =` m/2{2a+(m-1)d}`
    
       বা , `2n = 2am+m^2d -md............(i)`
    
       আবার,n পদের সমষ্টি  `s_ = n/2{2a+(n-1)d}`
    
      `:. m =n/2{2a+(n-1)d}`
    
       বা, `2m = 2an+n^2d-nd...........(ii)`
    
      (ii) নং কে m দ্বারা এবং (i)  নং কে n দ্বারা গুন করে (ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে,
    
     `2m^2 =2amn+mn^2d-mnd`
    
     `2n^2 =2amn+m^2nd-mnd`
     _________________________
     `2(m^2-n^2)=mnd(n-m)`
     
      বা ,`mnd(n-m)=2(m+n)(m-n)`
    
      বা, `d=(-2(m+n)(n-m))/((mn)(n-m))`
    
     `:. d = -(2(m+n)(n-m))/(mn(n-m))`
    
      এখন d এর মান (i) নং এ বসিয়ে,
    
     `2n=2am+m^2{-(2(m+n))/(mn)}-m{-(2(m+n))/(mn)}`
    
      বা ,`n=am-(m(m+n))/n +((m+n)/n)`
      
      বা,n=`(amn-m^2-mn+m+n)/n`
      
      বা,`n^2=amn-m^2-mn+m+n`
     
      বা,`amn=m^2+n^2+mn-m-n`
      
      বা,a=`(m^2+n^2+mn-m-n)/(mn)`
    
     `:.`a=`(m^2+n^2+mn-m-n)/(mn)`
    
     `:.`সমান্তর ধারার প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি,
    
     `s_(m+n) =( m+n)/2{2a+(m+n-1)d}`
      
      =`(m+n)/2[(2(m^2+n^2+mn-m-n))/(mn) +(m+n-1). (2(m+n))/-(mn)]`
    
      =`(m+n)/2 [(2(m^2+n^2+mn-m-n))/(mn) -(2(m+n)(m+n-1))/(mn)]`
    
      =`(m+n)/2 .2/(mn)[m^2+n^2+mn-m-n-m^2-mn+m-mn-n^2+n]`
    
      =`(m+n)/(mn)(-mn)=-(m+n)`
    
      Ans:`-(m+n).`

    1. Report
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd