Question:একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে জন 5 করে ছাত্র বসলে 2 খানা বেঞ্চ খালি থাকে । কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 8 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয় ।
 ক. মোট ছাত্রসংখ্যা x হলে উভয় ক্ষেত্রে বেঞ্চের সংখ্যা x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
 খ. শর্তানুশারে সমীকরণ গঠন করে ছাত্র সংখ্যা নির্ণয় কর ।
 গ. কিছু ছাত্র 6 টাকা এবং অন্যরা 2 টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট চাঁদার পরিমাণ ছাত্র সংখ্যার 4 গুণের সমান হয় । কতজন ছাত্র 6 টাকা এবং কতজন ছাত্র 2 টাকা করে চাঁদা দিয়েছে । 

ক.  যদি মোট ছাত্র সংখ্যা x হয়, তবে 5 জন করে ছাত্র বসতে বেঞ্চ লাগে`x/5` টি

     `:.`  বেঞ্চের সংখ্যা `=(x/5+2)` টি

   4 জন করে বসলে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, সেহেতু বেঞ্চের সংখ্যা ` = (x-8)/4` টি (Ans.)


খ.  শর্তানুসারে, 
     `x/5+2=(x-8)/4`

      বা, `(x+10)/5 = (x-8)/4`

      বা, `4x+40 = 5x-40`

      বা, `-5x+4x = -40-40`

      বা,  `-x = -80`

       `:. x = 80`

       `:.` মোট ছাত্র সংখ্যা  8o জন (Ans.)




  গ. ‘খ’ হতে পাই, মোট ছাত্র সংখ্যা  80 জন

     মনে করি, 6 টাকা করে চাঁদা দেয় `= x` জন

    `:.`  2 টাকা করে চাঁদা দেয়  `= (80-x)`   জন

     শর্তমতে, `6x+2(80-x)= 4xx80`

          বা,  `6x+160-2x= 320`

          বা,  `4x= 320-160`

          বা,  `x = 160/4`

           `:. x=40`

          `:.`6 টাকা করে চাঁদা দেয় 40 জন 

           2  টাকা করে চাঁদা দেয় 40 জন  (Ans.)

Question:একটি লঞ্চে ডেকের যাত্রীসংখ্যা কেবিনের যাত্রীসংখ্যার চারগুণ অপেক্ষা 2 বেশী । মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ 
 ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা ।
      
 ক. তথ্য গুলোকে সমীকরণ আকারে লিখ ।
 খ. মোট যাত্রীসংখ্যা বের কর ।
 গ.  মোট যাত্রীসংখ্যা অপরিবর্তি রেখে মোট ভাড়া টাকা পেতে হলে কেবিনের যাত্রীসংখ্যা কত জন বেশী হতে পারে । 

ক.  মনে করি,  কেবিনের যাত্রীসংখ্যা x জন

  `:.`ডেকের যাত্রী সংখ্যা`(4x+2)` জন
       
   দেওয়া আছে,  ডেকের মাথাপিছু ভাড়া 30 টাকা

  `:.` কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া `(30xx2)` বা, 60 টাকা

   প্রশ্নানুসারে, `60x+30(4x+2) = 1680`............(i)


  খ.  “ক” অংশ হতে পাই,

     `60x+30(4x+2)= 1680`

       বা,`60x+120x+60= 1680`

       বা, `180x= 1680-60`

       বা,  `180x= 1620`

       বা,   `x= 1620/180`

        `:.  x= 9`    

     `:.`  কেবিনের যাত্রী সংখ্যা  = 9 জন

  এবং ডেকের যাত্রী সংখ্যা  `= (4xx9+2)` জন

                              = 38 জন

  `:.` মোট যাত্রী সংখ্যা `=(9+38)`জন = 47 জন (Ans.)


 গ.  “খ” অংশ হতে পাই,

   লঞ্চের মোট যাত্রী সংখ্যা 47 জন

   এবং কেবিনের যাত্রী সংখ্যা 9  জন

  মনে করি, 1860 টাকা পাওয়ার জন্য কেবিনের যাত্রীসংখ্যা হবে x জন

  `:.` ডেকের যাত্রী সংখ্যা `(47-x)` জন

   ডেকের মাথাপিছু ভাড়া 30 টাকা

  `:.` কেবিনের মাথা পিছু ভাড়া `(30xx2` বা, 60  টাকা

   প্রশ্নানুসারে,  `60x+(47-x)30= 1860`

      বা, `60x+1410-30x= 1860`

      বা,  `30x= 1860-1410`

      বা,  `30x= 450`

      বা,  `x= 450/30`

       `:.x= 15`

  `:.` কেবিনের যাত্রী সংখ্যা বেশি করতে হবে `(15-9)`  বা, 6 জন

     6 জন বেশি  । (Ans.)

Question:`2012` সালের জানুয়ারী মাসে একজন সরকারি চাকুরিজীবী `8000` টাকা বেতন পান । প্রতি বছর মাসিক বেতন `300` টাকা করে বৃদ্ধি পায় ।

 ক. তার মাসিক বেতন একটি সমান্তর ধারায় প্রকাশ কর ।

 খ. `2017` সালের জানুয়ারী মাসে তার মূলবেতন কত হবে নির্ণয় কর ।

 গ. মূলবেতন থেকে প্রতি মাসে `10%` হারে  ভবিষ্যৎ তহবিলে কর্তন করলে `20` বছরে ভবিষ্যৎ তহবিল মোট কর্তনের
 পরিমান নির্ণয় কর । 

ক. দেওয়া আছে ,
 
 মুলবেতন,` a=8000` টাকা 
 
 বাৎসরিক বেতন বৃদ্দি, `d=300` টাকা 
 
 ২য় বছরে বেতন =`(a+d)` 
  
 =`(8000+300)` টাকা 
  
 =`8300` টাকা 
 
 ৩য় বছরে বেতন   =`(a+2d)`
  
 =`(8000+2 xx  300)` টাকা 
  
 =`8600` টাকা 

 `:.` সমান্তর ধারাটি, `8000+8300+8600+.......` খ. পদ সংখ্যা, `n=6`
 
 আমরা জানি,` n`-তম পদ `=a+(n-1)d`

 `:.`  `6` তম পদ `=a+(6-1)d`
             
 `=8000+5  xx  300`  [’ক’ করে]
            
 ` =9500`

 `:.` `2017` সালের জানুয়ারী মাসে তার মূল বেতন হবে `=9500` টাকা । গ. `2012` সালে তার মোট বেতন  `=(8000  xx  12) =96000` টাকা

 `2013`  ’’     ’’     ’’    ’’   `=(8300  xx  12) =99600`  টাকা

 `2014`  ’’     ’’    ’’   ’’     `=(8600  xx  12) =103200`  টাকা

 তাহলে বৎসরভিত্তিক ধারাটি দাড়ায়  ,

`96000+99600+103200+............`

 যা একটি সমান্তর ধারা ।

 প্রথম পদ `a=96000` টাকা

  সাধারন অন্তর,`d=99600-9600=3600` টাকা এবং পদসংখ্যা,

  `n=20`
 
 আমরা জানি
   `s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
        
   =`20/2{2 xx 96000+(20-1) xx 3600}`
        
   =`10(192000+68400)`
        
   =`10 xx 260400`
        
   =`2604000`

 `20`  বছরে তার মোট বেতন হবে `=2604000` টাকা   

  তার সঞ্চয় তহবিলে বাৎসরিক জমার পরিমান `10%`
   
 মোট কর্তনের পরিমান `=2604000` এর  `10%`
    
 `=2604000`  এর`10/100`
     
 `=260400` টাকা ।

Question:একটি সমান্তর ধারার প্র্রথম `m` সংখ্যক পদের সমষ্টি `m(m+3)`.

 ক. প্রথম পদ কত ?

 খ. ‍ধারাটি নির্নয় কর ।

 গ.ধারাটির `(x+1)` পদের সমষ্টি `304` হলে `x` এর মান নির্নয় কর । 

ক. দেওয়া আছে,

 সমান্তর ধরার প্রথম  `m` সংখ্যক পদের সমষ্টি.

 `s_m =m(m+3)`
         
  `=m^2+3m`
           
  `m=1` হলে, `s_1=1^2+3 xx 1`
                             
                     `=1+3=4`

 `:.` ধারাটির প্রথম পদ `=4`(Ans.)খ. ‍

   ’ক’ থেকে,

 `s_m =m^2+3m`

 `m=1`হলে `s_1=1^2+3 xx 1=1+3=4`

 `m=2`হলে `s_2=2^2+3 xx 2=4+6=10`

 `m=3` হলে `s_3=3^3+3 xx 3=9+9=18`

 `m=4` হলে `s_4=4^2+3 xx 4=16+12=28`

 ` m=5` হলে `s_5=5^2+3 xx 5=25+15=40`

 ধারাটির প্রথম পদ `=4`
 
 দিত্বীয় পদ `=s_2-s_1=10-4=6`
 
 তৃতীয় পদ `=s_3-s_2=18-10=8`

 চতুর্থ পদ `=s_4-s_3=28-18=10`

 পঞ্চম পদ `=s_5-s_4`
         
    ` =40-28=12`

`:.` ধারাটি `4+6+8+10+12+..............`(Ans.)গ. ’খ’ থেকে প্রাপ্ত ধারাটি,
    
 4+6+8+10+12+..............

 প্রথম ধারা`a=4`

 সাধারন অন্তর `d=6-4=2`

 সমান্তর ধারার `n` সংখ্যক পদের সমষ্টি `=n/2{2a+(n-1)d}`

 `(x+1)` সংখ্যক পদের সমষ্টি 

 `=(x+1)/2{2a+(x+1-1)d}`
               
`=(x+1)/2(2a+xd)`
                
 `=(x+1)/2(2 xx 4+x xx 2)`
                 
 `=(x+1)/2(8+2x)`
                  
 `=(x+1)/2 xx 2(x+4)`
                  
 `=(x+1)(x+4)`
                  
 `=x^2+4x+x+4`
                  
 `=x^2+5x+4`

 প্রশ্নমতে,

 `x^2+5x+4=304`
 
  বা,`x^2+5x+4-304=0`
 
  বা,`x^2+5x-300=0`
  
 বা,`x^2+20x-15x-300=0`
  
 বা,`x(x+20)-15(x+20)=0`

 `:. (x+20)(x-15)=0`
  
 হয়,`x+20=0`       অথবা,`x-15=0`
  
 বা,`x=-20`               `:. x=15`
 
 কিন্তু পদসংখ্যা ঋনাত্বক হতে পারে না । অর্থাৎ `x != -20`

 `:. x=15`(Ans.)

Question:`7x-8y=-9`
`5y-4y=-3` 

সমাধান:

  প্রদত্ত সমীকরণদ্ধয়,

  `7x-8y=-9...(i)`

  `5x-4y=-3...(ii)`

  প্রদত্ত সমীকরণ (ii) নং এর উভয় পক্ষকে 2  দ্ধারা গুণ করে (i) নং থেকে বিয়োগ করি,

  `7x-8y=-9`

  `(10x-8y=-6)/-3x=-3`

  বা, `x=1` [`(-3)` উভয়পক্ষকে দ্ধারা ভাগ করে ]

  `:. x=1`

  `x` এর মান  (ii) নং  এ বসিয়ে পাই,
 
  `5xx1-4y=-3`

   বা, `5-4y=-3`

   বা, `-4y=-3-5`

   বা, `-4y=-8`

   বা, `y=2` [`(-4)` উভয়পক্ষকে দ্ধারা ভাগ করে ]
 
   `:. y=2`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=(1,2)`

Question:একজন ক্ষুদ্র ব্যকসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর 4% লাভ করলেন। বছর শেষে তিনি 256 মুনাফা পেলেন ।
     ক. উপরিক্ত তথ্যগুলোকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর ।
     খ.তিনি কত টাকার উপর 5% এবং কত টাকার উপর 4% লাভ করলেন ?
     গ.তিনি যদি 5% মুনাফার পরিবর্তে 10% মুনাফা পেতো তাহলে মোট মুনাফা কত হত ? 

ক.  মনে করি,  5% হারে বিনিয়োগের পরিমাণ = x টাকা

       তাহলে,  4% হারে বিনিয়োগের পরিমাণ  `=(5600-x)` টাকা

       শর্তমতে,   x এর `5/100+(5600-x)`এর `4/100= 256`

        বা,  `(5x)/100+4(5600-x)/100= 256 (Ans.)`


   খ.  ’ক’ হতে পাই, `(5x)/100+4(5600-x)/100 = 256`

                    বা,    `5x+22400-4x= 25600`

                  বা,      `x =3200` (Ans)

    `:.` তিনি 3200 টাকার উপর 5% লাভ করলেন

   `:.` তিনি 4% লাভ করলেন (5600-3200)  টাকা

                    বা, 2400 টাকার উপর (Ans.)
     
     গ. ‘খ’ হতে পাই,                                                                                                         
         তিনি 5% লাভ করেন 3200 টাকার উপর

         এবং 4% লাভ করেন 2400 টাকার উপর ।

         মুনাফা যদি 5% এর পরিবর্তে 10% হয়

     অর্থাৎ 3200 টাকার 10% মুনাফা `=(3200xx10/100) ` টাকা

                                            `= 320` টাকা

  এবং 2400 টাকার মুনাফা 4% টাকা `=(2400xx4/100)`টাকা

                                             `= 96` টাকা

                 `:.` মোট মুনাফা       ` = (320+96)` টাকা

                                                `= 416`   (Ans.)

Question:ax+by=c
`a^2+b^2y=c^2` 

সমাধান:দেওয়া আছে, ax+by=c...............(i)

      `a^2+b^2y=c^2..........(ii)`

      (i) নং সমীকরণকে b দ্ধারা গুণ করে পাই,

     `abx+b^2=bc..............(iii)`

      (iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

     `(abx+b^2)-(a^2+b^2y)=bc-c^2`

      বা,`abx-a^2x=bc-c^2`

      বা,`x(ab-a^2)=bc-c^2`

      বা,`x=bc-c^2/ab-a^2`
 
      :.`x=(c(b-c))/(a(b-a))`

      এখন (i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

      `axx(c(b-c))/(a(b-a))+by=c`

       বা,`(c(b-c))/(b-a)+by=c`

       বা,`by=(c-c(b-c))/(b-a)`

       বা.`by=(c(b-a)-c(b-c))/(b-a)`

       বা,`by=(c(b-a-b+c))/(b-a)`

       বা,`by=(c(c-a))/(b-a)`
 
      `:.y=(c(c-a))/(b(b-a))`

     :. নির্ণেয় সমাধান:(x,y)`=((c(b-c),c(c-a))/(a(b-a),b(b-a)))`

Question:নিচের তিনটি অনুক্রমের সাধারণ পদ দেওয়া হলো :

 `n/1 ,(-1)^(n+1)n/(n+1),(n-1)/(n+1).`

 ক. দ্বিতীয় অনুক্রমের সপ্তম পদ ‍লিখ । খ. দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুক্রম দুইটি লিখ ।

 গ. প্রথম ও  তৃতীয় অনুক্রমের সাধারন পদ যোগ করলে যে নতুন একটি অনুক্রম পাওয়া যায় সেটির প্রথম তিন পদের যোগফল বের কর । 

ক. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`=(-1)^(n+1)n/(n+1)`

`:.` দ্বিতীয় অনুক্রমের সপ্তম পদ`=(-1)^(7+1)7/(7+1)`

   `=(-1) 8 7/8=7/8`Ansখ. দ্বিতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(-1)^(n+1)n/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(-1)^(1+1)1/(1+1)`

 `=(-1)^2 1/2=1/2`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

 `=(-1)^(2+1)2/(2+1)`

 `=(-1)^3 2/3=-2/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `=(-1)^(3+1)3/(3+1)`

 `=(-1)^4 2/4=-2/4`

 `:.` অনুক্রমটি হলো `1/2, -2/3,3/4,..........`Ans তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ পদ`(n-1)/(n+1)` এর জন্য--

 `n=1` হলে, অনুক্রমের প্রথম পদ  

 `=(1-1)/(1+1)=0/2=0`

 `n=2` হলে, অনুক্রমের ২য় পদ    

  `=(2-1)/(2+1)=1/3`

 `n=3`   হলে, অনুক্রমের ৩য় পদ   

  `=(3-1)/(3+1)=2/4`

 `:.`  অনুক্রমটি হলো `0,1/3,2/4,..........`Ansগ. প্রথম ও তৃতীয় অনুক্রমের সাধারণ 
  
 পদের যোগফল `=1/n+(n-1)/(n+1)`
   
 `=(n+1+n(n-1))/(n(n+1))`
   
 `=(n+1+n^2-n)/(n^2+n)`

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `:.` নতুন  অনুক্রমের সাধারণ পদ 

 `=(n^2+1)/(n^2+n)`

 `n=1` হলে, নতুন অনুক্রমের প্রথম পদ      

 `=(1^2+1)/(1^2+1)=2/2=1`

 `n=2`হলে,নতুন অনুক্রমের ২য় পদ  

  `(2^2+1)/(2^2+2)=(4+1)/(4+2)=5/6`

 `n=3` হলে, নতুন অনুক্রমের ৩য় পদ   

 `(3^2+1)/(3^2+3)=(9+1)/12=10/12=5/6`

  `:.` নতুন অনুক্রমটির প্রথম তিন পদের যোগফল 

  `=1+5/6+5/6=(6+5+5)/6`
         
 `=16/6=8/3`Ans

Question:2x+3y+5=0

4x+7y+6=0 

সমাধান:দেওয়া আছে,2x+3y+5=0
                    
                      4x=7y+6=0

    (i) নং এবং (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে 

   পাই,`x/(3xx6-7+5)=y/(5xx4-6+2)=1/(2xx7-4xx3)`

   বা,`x/(18-35)=y/(20-12)=1/(14-12)`

   বা,`x/-17=y/8=1/2`

  `:.x/-17=1/2` 

   বা, ` x=-17/2`  এবং `y/8=1/2` বা,` y=8/2=4`

 ` :.x=-17/2` এবং `y=4`

 :. নির্ণেয় সমাধান :` (x,y)=(-17/2,4)`

Question:8. `3x-5y+9=0`
     `5x-3y+1=0` 

সমাধান: দেওয়া আছে, 

     `3x-5y+9=0...(i)`

     `5x-3y+1=0...(ii)`

  এখন, `(i)`এবং `(ii)` সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে

    পাই,`x/((-5)xx(-1)-(-3)xx9)`

   `=y/(5xx9-(-1)xx3)`

  `=1/(3xx(-3)-5xx(-5)`

   বা,`x/(5+27)=y/(45+3)=1/(-9+25)`

   বা,`x/32=y/48=1/16`
    
    `:. x/32=1/16`

   বা,`x=32/16=2` এবং `y/48=1/16`
 
   বা,`y=48/16=3`

   :. নির্ণেয় সমাধান : `(x,y)(2,3)`