Question:৮.সমাধান কর:
(vi). `81((1 - x)/(1 + x))^3 = (1 + x)/(1 - x)` 

৮.(vi).সমাধান: `81((1 - x)/(1 + x))^3 = (1 + x)/(1 - x)`

    বা, `81 = (1 + x)/(1 - x) xx ((1 + x)/(1 - x))^3`

    বা, `(9)^2 = {((1 + x)/(1 - x))^2}^2`

    বা, `((1 + x)/(1 - x))^2 = 9` [ বর্গমূল করে ]

    বা, `(1 + x)/(1 - x) = +- 3`   [ বর্গমূল করে ]

  হয়, `(1 + x)/(1 - x) = 3`                  

    বা, `1 + x = 3 - 3x`                  

    বা, `4x = 2`                                

    `:. x = 1/2`
    
   অথবা, `(1 + x)/(1 - x) = - 3`
   
    বা, `1 + x = - 3 + 3x`

    বা, `2x = 4`                              
     
   `:. x = 2`

 `:.` নির্ণেয় সমাধান, `x = 2`
                  অথবা `x = 1/2`

Question:৯.`a/b = c/d` হলে, দেখাও যে,

(i). `(a^2 + ab + b^2)/(a^2 - ab + b^2) = (c^2 + cd + d^2)/(c^2 - cd + d^2)`

(ii) `(ac + bd)/(ac - bd) = (c^2 + d^2)/(c^2 - d^2)` 

সমাধান: ৯.
(i).দেওয়া আছে,`a/b = c/d`

 ধরি,`a/b = c/d = k`

 `:. a = bk` এবং  `c = dk`

 বামপক্ষ `=(a^2 + ab + b^2)/(a^2 - ab + b^2)`

 `=((bk)^2 + bk xx b + b^2)/((bk)^2 - bk xx b + b^2)`

 `=(b^2k^2 + b^2k + b^2)/(b^2k^2 - b^2k + b^2)`

 `=(b^2(k^2 + k +1))/(b^2(k^2 - k + 1))`

 `=(k^2 + k + 1)/(k^2 - k + 1)`

 ডানপক্ষ `=(c^2 + cd + d^2)/(c^2 - cd + d^2)`

 `=((dk)^2 + dk xx d + d^2)/((dk)^2 - dk xx d + d^2)`

 `=(d^2k^2 + d^2k + d^2)/(d^2k^2 - d^2k + d^2)`

 `=(d^2(k^2 + k + 1))/(d^2(k^2 - k + 1))`

 `=(k^2 + k + 1)/(k^2 - k + 1)`

`:. (a^2 + ab + b^2)/(a^2 - ab + b^2) = (c^2 + cd + d^2)/(c^2 - cd + d^2)`( দেখানো হলো )
(ii).দেওয়া আছে,`a/b = c/d`

 ধরি,`a/b = c/d = k`

 `:. c = dk`

    `a = bk`

বামপক্ষ `=(ac + bd)/(ac - bd)`

 `=(bk xx dk + bd)/(bk xx dk - bd)`

 `=(bdk^2 + bd)/(bdk^2 - bd)`

 `=(bd(k^2 + 1))/(bd(k^2 - 1))`

 `=(k^2 + 1)/(k^2 - 1)`

ডানপক্ষ `=(c^2 + d^2)/(c^2 - d^2)`

 `=((dk)^2 + d^2)/((dk)^2 - d^2)`

 `=(d^2k^2 + d^2)/(d^2k^2 - d^2)`

 `=(d^2(k^2 + 1))/(d^2(k^2 - 1))`

 `=(k^2 + 1)/(k^2 - 1)`

`:. (ac + bd)/(ac - bd) = (c^2 + d^2)/(c^2 - d^2)` ( দেখানো হলো )

Question:১০.`a/b = b/c = c/d` হলে, দেখাও যে,

(i).`(a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

(ii).`(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` 

১০.সমাধান:
(i).দেওয়া আছে,

`a/b = b/c = c/d`

 ধরি,

`a/b = b/c = c/d = k`

`:. c = dk`

`b = ck = dk.k = dk^2`

`a = bk = dk^2.k = dk^3`

বামপক্ষ 

`= (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3)`

`= ((dk^3)^3 + (dk^2)^3)/((dk^2)^3 + (dk)^3)`

`= (d^3k^9 + d^3k^6)/(d^3k^6 + d^3k^3)`

`= (d^3k^6(k^3 + 1))/(d^3k^3(k^3 + 1))`

`= k^3` 

ডানপক্ষ

`= (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

`= ((dk^2)^3 + (dk)^3)/((dk)^3 + d^3)`

`= (d^3k^6 + d^3k^3)/(d^3k^3 + d^3)`

`= (d^3k^3(k^3 + 1))/(d^3(k^3 + 1))`

`= k^3`

`:. (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` ( দেখানো হলো )
(ii).দেওয়া আছে,

`a/b = b/c = c/d`

 ধরি,

`a/b = b/c = c/d = k`

`:. c = dk`

`b = ck = dk.k = dk^2`

`a = bk = dk^2.k = dk^3`

বামপক্ষ 

`= (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2)`

`= {(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2}{(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2}`

`= {d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2}{d^2k^4 + d^2k^2 + d^2}`

`= d^2k^2(k^4 + k^2 + 1) xx d^2(k^4 + k^2 + 1)`

`= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2`
 
 ডানপক্ষ

`= (ab + bc + cd)^2`

`= (dk^3 xx dk^2 + dk^2 xx dk + dk xx d)^2`

`= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2`

`= {d^2k(k^4 + k^2 + 1)}^2`

`= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2`

`:. (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` ( দেখানো হলো )

Question:১১.`x = (4ab)/(a + b)` হলে, দেখাও যে,

 `(x + 2a)/(x - 2a) + (x + 2b)/(x + 2b) = 2, a != b` 

১০. সমাধান:
দেওয়া আছে,

 `x = (4ab)/(a + b)`

বা, `x = (2a xx 2b)/(a + b)`

 `:. x/(2a) = (2b)/(a + b)` 

এবং `x/( 2b) = (2a)/(a + b)`

যখন, `x/(2a) = (2b)/(a + b)`

তখন, `(x + 2a)/(x - 2a) = (2b + a + b)/(2b - a - b)` [ যোজন-বিয়োজন করে ]

 `:. (x + 2a)/(x - 2a) = (a + 3b)/(b - a)` .........(i)

আবার, যখন `x/( 2b) = (2a)/(a + b)`

তখন, `(x + 2b)/(x - 2b) = (2a + a + b)/(2a - a - b)` [ যোজন-বিয়োজন করে ]

`:. (x + 2b)/(x - 2b) = (3a + b)/(a - b)`..........(ii)

(i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

 `(x + 2a)/(x - 2a) + (x + 2b)/(x - 2b) = (a + 3b)/(b - a) + (3a + b)/(a - b)`

 `=  (a + 3b)/(b - a) + (3a + b)/( - (b - a))`

 `= (a + 3b)/(b - a) - (3a + b)/(b - a)`

 `= (a + 3b - (3a + b))/(b - a)`

 `= (2b - 2a)/(b - a)`

 `= (2(b - a))/((b - a))`

 `= 2`

`:. (x + 2a)/(x - 2a) + (x + 2b)/(x + 2b) = 2` ( দেখানো হলো )

Question:১২. `x = (root(3)(m + 1) + root(3)(m - 1))/(root(3)(m + 1) - root(3)(m - 1))` হলে, প্রমাণ কর যে,
 
`x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0.` 

১২. সমাধান:
দেওয়া আছে,

    `x = (root(3)(m + 1) + root(3)(m - 1))/(root(3)(m + 1) - root(3)(m - 1))`

বা, `(x + 1)/(x - 1) =(root(3)(m + 1) + root(3)(m - 1) + root(3)(m + 1) - root(3)(m - 1))/(root(3)(m + 1) + root(3)(m - 1) - root(3)(m + 1) + root(3)(m - 1))` [ যোজন-বিয়োজন করে ]

বা, `(x + 1)/(x - 1) = (2root(3)(m + 1))/(2root(3)(m - 1))`

বা, `(x + 1)/(x - 1) = (root(3)(m + 1))/(root(3)(m - 1))` 
 
বা, `((x + 1)/(x - 1))^3 = ((root(3)(m + 1))/(root(3)(m - 1)))^3` [ উভয়পক্ষকে ঘন করে ]

বা, `(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)/(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = (m + 1)/(m - 1)`

বা, `(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 +x^3 - 3x^2 + 3x - 1)/(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1) = (m + 1 + m - 1)/(m + 1 - m - 1)` 
 [ পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে ]

বা, `(2x^3 + 6x)/(2 + 2x^2) = (2m)/2`

বা, `(2(x^3 + 3x))/(2(1 + 3x^2)) = m`

বা, `x^3 + 3x = m + 3mx^2`  [ আড় গুণন করে ]

`:. x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0` ( প্রমাণিত )

Question:নিচের আনুক্রমের সাধারন পদ দেওয়া আছে । অনুক্রমগুলি লেখ :
(i)`1/n`  (ii) `(n-1)/(n+1)` (iii) `1/2^n` (iv)` 1/2^(n-1)`   

(v) `(-1)^(n+1)`` n/(n+1)`    

(vi) `(-1)^(n-1)`` n/(2n+1)` 

(i)  1,`1/2,1/3,........... 1/n.........`

(ii) `0, 1/3, 2/4,3/5,...........(n-1)/(n+1)............`

(iii) `1/2,1/4,1/8 ........ 1/2^n ...............`

(iv) `1,1/2,1/4,........... 1/2^(n-1) ...........`

(v) `1/2, - 2/3,3/4,...........(-1)^(n+1) n/(n+1)............`

(vi) `1/3, - 2/5,3/7............(-1)^(n-1) n/(2n+1)...........`

Question:৩. `A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}` 
এবং `C = {2, a, b}` হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর:(ক) B \\ C(খ) `A uu B`(গ) `A nn C`(ঘ) `A uu (B nn C)`(ঙ) `A nn (B uu C)` 

সমাধান:(ক) B \\ C
দেওয়া আছে,

`B = {1, 2, a}` এবং `C = {2, a, b}`

`:. ` B \\ C` = (1, 2, a} - {2, a, b}`

`= {1}`

`:.` B \\ C` = {1}` (Ans.)(খ)`A uu B`
দেওয়া আছে,

`A = {2, 3, 4}`এবং`B = {1, 2, a}`

`:.A uu B = {2, 3, 4} uu {1, 2, a}`

`= {1, 2, 3, 4, a}`

`:.A uu B = {1, 2, 3, 4, a}`  (Ans.)(গ)`A nn C`
দেওয়া আছে,
`A = {2, 3, 4}`এবং`C = {2, a, b}`

`:.A nn C = {2, 3, 4} nn {2, a, b}`

`= {2}`

`:.A nn C = {2}`     (Ans.)(ঘ)`A uu (B nn C)`
দেওয়া আছে,

`A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}`

এবং `C = {2, a, b}`

এখানে,

`(B nn C) = {1, 2, a} nn {2, a, b}`

`= {2, a}`

`:.A uu (B nn C) = {2, 3, 4} uu {2, a}`

`= {2, 3, 4, a}` 

`:.A uu (B nn C) = {2, 3, 4, a}`  (Ans.)(ঙ)`A nn (B uu C)`
দেওয়া আছে,

`A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}`

এবং `C = {2, a, b}`

এখানে,
`(B uu C) = {1, 2, a} uu {2, a, b}`

`= {1, 2, a, b}`

`:.A nn (B uu C) = {2, 3, 4} nn {1, 2, a, b}`

`= {2}`

`:.A nn (B uu C) = {2}`  (Ans.)

Question:৪. `u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5},  B = {2, 4, 6}`এবং`C = {3, 4, 5, 6, 7}` হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই কর:

(i). `(A uu B)' = A' nn B'`

(ii). `(B nn C)' = B' uu C'`

(iii). `(A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C)`

(iv). `(A nn B) uu C = (A uu C) nn (B uu C)` 

সমাধান:
(i). `(A uu B)' = A' nn B'`
সেট
উপাদান
`U`
`1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`
`A`
`1, 3, 5`
`B`
`2, 4, 6`
`A uu B`
`1, 2, 3, 4, 5, 6`
`(A uu B)'`
`7`
`A'`
`2, 4, 6, 7`
`B'`
`1, 3, 5, 7`
`A' nn B'`
`7`
`:. (A uu B)' = A' nn B'` (সত্যতা যাচাই হলো)বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, 
`U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},`
`A = {1, 3, 5}` এবং `B = {2, 4, 6}`
এখানে, 
`A uu B = {1, 2, 5} uu {2, 4, 6}`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6}`
`:. (A uu B)' = U - (A uu B)`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 2, 3, 4, 5, 6}`
`= {7}`
আবার,
`A' = U - A`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 3, 5}`
`= {2, 4, 6, 7}`
`B' = U - B`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6}`
`= {1, 3, 5, 7}`
`:. A' nn B' = {2, 4, 6, 7} nn {1, 3, 5, 7}`
`:. (A uu B)' = A' nn B'`  (সত্যতা যাচাই হলো)
(ii). `(B nn C)' = B' uu C'`
সেট
উপাদান
`U`
`1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`
`B`
`2, 4, 6`
`C`
`3, 4, 5, 6, 7`
`B nn C`
`4, 6`
`(B nn C)'`
`1, 2, 3, 5, 7`
`B'`
`1, 3, 5, 7`
`C'`
`1, 2`
`B' uu C'`
`1, 2, 3, 5, 7`
`:. (B nn C)' = B' uu C'`   (সত্যতা যাচাই হলো)বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, `U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},`
`B = {2, 4, 6}` এবং `C = {3, 4, 5, 6, 7}`
এখানে,
`B nn C = {2, 4, 6} nn {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {4, 6}`
`:. (B nn C)' = U - (B nn C)`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {4, 6}`
`= {1, 2, 3, 5, 7}`
আবার,
`B' = U - B`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6}`
`= {1, 3, 5, 7}`
`C' = U - C`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {1, 2}`
`:. B' uu C' = {1, 3, 5, 7} uu {1, 2}`
`= {1, 2, 3, 5, 7}`
`:. (B nn C)' = B' uu C'` (সত্যতা যাচাই হলো)
(iii). `(A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C)`
সেট
উপাদান
`A`
`1, 3, 5`
`B`
`2, 4, 6`
`C`
`3, 4, 5, 6, 7`
`A uu B`
`1, 2, 3, 4, 5, 6`
`(A uu B) nn C`
`3, 4, 5, 6`
`A nn C`
`3, 5`
`B nn C`
`4, 6`
`(A nn C) uu (B nn C)`
`3, 4, 5, 6`
`:. (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C)` (সত্যতা যাচাই হলো)বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে,
`A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6}`
এবং `C = {3, 4, 5, 6, 7}`
এখানে,
`A uu B = {1, 3, 5} uu {2, 4, 6}`
`= {1, 2, 3, 4, 5, 6}`
`:. (A uu B) nn C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} nn {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {3, 4, 5, 6}`
আবার,
`A nn C = {1, 3, 5 } nn {3, 4, 5, 6, 7}`
`=  {3, 5}`
`B nn C = {2, 4, 6} nn {3, 4, 5, 6, 7}`
`=  {4, 6}`
`:. (A nn C) uu (B nn C) = {3, 5} uu {4, 6}`
`= {3, 4, 5, 6}`
`:. (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C)`  (সত্যতা যাচাই হলো)
(iv).`(A nn B) uu C = (A uu C) nn (B uu C)`
সেট
উপাদান
`A`
`1, 3, 5`
`B`
`2, 4, 6`
`C`
`3, 4, 5, 6, 7`
`A nn B`
`O/`
`(A nn B) uu C`
`3, 4, 5, 6, 7`
`A uu C`
`1, 3, 4, 5, 6, 7`
`B uu C`
`2, 3, 4, 5, 6, 7`
`(A uu C) nn (B uu C)`
`3, 4, 5, 6, 7`
`:. (A nn B) uu C = (A uu C) nn (B uu C)`  (সত্যতা যাচাই হলো)বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে,
`A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6}`
এবং `C = {3, 4, 5, 6, 7}`
এখানে,
`A nn B = {1, 3, 5} nn {2, 4, 6}`
`= {}`
`:. (A nn B) uu C = {} uu {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {3, 4, 5, 6, 7}`
আবার,
`A uu C = {1, 3, 5} uu {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {1, 3, 4, 5, 6, 7}`
`B uu C = {2, 4, 6} uu {3, 4, 5, 6, 7}`
`= {2, 3, 4, 5, 6, 7}`
`:. (A uu C) nn (B uu C) = {1, 3, 4, 5, 6, 7} nn {2, 3, 4, 5, 6, 7}`
`= {3, 4, 5, 6, 7}`
`:. (A nn B) uu C = (A uu C) nn (B uu C)`  (সত্যতা যাচাই হলো)

Question:৫. `Q = {x, y}` এবং `R = {m, n, l}` হলে `P(Q)` এবং `P(R)` নির্ণেয় কর। 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
`Q = {x, y}` এবং `R = {m, n, l}`
এখানে,
`Q`এর উপসেটসমূহ `{x, y}, {x},{y}` এবং `O/`.
`:. P(Q) = {{x, y}, {x}, {y}, O/}`
আবার,
`R`এর উপসেটসমূহ `{m, n, l}, {m, n}, {m, l}, {n, l}, {m}, {n}, {l}` এবং `O/`.  
`:. P(R) = {{m, n, l}, {m, n}, {m, l}, {n, l}, {m}, {n}, {l}, O/}`    (Ans.)

Question:৬. `A = {a, b}, B = {a, b, c}`এবং `C = A uu B` হলে, দেখাও যে, `P(C)`এর উপাদান সংখ্যা `2^n`, যেখানে `n` হচ্ছে `C`এর উপাদান সংখ্যা। 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
`A = {a, b}, B = {a, b, c}`
`:. C = A uu B`
`= {a, b} uu {a, b, c}`
`= {a, b, c}`
এখানে,
`C` এর উপাদান সংখ্যা `3`.
এবং `C` এর উপসেটসমূহ `{a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a}, {b}, {c}, O/`.
`:. P(C) = {{a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a}, {b}, {c}, O/}`
`:. P(C)` = এর উপাদান সংখ্যা `8`
`= 2^3` 
`:. P(C)` এর উপাদান সংখ্যা `2^n`
যেখানে `n` হলো `C` এর উপাদান সংখ্যা।  (দেখানো হলো)