Question:আমেনা-বাকী রেসিডেন্সিয়াল মডেল স্কুল এন্ড কলেজের দশম শ্রেনীর ছাত্র, ছাত্রীরা বনভোজনে যাওয়ার জন্য 3000 টাকায় বাস ভাড়া করল । প্রতেক ছাত্র-ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে বলে ঠিক করল । 10 জন ছাত্র-ছাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া 10 টাকা বৃদ্ধি পেল ।
  ক.x জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া p টাকা হলে y জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া কত?
   খ.বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা কত এবং মাথাপিছু ভাড়া কত ?
   গ.কতজন ছাত্র-ছাত্রী না আসলে মাথাপিছু ভাড়া 25 টাকা বৃদ্ধি পাবে এবং ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা কত বৃদ্ধি পেলে মাথাপিছু ভাড়া 40 টাকা হ্রাস পাবে ? 

ক. x জন ছাত্র-ছাত্রী ভাড়া = p টাকা

`:.` 1 জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `= p/x` টাকা

 `:.` y জন ছাত্র-ছাত্রীর ভাড়া `=(py)/x` টাকা (Ans)


 খ. মনে করি, ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা = x জন 

`:.`  মাথাপিছু ভাড়া`= 3000/x` টাকা 

  এখন, 10 জন ছাত্র-ছাত্রী না অাসায় বাসে

  ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা `=(x-10)` জন

`:.`  তাদের মাথাপিছু ভাড়া `=3000/(x-10)` টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(x-10)=3000/x+10`

    বা, `3000/(x-10)=(3000+10x)/x`

    বা, `(x-10)(3000+10x)=3000x`

    বা, `3000x+10x^2-30000-100x=3000x`

    বা, `10x^2-100x-30000=0`

    বা, `x^2-10x-3000=0`

    বা,  `x^2-60x+50x-3000=0`

    বা,  `x(x-60)+50(x-60)=0`

    বা,  `(x-60)(x+50)=0`

    হয়,   `x-60=0` অথবা, `x+50=0`

   `:. x= 60`   x`!=`-50 [যেহেতু ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না ]

   `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(x-10) `জন

                           `=(60-10)`জন

                           `=50`জন

   `:.`  মাথাপিছু ভাড়া = `3000/50`টাকা  `= 60` টাকা (Ans.)

    গ. ধরি,  R জন ছাত্র-ছাত্রী না আসলে মাথাপিছু

        ভাড়া 25 টাকা বৃদ্ধি পাবে ।

  `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60-R)` জন

  `:.`  মাথাপিছু ভাড়া  `= 3000/(60-R)` টাকা

      পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া টাকা `= 3000/60`

                                 `=50`টাকা

  প্রশ্নমতে,`3000/(60-R)= 50+25`

      বা,  `3000/(60-R)=75`

      বা,  `3000=75(60-R)`

      বা,  `3000= 4500-75R`

      বা,  `75R= 4500-3000`

      বা,  `75R= 1500`

      বা,  `R=1500/75`

     `:. R= 20` জন (Ans.)

    আবার, ধরি,Q জন ছাত্র-ছাত্রী বেশি আসলে মাথাপিছু ভাড়া 40 টাকা হ্রাস পাবে ।

     `:.` বাসে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা `=(60+Q)` জন

      `:.`  মাথাপিছু বাড়া `=3000/(60+Q)` টাকা

         পূর্বের মাথাপিছু ভাড়া  টাকা  `=3000/60`

                                        =50 টাকা 
                     
         প্রশ্নমতে,  `3000/(60+Q)=50-40`

         বা, `3000/(60+Q)= 10`  বা, `3000= 600+10Q`

                                বা, `10Q= 3000-600`

                                 বা,     `10Q= 2400`

                                  বা,    `Q=2400/10`

                                     `:. Q= 240` জন (Ans)

Question:১. `7x-3y=31`
    `9x-5y=41` 

সমাধান:দেওয়া আছে,
 `7x-3y=31...(i)`

 `9x-5y=41...(ii)`

  (i)নং সমীকরণ হতে পাই,

  `7x=31+3y`
 
 `x=31+3y/7...(iii)`

  (ii)নং সমীকরণে `x=31+3y/7` বসিয়ে পাই,

  `9(31+3y)/7-5y=41`

  বা, `279+27y/7-5y=41`

  বা, `279+27y-35y/7=41`

  বা, `279-8y=287` [আড়গুনণ করে]

  বা, `-8y=287-279` [পক্ষান্তর করে]

  বা, `-8y=8`

 `:.y=-1` [উভয়পক্ষকে `(-8)` দ্ধারা ভাগ করে]

  এখন, `(iii)` নং সমীকরণে `y` এর মান বসিয়ে পাই,

  `x=(31+3(-1))/7=31-3/7=28/7=4`

  :.নির্ণেয় সমাধান: `(x,y)=(4,-1)`

Question:কোন সমান্তর ধারার `p`তম `q` তম ও `r` তম পদ যথাক্রমে `a,b,c` হলে, দেখাও যে, `a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0` 

সমান্তর ধারার প্রথম পদ`=x`

 সাধারন অন্তর `=d`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম `n` তম পদ =১ম পদ `+(n-1)d`

`:.` সমান্তর ধারার `p` তম পদ `=x+(p-1)d=a...........(i)`
   
 `q` তম পদ `=x+(q-1)d=b..............(ii)`

  এবং` r` তম পদ `=x+(r-1)d=c..............(iii)`

  বামপক্ষ
   `=a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)`

  `={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+

  {x+(r-1)d}(p-q)`[`a,b,c` এর মান বসিয়ে]

  `=x(q-r)+d(p-1)(q-r)+x(r-p)+d(q-1)(r-p)+`
              `x(p-q)+d(r-1)(p-q)`

 `=x(q-r+r-p+p-q)+d(pq-pr-q+r+qr-pq-r`
                  `+p+pr-qr-p+q)`

 `=x xx 0+d xx 0`

 `=0+0=0`

  =ডানপক্ষ

 `:. a(q-r)+b(r-p)+c(p-a)=0`(দেখানো হলো)

Question:দেখাও যে,`1+3+5+7+.................+125`
`=169+171+173+...............+209.` 

বামপক্ষ`=1+3+5+7+.................+125`
    
 এখানে ধারাটির প্রথম পদ, `a=1`
    
 ধারাটির  সাধারন অন্তর,`d=3-1=2`

 `:.`ইহা একটি সমান্তর ধারা ।
 
  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=125`
   
 আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
 
  বা,`125=1+(n-1)2`
  
 বা,`125=1+2n-2`
  
 বা,`125=2n-1`
  
 বা,`2n = 125+1`
  
 বা,`2n = 126`
  
 বা,`n =126/2`

 `:. n = 63`

 সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,`s_n = n/2{2a+(n-1)d}`

 `:. s_63 = 63/2{2.1+(63-1)2}`

 `= 63/2(2+62 xx 2)`

 `= 63/2(2+124)`

 `= 63/2 xx 126`

 `= 63 xx 63 =3969.`

  আবার ডানপক্ষ =`169+171+173+.......................+209`
  
 এখানে, ধারাটির প্রথম পদ`a=169`
  
 ধারাটির সাধারন অন্তর`d=171-169=2`

 `:.`এটি একটি সমান্তর ধারা

  ধরি, ধারাটির `n` তম পদ `=209`
 
  আমরা জানি,
 
  সমান্তর ধারার `n` তম পদ `=a+(n-1)d`
  
  বা,`209=169+(n-1)2`
 
  বা,`209=169+2n-2`
 
  বা,`209=2n+167`
  
  বা,`2n=209-167`
 
  বা,`2n=42`
  
  বা,`n=42/2`

 `:. n=21`

 `:.` সমান্তর ধারার প্রথম `21` পদের সমষ্টি,

 `s_21 =21/2{2.169+(21-1)2}`

 `=21/2(338+20 xx 2)=21/2(338+40)`

 `=21/2 xx 378`

 `=21 xx 189=3969`

 `:. 1+3+5+7+...................+125`

 `=169+171+173+....................+209` (দেখানো হলো)

Question:2. `x/2+y/3=1`
     `x/3+y/2=1` 

সমাধান: দেওয়া আছে, 

 `x/2+y/3=1...(i)`

 `x/3+y/2...(ii)`
 
  (i) নং সমীকরণ হতে পাই,
 
  `x/2+y/3=1`

   বা, `(3x+2y)/6=1`

  `:.3x+2y+=6...(iii)`[ আড় গুণন করে]

  `(ii)` নং সমীকরণ হতে পাই,

  `x/3+y/2=1`

   বা, `(2x+3y)/6=1`

   বা,  2x+3y=6[ আড়গুণন করে]

   বা, 3y=6-2x[ পক্ষান্তর করে]

  `:. y=(6-2x)/3...(iv)`

  (iii) নং সমীকরণে `y=(6-2x)/3`বসিয়ে পাই,

  `3x+2xx(6-2x)/3=6`

   বা, `3x+(12-4x)/3=6`

   বা, `9x+(12-4x)/3=6`

   বা, `(5x+12)/3=6`

   বা, `5x+12=18` [ আড় গুণন করে]

   বা, `5x=18-12` [ পক্ষান্তর করে]

   বা, `5x=6`

  `:. x=6/5`[ উভয় পক্ষকে 5 দ্ধারা ভাগ করে]
 
  এখন, `(iv)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

  `y=6-2xx(6/5)/3=6-(12/5)/3=(30-12/5)/3=(18/5)/3=18/(5xx3)=6/5`
 

   :. নির্ণেয় সমাধান:`(x,y)=(6/5,6/5)`

Question:৩. `x/a+y/b=2`
     
    `ax+by=a^2+b^2` 

সমাধান: দেওয়া আছে,

 `x/a+y/b=2....(i)`

 `ax+by=a^2+b^2...(ii)`

  (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

  `y/b=2-x/a`

  বা,`y/b=(2a-x)/a`

  `:. y/b=(2ab-bx)/a...(iii)`

 `(ii)` নং সমীকরণে  `y=(2ab-bx)/a` বসিয়ে পাই,

 ` ax+(b(2ab-bx)/a)=a^2+b^2`

  বা, `a^2x+2ab^2-b^2x)/a=a^2+b^2`

  বা, `a^x-b^2x+2ab^2=a^3+ab^3`  [ আড়গুণন করে]

  বা, `a^2x-b^2=(a^3+ab^2-2ab^2` [ পক্ষানতর করে]

  বা, `x(a^2-b^2)=a^3-ab^2`

  বা, `x(a^2-b^2)=a(a^2-b^2)`

  বা, `x=(a(a^2-b^2)/(a^2-b^2))`
 
 `:. x=a`

 এখন, `(iii)` নং সমীকরণে  `x` এর মান বসিয়ে পাই,

 `y=(2ab-ab)/a=ab/a`

  `:. y=b`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(a,b)`

Question:এক ব্যক্তি `2500` টাকার একটি ঋন কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন । প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে `2` টাকা বেশি । যদি প্রথম কিস্তি `1` টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋন শোধ করতে পারবেন ? 

মনেকরি, ঐ ব্যক্তি `n` টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করেন ।

 ধরি, প্রথম কিস্তি হবে,`a=1`

 দ্বিতীয় কিস্তি হবে,`a_1 =(1+2)`বা `3` টাকা

 তৃতীয় কিস্তি হবে,`a_2=(3+2)` বা `5` টাকা
 .............................................
 ...........................................
  
 কিস্তির ধারা হবে`1+3+5+...............`

 তাহলে ধারাটির প্রথম পদ,`a=1`

 `:.` এটি একটি সমান্তর ধারা । সাধারন অন্তর,` d=3-1=2` টাকা

  কিস্তিগুলোর সমষ্টি`s_n =2500`টাকা
 
 আমরা জানি,`s_n =n/2{2a+(n-1)d}`
  
 বা,`2500=n/2{2.1+(n-1)2}`
  
 বা,`2500=n/2(2+2n-2)`
  
 বা,`2500=n/2 .2n`  বা,`2500 =n^2`
  
 বা,`n = !=sqrt2500`[বর্গমূল করে]
  
 বা,`n =50`[(-) ‍চিহ্ন বর্জন করে; যেহেতু কিস্তি সংখ্যা ধনাত্বক]

 `:. n= 50`

 `:. 50`টি কিস্তিতে ঋন পরিশোধ করবে ।

 `:. 50`টি ।

 Ans:`50`

Question:4. `7x-3y=31`
   
    `9x-5y=41` 

সমাধান: দেওয়া, `7x-3y=31...(i)`
         
                   `9x-5y...(ii)`

  `(i)` নং সমীকরণকে 5 দ্ধারা এবং `(ii)` নং সমীকরণকে 3 দ্ধারা গুন করে পাই,
  
    `35x-15y=155...(iii)`
 
    `27x-15y=123...(iv)`

    `(iii)` নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

   `(35x-15y)-(27x-15y)=155-123`

    বা, `35x-15y-27x+15y=32`

    বা, `8x=32`

  `:. x=4` [উভয়পক্ষকে 8 দ্ধারা ভাগ করে]
 
   এখন `(i)` নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,

   `7+4-3y=31`

   বা,`28-3y=31`

   বা,`-3y=31-28`

   বা,`-3y=3`

  `:.y=-1` [ উভয়পকাষকে `(-3)` দ্ধারা ভাগ করে]

  `:.` নির্ণেয় সমাধান :`(x,y)=(4,-1)`

Question:দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমস্টি 9 ; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 45 কম ।
     ক. এক চলক ব্যবহার করে ঐ সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ ।
      খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর  ।
       গ. সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হর নির্দেশ করে তবে ভগ্নাংশটির লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটি`1/2`  হবে । 

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি `= x`

  তাহলে দশক স্থানীয় অঙ্কটি `= 9-x`

 `:.` সংখ্যাটি `= 10x` (দশক সথানীয় অঙ্ক) +  একক স্থানীয় অঙ্ক

               `=10(9-x)+x`

              `=(90-10x)+x`      
                                        
              `=90-9x`

   অঙ্কদ্বয় স্থানবিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে 

   `= 10xxx+(9-x)`

   `=10x+9-x`

   `=9x+9`(Ans.)



  খ. প্রশ্নমতে, `9x+9= 90-9x-45`

     বা,  `9x+9x= 45-9` [পক্ষান্তর করে]

     বা,   `18x= 36`

     বা,     `x= 2`

    `:.` সংখ্যাটি `= 90-9x`

                   `= 90-(9xx2)`

                   `= 90-18`

                   `=72`(Ans.)



  গ. আমরা জানি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট হয় ।

     ‘খ’ হতে পাই সংখ্যাটি =72

   তাহলে ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের হর = দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7

        ”        ”     লব = একক স্থানীয় অঙ্ক = 2

  মনে করি,  ভগ্নাংশটির লব ও হর সাথে x যোগ করতে হবে  ।

  প্রশ্নমতে,  `(2+x)/(7+x) = 1/2`

       বা, `4+2x =7+x`

       বা, `2x-x = 7-4`

     `:. x= 3`(Ans.)

Question:৮.(ক) `P = {a}, Q= {b, c}` হলে `P xx Q` এবং `Q xx P` নির্ণেয় কর।

(খ) `A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}` এবং `C = {x, y}` হলে, `(A nn B) xx C` নির্ণেয় কর।

(গ) `P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}` এবং `R = p\q` হলে, `(P uu Q) xx R` নির্ণেয় কর। 

সমাধান:(ক) `P = {a}, Q= {b, c}` হলে `P xx Q` এবং `Q xx P` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {a}` এবং `Q = {b, c}`
`:. P xx Q = {a} xx {b, c}`
`= {(a, b), (a, c)}`
এবং
`Q xx P = {b, c} xx {a}`
`= {(b, a), (c, a)}`Ans. `{(a, b), (a, c)}; {(b, a), (c, a)}`(খ) `A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}` এবং `C = {x, y}` হলে, `(A nn B) xx C` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6}`
এবং `C = {x, y}`
এখানে,
`A nn B = {3, 4, 5} nn {4, 5, 6}`
`= {4, 5}`
`:. (A nn B) xx C = {4, 5} xx {x, y}`
`= {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}`Ans. `{(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}.`(গ) `P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}` এবং `R = P\Q` হলে, `(P uu Q) xx R` নির্ণেয় কর।
দেওয়া আছে,
`P = {3, 5, 7}` এবং ` Q = {5, 7}`
`:. R = P\Q`
`= {3, 5, 7} - {5, 7}`
`= {3}.`
এখানে,
`P uu Q = {3, 5, 7} uu {5, 7}`
`= {3, 5, 7}`
`(P uu Q) xx R = {3, 5, 7} xx {3}`
`= {(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`Ans. `{(3, 3), (3, 5), (3, 7)}.`