Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `a^3 - 1/8` 

`a^3 - 1/8 = a^3 - (1/2)^3`

  `= (a - 1/2) {a^2 + a.1/2 + (1/2)^2}`

  `= (a - 1/2) (a^2 + a/2 + 1/4)`

  `= ((2a - 1)/2) ((4a^2 + 2a + 1)/4)`

  `= 1/8 (2a - 1) (4a^2 + 2a + 1)`  (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `a^6/(27) - b^6` 

`a^6/(27) - b^6 = (a^2/3) - (b^2)^3`

   `= (a^2/3 - b^2) {(a^2/3)^2 + a^2/3 .b^2 + (b^2)^2}`

   `= (a^2/3 - b^2) (a^4/9 + (a^2b^2)/3 + b^4)`  (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `4a^2 + 1/4a^2 - 2 + 4a - 1/a` 

`4a^2 + 1/4a^2 - 2 + 4a - 1/a`

  `= (2a)^2 + (1/(2a))^2 - 2.2a.1/(2a) + 2(2a - 1/(2a))`

  `= (2a - 1/(2a)^2 + 2(2a - 1/(2a))`

  `= (2a - 1/(2a) (2a - 1/(2a) + 2)`  (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `(3a + 1)^3 - (2a - 3)^3` 

`(3a + 1)^3 - (2a - 3)^3`

  `= {(3a + 1) - (2a - 3)} {(3a + 1)^2 + (3a + 1) (2a - 3) + (2a - 3)^2}`

  `= (3a + 1 - 2a + 3) {(3a)^2 + 2.3a. 1 + (1)^2 + 3a. 2a + 1. 2a`

                            `- 3.3a - 3 + (2a)^2 - 2.2a .3 + (3)^2}`

   `= (a + 4) (9a^2 + 6a + 1 + 6a^2 + 2a - 9a - 3 + 4a^2 - 12a + 9`

   `= (a + 4) (19a^2 - 13a + 7)`   (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `(x + 5) (x - 9) - 15` 

`(x + 5) (x - 9) - 15`

  `= x^2 + 5x - 9x - 45 - 15`

  `= x^2 - 4x - 60`

  `= x^2 - 10x + 6x - 60`

  `= x(x - 10) + 6(x - 10)`

  `= (x + 6) (x - 10)`  (Ans)

Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 48` 

`(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) - 48`

  `= (x + 2) (x + 5) (x + 3) (x + 4) - 48`

  `= (x^2 + 2x + 5x + 10) (x^2 + 3x + 4x + 12) - 48`

  `= (x^2 + 7x + 10) (x^2 + 7x + 12) - 48`

   ধরি, `x^2 + 7x + 10 = a`

  :.প্রদত্ত রাশি,

    `= x^2 + 7x + 12 = x^2 + 7x + 10 + 2 = a + 2`

    `= a(a + 2) - 48`

    `= a^2 + 2a - 48`

    `= a^2 + 8a - 6a - 48`

    `= a(a + 8) - 6(a + 8)`

    `= (a + 8) (a - 6)`

    `= (x^2 + 7x + 10 + 8) (x^2 + 7x + 10 - 6)`

                                        [a এর মান বসিয়ে]

    `= (x^2 + 7x + 18) (x^2 + 7x + 4)`

    `= (x^2 + 7x + 4) (x^2 + 7x + 18)`  (Ans)

Question:দেখাও যে, 
  `x^3 + 9x^2 + 26x + 24 = (x + 2) (x + 3) (x + 4)` 

বামপক্ষ  
  `= x^3 + 9x^2 + 26x + 24`

  `= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x - 3`

  `= x^3 + 3.x^2.3 + 3.x.3^2 + 3^3 - (x + 3)`

  `= (x + 3)^3 - (x + 3)`

  `= (x + 3) {(x + 3)^2 - 1}`

  `= (x + 3) {(x + 3)^2 - (1)^2}`

  `= (x + 3) (x + 3 + 1) (x + 3 - 1)`

  `= (x + 3) (x + 4) (x + 2)`

  `= (x + 2) (x + 3) (x + 4)`

   = ডানপক্ষ

    `:. x^2 + 9x^2 + 26x + 24 = (x + 2) (x + 3) (x + 4)` (দেখানো হলো)

Question:দেখাও যে,
  ` (x + 1) (x + 2) (3x - 1) (3x - 4) = (3x^2 + 2x - 1) (3x^2 + 2x - 8)` 

বামপক্ষ,  
 `= (x + 1) (x + 2) (3x - 1) (3x - 4)`

 `= (x + 1) (3x - 1) (x + 2) (3x - 4)`

 `= (3x^2 + 3x - x - 1) (3x^2 + 6x - 4x - 8)`

 `= (3x^2 + 2x - 1) (3x^2 + 2x - 8)`

    = ডানপক্ষ

   `:. (x + 1) (x + 2) (3x - 1) (3x - 4) = (3x^2 + 2x - 1) (3x^2 + 2x - 8)` (দেখানো হলো)

Question:` abx^2 + acx^3 + adx^4, xa^2 - 144b^2 ``x^2 - 2xy - 4y - 4` তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. প্রথম রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। 

  খ. দ্বিতীয় রাশর মান k(a + 12b) হলে k এর মান নির্ণয় কর।

  গ. তৃতীয় রাশিটিকে দুইটি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ কর। 

ক. `abx^2 + acx^3 + adx^4`

   `= ax^2 (b + cx + dx^2)`  (Ans)


  খ. প্রশ্নমতে, `xa^2 - 144xb^2 = k(a + 12b)`

      বা,  `k(a + 12b) = xa^2 - 144xb^2`

      বা, `k(a + 12b) = x{a^2 - (12b)^2}`

      বা, `k(a + 12b) = x(a + 12b) (a - 12b)`

      `:. k = x(a - 12b)` (Ans)


 গ.প্রদত্ত তৃতীয় রাশি,

   `x^2 - 2xy - 4y - 4`

   `= x^2 - 2^2 - 2y (x + 2)`

   `= (x + 2) (x - 2) - 2y(x + 2)`

   `= (x + 2) (x - 2y - 2)`   (Ans)

Question:`2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4; c^2 + b^2 - a^2 + 2bc` দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।

  ক. ২য় রাশিটিকে উৎপাদককে বিশ্লেষণ কর।

  খ. ১ম রাশিটিকে ২টি রাশির বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ কর।

  গ. দেখাও যে, প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক (a + b + c) 

ক. দ্বিতীয় রাশি, 

     `= c^2 + b^2 - a^2 + 2bc`

     `= b^2 + 2bc + c^2 - a^2`

     `= (b + c)^2 - a^2   [:. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2]`

     `= (b + c + a) (b + c - a)`

  :. নির্ণেয় উৎপাদক `= (b + c + a) (b + c - a)` (Ans)


 খ. প্রথম রাশি
  ` = 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

   `= 4b^2 c^2 - 2b^2c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

  ` = 4b^2 c^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2 c^2 - 2c^2 a^2 - 2a^2 b^2)`

   `= 4b^2 c^2 - {(b^2)^2 + (c^2)^2 + (-a^2)^2 + 2.b^2.c^2`

                                   `+ 2.c^2. (- a^2) + 2(- a^2) .b^2}`

    `= (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2`

   :. প্রথম রাশিকে ২টি রাশির বর্গের অন্তররুপে প্রকাশ করে পাই,

     `(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2` (Ans)

  গ. ‘ক’ অংশ হতে প্রাপ্ত দ্বিতীয় রাশির উৎপাদকগুলো হলো

    `(a + b + c) (b + c - a)`

  প্রদত্ত রাশি,  
      `= 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

      `= 4b^2 c^2 - 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 + 2a^2 b^2 - a^4 - b^4 - c^4`

      `= 4b^2 c^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2 c^2 - 2c^2 a^2 - 2a^2 b^2)`

      `= 4b^2 c^2 - {(b^2)^2 + (c^2)^2 + (-a^2)^2 + 2.b^2.c^2 + 2c^2. (- a^2) + 2.(- a^2). b^2}`

      `= (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2`

     ` = (2bc - b^2 - c^2 + a^2) (2bc + b^2 + c^2 - a^2)`

      `= {a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)} {(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}`

      `= {a^2 - (b - c)^2} {(b + c)^2 - a^2}`

      `= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)`

  :. নির্ণেয় উৎপাদক `= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)`

  :. ১ম রাশির উৎপাদক = (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (b + c - a)

  :. ২য় রাশির উৎপাদক = (a + b + c) (b + c - a)

  :. প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক  = (a + b + c) (b + c - a)  (দেখানো হলো)