Question:সমাধান সেট নির্ণয় কর: `(x + a)/(x - b) = (x + a)/(x + c)` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
      `(x + a)/(x - b) = (x + a)/(x + c)`

 বা, `(x + a)(x + c) = (x + a)(x - b)`    [  আড়াগুণন করে  ]

 বা, `(x + a)(x + c) - (x + a)(x - b) = 0`    [  পক্ষান্তর করে  ]

 বা, `(x + a){ (x + c) - (x - b)} = 0`

 বা, `(x + a)(x + c - x + b) = 0`

 বা, `(x + a)(b + c) = 0`

  `:.  x + a = 0`    [  `:. b + c != 0`  ]

  `:. x = - a`

  `:.` নির্ণেয় সমাধান সেট `s = { - a}`

Question:সমাধান সেট নির্ণয় কর: `(z - 2)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)` 

সমাধান: দেওয়া আছে,
      `(z - 2)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `(z - 1 - 1)/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `(z - 1)/(z - 1) - 1/(z - 1) = 2 - 1/(z - 1)`

 বা, `1 - 1/(z - 1) + 1/(z - 1) = 2`

 বা, `1 = 2`

    কিন্তুু এটি সম্ভব নয়।
    সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই। 
    `:.` নির্ণেয় সমাধান সেট, `S = O/`

Question:১. প্রমাণ কর যে, 
(ক) `sqrt(5)` 
(খ) `sqrt(7)`
(গ) `sqrt(10)`
 প্রত্যেকে অমূলদ সংখ্যা। 

সমাধান:(ক) আমরা জানি, `4 < 5 < 9`

 `:.  sqrt(4) < sqrt(5) < sqrt(9)`

  বা, `2 < sqrt(5) < 3`

 সুতরাং `sqrt(5)`এর মান `2` অপেক্ষা বড় এবং `3` অপেক্ষা ছোট।

 অতএব, ‍ `sqrt(5)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। 

 `:. sqrt(5)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

 যদি`sqrt(5)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

 ধরি, `sqrt(5) = p/q`; যেখানে `p`ও `q` উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

 সহমৌরিক এবং `q > 1`

 বা, `5 = p^2/q^2`   [  বর্গ করে  ]

 বা, `5q = p^2/q`     [  উভয়পক্ষকে `q` দ্বারা গূণ করে  ]

 স্পষ্টত: `5q`পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ `p`ও `q`

 স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q > 1`.

 `:. 5q` এবং`p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`5q != p^2/q`

 `:. sqrt(5)` এর মান`p/q` আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

 অথাৎ `sqrt(5) != p/q`.

 সুতরাং`sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা নয়।

 `:. sqrt(5)` অমূলদ সংখ্যা।    (প্রমাণিত)(খ) আমরা জানি, `4 < 7 < 9`

`:.  sqrt(4) < sqrt(7) < sqrt(9)`

 বা, `2 < sqrt(2) < 3`

 সুতরাং `sqrt(7)`এর মান `2` অপেক্ষা বড় কিন্তু `3` অপেক্ষা ছোট।

  অতএব, ‍ `sqrt(7)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। 

 `:. sqrt(7)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

  যদি`sqrt(7)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

 ধরি, `sqrt(7) = p/q`; যেখানে `p`ও `q` উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

 সহমৌরিক এবং `q > 1`

 বা, `7 = p^2/q^2`   [  বর্গ করে  ]

 বা, `7q = p^2/q`     [  উভয়পক্ষকে `q` দ্বারা গূণ করে  ]

 স্পষ্টত: `7q`পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ `p`ও `q`

 স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q > 1`।

 সুতরাং`7q` এবং`p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`7q != p^2/q`

 `:. sqrt(7)` এর মান`p/q` আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

 অথাৎ `sqrt(7) != p/q`.

 সুতরাং`sqrt(7)` মূলদ সংখ্যা নয়।

`:. sqrt(7)` অমূলদ সংখ্যা।    (প্রমাণিত)(গ) আমরা জানি, `9 < 10 < 16`

`:.  sqrt(9) < sqrt(10) < sqrt(16)`

 বা, `3 < sqrt(10) < 4`

 সুতরাং `sqrt(10)`এর মান `3` অপেক্ষা বড় এবং `4` অপেক্ষা ছোট।

 অতএব, ‍ `sqrt(10)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। 

 `:. sqrt(10)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

 যদি`sqrt(10)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

 ধরি, `sqrt(10) = p/q`; যেখানে `p`ও `q` উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও 

 পরস্পর সহমৌরিক এবং `q > 1`।

 বা, `10 = p^2/q^2`   [  বর্গ করে  ]

 বা, `10q = p^2/q`     [  উভয়পক্ষকে `q` দ্বারা গূণ করে  ]

 স্পষ্টত: `10q`পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তুু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ `p`ও `q`

 স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q > 1`।

 সুতরাং `10q` এবং`p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`10q != p^2/q`

 `:. sqrt(10)` এর মান`p/q`এরা আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

 অথাৎ `sqrt(10) != p/q`

 সুতরাং`sqrt(10)` মূলদ সংখ্যা নয়।

`:. sqrt(10)` অমূলদ সংখ্যা।    (প্রমাণিত)

Question:২(ক)`0.31` এবং `0.12` এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। 

সমাধ্যান:মনে করি, একটি সংখ্যা `a = 0.12303003`............
                  এবং অপর সংখ্যা `b = 0.12404004`......
  স্পষ্টত: `a` ও `b` বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই `0.12` অপেক্ষা বড় ও 
  `0.31` অপেক্ষা ছোট। অথাৎ, `0.12 < 0.12303003....... <0.31`
    এবং `0.12 < 0.12404004...... < 0.31`
    আবার, `a` ও `b` কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
      `:. a` ও `b` দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

Question:২(খ)`1/sqrt(2)` এবং `sqrt(2)` এন মধ্যে একটি মূলদ এবং  একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণেয় কর। 

সমাধান: এখানে, `1/sqrt(2) = 0.7071067`.....
  এবং  `sqrt(2) = 1.4142135`.......
  মনে করি, `a = 1.2 = 12/10 = 6/5`
  এবং `b = 1.020020002`.......
   স্পষ্টত:`a` ও `b` দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই `1/sqrt(2)` অপেক্ষা
   বড় এবং  `sqrt(2)` অপেক্ষা ছোট।
   অথাৎ, `1/sqrt(2) < 6/5 < sqrt(2)` এবং
    `1/sqrt(2) < 1.020020002........... < sqrt(2)`।
    ‍`a` কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়
    `:. a` একটি মূলদ সংখ্যা।
    কিন্তুু `b` কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
    `:. b` একটি অমূলদ সংখ্যা।
    `:. a` ও `b` দুইটি নির্ণেয় সংখ্যা যার মধ্যে `a` মূলদ  এবং `b` অমূলদ।

Question:৩(ক)প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। 

সমাধান: মনে করি, `(2x - 1)` একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা, 
   যেখানে `x` যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা।
  তাহলে `(2x - 1)` এর বর্গ `= (2x - 1)^2`
                                 `= (2x)^2 - 2 . 2x . 1 + (1)^2`
                                 `= 4x^2 - 4x + 1` 
                                 `= 4x(x - 1) + 1`
                                 `= 2 . 2x(x - 1) + 1`
  যেহেতু `x` যেকোনো পূর্ণসংখ্যা, সুতরাং `2 . 2x(x - 1) + 1` একটি জোড় সংখ্যা।
 `:. 2 . 2x(x - 1) + 1` সংখ্যাটি বিজোড়।
অতএব, যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
                                                  (প্রমাণিত)

Question:৩(খ)প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল `8` (আট) দ্বারা বিভাজ্য। 

সমাধান: মনে করি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে `2x` ও 
`2x + 2`, যেখানে `x` যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা।
 এদের গুণফল  ` = 2x(2x + 2)`
                 ` = 4x(x + 1)`
যেহেতু `x` ও `(x + 1)` দুইটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা, সুতরাং এদের যে
কোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। এদের গুণফলও জোড় সংখ্যা হবে।
  `:. x(x + 1), 2` দ্বারা বিভাজ্য।
  সুতরাং `4x(x + 1), 4 xx 2 = 8` দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যাব গুণফল `8` দ্বারা বিভাজ্য।
                                                              (প্রমাণিত)

Question:৪.আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:
   (ক) `1/6` 

সমাধান: প্রদত্ত ভগ্নাংশে `= 1/6`
                  এখানে, ` 6 ) 10 ( 0.166`
                                ` 6 `
                              _______
                                ` 40 `
                                ` 36 `
                               ______
                                ` 40 `
                                ` 36 `
                              _______
                                  ` 4 `

        `:.` নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ` = 0.1666....... = 0.16`

Question:৪.আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:
   (খ) `7/11` 

সমাধান: প্রদত্ত ভগ্নাংশ `= 7/11`
                 এখানে, ` 11 ) 70 ( 0.6363 `
                               ` 66 `
                              _________
                               ` 40 `
                               ` 33 `
                             __________  
                                ` 70 `
                                ` 66 `
                             __________
                                 ` 40 `
                                 ` 33 `
                             __________
                                   ` 7 `

          `:.` নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ` = 0.6363......... =0.63`

Question:৪.আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:
   (গ) ` 3 2/9` 

সমাধান: প্রদত্ত ভগ্নাংশ `= 3 2/9`
                         `= 29/9`
                  এখানে, ` 9 ) 29 ( 3.22`
                              ` 27 `
                            ________
                              ` 20 `
                              ` 18 `
                           _________
                              ` 20 `
                              ` 18 `
                           _________
                               ` 2 `

        `:.` নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ  ` = 3.222....... = 3.2 `