Question:১৮.যদি `a^x = b`, `b^y = c` এবং `c^z = a`হয়, তবে দেখাও যে, `xyz = 1`. 

সমাধান: 
  দেওয়া আছে,`a^x = b`, `b^y = c`, `c^z = a`

   এখানে, `c^z = a`

    বা, `(b^y)^z = a`    [ `:. b^y = c`]

    বা, `b^(y z) = a`

    বা, `(a^x)^(y z) = a` [ `:. a^x = b`]

    বা, `a^(x y z) = a^1`

    `:.  xyz = 1`;  [  `a^x = a^y` হলে `x = y` যখন `a > 0, a != 1`  ]

         (দেখানো হলো)

Question:১৯.সমাধান কর: `4^x = 8` 

সমাধান: `4^x = 8`

       বা, `(2^2)^x = 2^3`

       বা, `2^(2 x) = 2^3`

       বা, `2x = 3`     [  `a^x = a^y` হলে `x = y; a > 0, a != 1`]

     `:. x = 3/2`

     `:.` নির্ণেয় সমাধান`x = 3/2`

Question:২০.সমাধান কর: `2^(2x + 1) = 128` 

সমাধান:`2^(2x + 1) = 128` 

       বা,`2^(2x + 1) = 2^7`

       বা,`2x + 1 = 7`;   [  `a^x = a^y` হলে `x = y; a > 0, a != 1` ]

       বা,`2x = 7 - 1`

       বা,`2x = 6`

       বা,`x = 6/2`

       `:.  x = 3`

          `:.` নির্ণেয় সমাধান: `x = 3`

Question:২১. সমাধান কর:`(sqrt(3))^(x + 1) = (root(3)(3))^(2x - 1)` 

সমাধান: `(sqrt(3))^(x + 1) = (root(3)(3))^(2x - 1)`

       বা, `(3^(1/3))^(x + 1) = (3^(1/3))^(2x - 1)`

       বা, `3^((x + 1)/2) = 3^((2x - 1)/3)`

       বা, `(x + 1)/2 = (2x - 1)/3`;      [  `a > 0, a != 1` শর্তে `a^x = a^y` হলে `x = y` ]

       বা, `3(x + 1) = 2(2x - 1)`

       বা, `3x + 3 = 4x - 2`

       বা, `4x - 2 = 3x + 3`

       বা, `4x - 3x = 3 + 2`

        `:.  x = 5`

        `:.` নির্ণেয় সমাধান: `x = 5`

Question:২২.সমাধান কর: `2^x + 2^(1 - x) = 3` 

সমাধান: 
   `2^x + 2^(1 - x) = 3`

     বা, `2^x + (2^1)/(2^x) = 3`

     বা, `a + 2/a = 3`    [ `2^x = a` ধরে ]

     বা, `(a^2 + 2)/a = 3`

     বা, `a^2 + 2 = 3a`

     বা, `a^2 - 3a + 2 = 0`

     বা, `a^2 - 2a - a + 2 = 0`

     বা, `a(a - 2) - 1(a - 2) = 0`

     বা, `(a - 2)(a - 1)= 0`

     হয়,  `a - 2 = 0` অথবা, `a - 1 = 0`

     বা, `a = 2`         বা, `a = 1`

     বা, `2^x = 2^1`  বা, `2^x = 2^0`

    `:.  x = 1`         `:.  x = 0`;    
             [  `a > 0, a != 1` শর্তে `a^x = a^y` হলে `x = y` ]

     `:.`  নির্ণেয় সমাধান, `x = 0, 1`

Question:১.দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে `a` মিটার এবং `b`মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: ১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ` = a` মিটার

  `:.`১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= a xx a` বর্গমিটার  `= a^2` বর্গমিটর

    ২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য `= b` মিটার

  `:.`২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= b xx b` বর্গমিটার `= b^2` বর্গমিটার

   এখন,`"১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল "/"২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল"` = `(a^2)/(b^2)`

   `:.`১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল`= a^2 : b^2`  

     Ans.`a^2 : b^2`

Question:২.একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর। 

সমাধান: মনে করি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ `r`একক এবং বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য `x`একক।
        
  আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল `= pi r^2`বর্গ একক

  বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= x^2`বর্গ একক

  `:.`প্রশ্নমতে,
                  
      `pi r^2 = x^2`

       বা,`r^2/x^2 = 1/pi`
 
       বা,`r/x = 1/(sqrt(pi))`..............(i)

       আবার, বৃত্তের পরিসীমা `= 2 pi r`একক

      এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা `= 4 x` একক

     `:. "বৃত্তের পরিসীমা"/"বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা"= (2 pi r)/(4 x)`

         `= (pi r)/(2 x)`

         `= pi/2 xx r/x`

         `= pi/2 xx 1/(sqrt(pi))` [ (i)নং থেকে মান বসিয়ে ]

         `= (sqrt(pi))/2`

     `:.`বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা`=sqrt(pi) : 2`

       Ans.`sqrt(pi) : 2`

Question:৩.দুইটি সংখ্যার অনুপাত `3 : 4` এবং তাদের ল. সা. গু. `180`; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। 

সমাধান: মনে করি, সংখ্যা দুইটি `3x`এবং`x`
                                 [ `x` অনুপাতের সাধারণ গুণিতক ]

    `3x` এবং `4x` এর ল. সা. গু. `=3 xx 4 xx x`

                                   `= 12x`

   প্রশ্নমতে, `12x = 180`

    বা,`x =(180)/(12)`

    `:. x = 15`

   `:.` ১ম সংখ্যা `= 3 xx 15 = 45` এবং

     ২য় সংখ্যা `= 4 xx 15 = 60`

     Ans. `45`ও `60`

Question:৪.একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত `1 : 4`,অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর। 

সমাধান: মনে করি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা `= x`

    এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা `= 4x` [  এখানে, `x`ধনাত্নক আনুপাতিক ধ্রুবক  ]

     মোট ছাত্র সংখ্যা `= x + 4x = 5x`

  `:.`অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার `="অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্য"/"মোট ছাত্র সংখ্যা" xx 100%` 

                                           `= x/(5x) xx 100%` 

                                           `= 20%` 

                  Ans.`20%`

Question:৫.একটি দ্রব্য ক্রয় করে `28%`ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণেয় কর। 

সমাধান:মনে করি, ক্রয়মূল্য `= 100` টাকা

   `:. 20%` ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য `= ( 100 - 28 )`টাকা

                                `= 72` টাকা

    `:. "বিক্রয়মূল্য"/"ক্রয়মূল্য"`

     `= (72)/(100)`

     `= (18)/(25)`

     `:.` বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য`= 18 : 25`

          Ans. `18 : 25`