Question:১৩.> সরল কর: 
   ক. `(0.3 xx 0.83) -: (0.5 xx 0.1) + 0.35 -: 0.08`

   খ. `[(6.27 xx 0.5) -: {(0.5 xx 0.75) xx 8.36}]`

      `-: {(0.25 xx 0.1) xx (0.75 xx 21.3) xx 0.5}` 

ক.  `(0.3 xx 0.83) -: (0.5 xx 0.1) + 0.35 -: 0.08`
  
      `= ((3/9) xx (83 - 8))/(90) -: (5/(10 xx 1/9)) + (35 - 3)/(90) -: 8/(90)`

      `= (1/3 xx (75)/(90)) -: 5/(90) + (32)/(90) -: 8/(90)`

      `= 5/(18) -: 5/(90) + (32)/(90) xx (90)/8`

      `= 5/(18) xx (90)/5 + 4`

        = 5 + 4

        = 9

   :. নির্ণেয় সরলফল = 9 




  খ.` [(6.27 xx 0.5) -: {(0.5 xx 0.75) xx 8.36}]`

         `-: {(0.25 xx 0.1) xx (0.75 xx 21.3) xx 0.5}`

    
     `= [((627)/(100) xx 5/(10)) -: {(5/(10) xx (75)/(100)) xx (836)/(100)}] `

      
         `-:{((25)/(100) xx 1/(10) xx ((75)/(100) xx (213 - 21)/9) xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: {3/8 xx (836)/(100)}] -: {1/(40) xx 3/4 xx (192)/9 xx 5/(10)}`

     
     `= [(627)/(200) -: (627)/(200)] -: {1/(40) xx 16 xx 1/2}`

     `= [(627)/(200) xx (200)/(627)] -: 1/5`

     `= 1 -: 1/5 = 1 xx 5 = 5`

     :. নির্ণেয় সরলফল = 5

Question:১৪.> `sqrt(5)` ও 4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।

   ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ সংখ্যা নির্দেশ কর।

   খ. `sqrt(5)`ও 4 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

   গ. প্রমাণ কর যে, `sqrt(5)` একটি অমূলদ সংখ্যা। 

ক. যেহেতু 5 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। 

    সেহেতু `sqrt(5)` সংখ্যাটি অমূলদ।

     `4 = 4/1` যা মূলদ  [`p/q` আকারে লেখা যায়]

      :. 4 সংখ্যাটি মূলদ।

 
 খ. এখানে, `sqrt(5)` = 2.236067........

      মনে করি, a = 2.4040040004.......

          এবং b = 2.5050050005........

    স্পষ্টত a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই `sqrt(5)`অপেক্ষা বড়

     ও  4 অপেক্ষা ছোট।

     অর্থাৎ`sqrt(5) <a <4` এবং `sqrt(5) <b <4`

     আবার a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

      :. a ও b নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় যেখানে উভয় সংখ্যাই অমূলদ।

      [ বি:দ্র: এভাবে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যাবে। ]

 
  গ.   আমরা জানি, 4 <5 <9

       `:. sqrt(4) < sqrt(5) < sqrt(9)`

        বা, `2< sqrt(5) <3`

      `:. sqrt(5),` 2 থেকে বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

        অতএব`sqrt(5)` পূর্ণ সংখ্যা নয়।

       `:. sqrt(5)`মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা। 

         যদি`sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা হয় তবে

         ধরি `sqrt(5) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

          সহমৌলিক এবং  q>1।

          বা, `5 = p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `5q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা ভাগ করে]

           স্পষ্টত, `5q` পূর্ণ সংখ্যা।

           কিন্তু `p^2/q`পূর্ণ  সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা 

                 সহমৌলিক এবং q>1।

           সুতরাং`p^2/q`, 5q এর সমান হতে পারে না, অর্থাৎ`5q != p^2/q`

            অতএব, `sqrt(5)` এর মান `p/q` এর আকারের কোনো সংখ্যাই হতে

            পারে না, অর্থাৎ `sqrt(5) != p/q`

           `:. sqrt(5)` মূলদ সংখ্যা নয়।

              সুতরাং `sqrt(5)` অমূলদ সংখ্যা।

Question:1.>`a = sqrt(5), b = sqrt(27/3), c = sqrt(6),` d = π

  ক. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সনাক্ত কর।

  খ. প্রমান কর যে, c একটি অমূলদ সংখ্যা।

  গ. b ও d এর মাঝে দুইটি মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে,

             `a = sqrt(5), b = sqrt(27/3), c = sqrt(6), d = π`

    এখানে, `b = sqrt(27/3) = sqrt(9) = 3`যা একটি পূর্ণসংখ্যা।
 
     মূলদ সংখ্যা = b ও অমূলদ সংখ্যা = a, c, d




   খ.  আমরা জানি, `4<6<9`

                `:. sqrt(4) <sqrt(6) <sqrt(9)`

               বা, `2<sqrt(6) <3`

               সূতরাং,`sqrt(6)`এর মান 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।

              অতএব, `sqrt(6)`পূর্ণ সংখ্যা নয়।

              `:. sqrt(6)` মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

              যদি, `sqrt(6)`মূলদ সংখ্যা হয় তবে

              ধরি, `sqrt(6) = p/q;`যেখানে  p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর

                     সহমৌলিক এবং `q>1`

               বা, `6 = p^2/q^2` [বর্গ] করে 

               বা, `6q = p^2/q` [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে ]

               স্পষ্টত: 6q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু `p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q

               স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং `q>1`।

               সুতরাং 6q এবং `p^2/q`সমান হতে পারে, অর্থাৎ, `6q != p^2/q`

               `:. sqrt(6)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যাই হতে পারে না,

                অর্থাৎ `sqrt(6) != p/q`

                সুতরাং `sqrt(6)`

                 `:. sqrt(6)`অমূলদ সংখ্যা।

 

 গ.    দেওয়া আছে, `b = sqrt(27/3)` = 3; d = π = 3.14159.........

           b ও d এর মাঝে দুইটি মূলদ সংখ্যা:

          (i) 3.1 বা `(31)/(10)`

         (ii) 3.12 বা `(78)/(25)`

          b ও d এর মাঝে দুইটি অমূলদ সংখ্যা:

          মনে করি,

          x = 3.01001000100001...........

          y = 3.101001000100001.....

          স্পষ্টত: x ও y উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 3

          অপেক্ষা বড় এবং 3.14159....... অপেক্ষা ছোট।

          অর্থাৎ 3<3.01001000100001.....<3.14159.......

          এবং  3<3.101001000100001......<3.14159......

           আবার,  x ও y কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

           :. x ও y দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

Question:২.> 1.23, 0.1052 ও 5.3952 তিনটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

 ক. প্রথম দশমিক ভগ্নাংশটিকে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

 খ. ভগ্নাংশ তিনটিকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে

     যোগ কর।

 গ. শেষ ভগ্নাংশটিকে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।

     এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূলের আসন্ন মান নির্ণয় কর। 

ক. প্রথম দশমিক ভগ্নাংশ হলো 1.23

      সুতরাং `1.23 = (123 - 12)/(90)`

                   ` = (111)/(90)`

                   ` = (37)/(30)`

                   ` = 1 (7)/(30)`

      :. 1.23 কে সামান্য দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত 

      করা হলো `1 (7)/(30)`


 খ.  1.23, 0.1052, 5.3952 আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক 

     সংখ্যা 1, 2 1. এখানে অনাবৃত্তর অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 

     আছে 2 বার। তাই দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2। আবার 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1, 2, 3 এর ল.সা.গু 6। সুতরাং আবৃত্ত 

      অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6

       1.23                = 1.23333333.|33

       0.1052            =  0.10525252.|52

       5.3952            =  5.39529529.|52
     ------------------------------------------
                             = 6.733881151.|37

    :. নির্ণেয় যোগফল 6.73388115 (Ans)


  গ.  শেষ ভগ্নাংশটি = 5.3952 = 5.39529529

          এখানে, 2|5.39529529|2.3227

                      4
                   -------------------
                  43|139

                       126
                    ----------------
                   462|1052

                            924
                       -----------------
                     4642|12895

                                9284
                           -------------
                       46447|361129

                                 325129
                              --------------
                                   36000

        অতএব 5.3952 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.3227

        এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.323

       :. নির্ণেয় বর্গমূল 2.3227, 2.323

Question:৩.> `3/4, 5, - 7, 0.323, 0,1, 9/7, 12, 2 4/5, 1.1234......sqrt(3)`

   সকলেই বাস্তব সংখ্যা।

   ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা আলাদা কর।

   খ. সংখ্যাগুলোকে বাস্তব সংখ্যার শ্রেণীবিন্যাসের অবস্থান দেখাও।

   গ. দেখাও যে, উদ্দীপকের শেষ সংখ্যাটি একটি অমূলদ সংখ্যা। 

ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে মূলদ সংখ্যা হলো:

    `3/4, 5, - 7,0.323,0,1,9/7, 12, 2 4/5`

     সংখ্যাগুলোর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা হলো 1.1234...........`sqrt(3)`


 খ.

Question:৪.> 1.723, 0.0025, 2.1356124.....,0.0105105.....

     0.450123....0.41

     ক. উপাত্তের কোনগুলো সসীম দশমিক ভগ্নাংশ?

     খ. ভগ্নাংশগুলোকে কারণসহ শ্রেণীবিন্যাস কর।

     গ. শ্রেণী বিন্যাস প্রাপ্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে

        রুপান্তর কর। 

ক. সংখ্যাগুলোর মধ্যে সসীম দশমিক সংখ্যা হচ্ছে 1.723, 0.0025

 খ. 1.723,0.0025 সংখ্যাদ্বয় সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ দশমিক,

     ‍বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা ‍নির্দিষ্ট।

     2.1356124  সংখ্যাগুলো অসীম দশমিক ভগ্নাংশ, কারণ, দশমিক 

     বিন্দুর ডানদিকে অঙ্কগুলো নয় এবং অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্ত হচ্ছে না।

     0.0105105........ 0.41 সংখ্যাগুলো আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ 

     কারণ দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কগুলো বা অংশবিশেষ পুনরাবৃত্ত হচ্ছে।

 গ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো 0.0105105..... 0.41

     এখন, 0.0105105.... = 0.0105 `= (105 - 0)/(9990)`

       `= (105)/(9990) = 7/(666)`

      এবং `0.41 = (41 - 0)/(99) = (41)/(99)`

Question:৫.> 2.01243, 7.5256; 2.097, 5.12768 দুই জোড়া আবৃত্ত

     দশমিক ভগ্নাংশ।

   ক.প্রথম জোড়া ভগ্নাংশকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে প্রকাশ কর।

   খ. প্রথম জোড়া ও ‍দ্বিতীয় জোড়া ভগ্নাংশগুলোকে আলাদা করে 

ক. 2..01243 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3।

    7.5256 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 ও আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2।

     এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি 

     হলো 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 3 ও 2 এর ল.সা,গৃ হলো 6।

     সুতরাং, প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 6।

     2.01243 = 2.01243243

     7.5256 = 7.52565656

     :. আবৃত্ত দশমিকসমৃহ = 2.01243243, 7.52565656 (Ans)


 

 খ. এখানে,    2.01243 = 2.01243243|24

                 7.5256  = 7.52565656|56
               --------------------------------
                             = 9.53808899|80


      :. প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899

       ‍দ্বিতীয় জোড়া  ‍2.097 ও 5.12768

      প্রদত্ত সংখ্যাগুলোতে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং 

      আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 3 এর ল.সা,গু 6।

      নিম্নে দশমিক সংখ্যাগুলোকে সদৃশ করে যোগ করা হলো।

      2.097           = 2.09797979|79

      5.12768       = 5.12768768|76
    ---------------------------------------
                         = 7.22566784|55

     :.  দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল = 7.22566784 (Ans)

 গ. এখন প্রথম জোড়ার যোগফল = 9.53808899|80

     দ্বিতীয় জোড়ার যোগফল      = 7.22566784|56
                              ---------------------------
                                   = 2.31242151|24    (Ans)

Question:৬.> 22.0394 ও 9.12645; 1.13 ও 2.6 দুই জোড়া দশমিক ভগ্নাংশ।

   ক. ১ম জোড়ার বিয়োগফল কত?

   খ. ২য় জোড়ার গুণফল কত?

   গ. প্রাপ্ত বিয়োগফলকে প্রাপ্ত গুণফল দ্বারা ভাগ করে ভাগফল নির্ণয় কর। 

ক. প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ে অনাবৃত্ত অংশের সর্বোচ্চ অঙ্ক সংখ্যা 2 এবং আবৃত্ত 

   অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 3 এর ল.সা,গু 6

   নিচের দশমিক সংখ্যা দুইটিকে সদৃশ করে বিয়োগ করা হলো।

   23.0394     = 23.03949494|94

   9.12645     =  9.12645645 |64
             ------------------------------
                   = 13.91303849 |30


     :. বিয়োগফল = 13.91303849 (Ans)


খ.`1.13 = (113 - 11)/(90)`

           `= (102)/(90)`

           `= (17)/(15)`

     `2.6  = (26)/(10)`

          ` = (13)/5`

  `:. 1.13 xx 2.6 = (17)/(15) xx (13)/5`

                      `= (221)/(75)`

                        = 2.94666....

                        = 2.946

              :. গুণফল = 2.946

 গ. ১ম জোড়ার ‍বিয়োগফল =13.91303849

     ২য় জোড়ার গুণফল    = 2.946

    এখানে, 13.91303849`= (1391303849 - 1391)/(999999)`

                              ` = (1391302458)/(999999)`

      এবং 2.946 `=(2946 - 294)/(900)`

                    `= (2652)/(900)`

     `:. (1391302458)/(999999) -: (2652)/(900)`

      `= (1391302458)/(999999) xx (900)/(2652)`

        = 472.16194 (Ans)

Question:৭.> 1, 3, 5, 7, 9........ইত্যাদি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     ক. সংখ্যাগুলোকে একটি সাধারণ রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর।

     খ. দেখাও যে, প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

     গ. দেখাও যে, প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে

         প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 থাকে। 

ক. ১ম সংখ্যা   =` 1 = 2 xx 1 - 1`

            ২য় সংখ্যা   =` 3 = 2 xx 2 - 1`

            ৩য় সংখ্যা   =` 5 = 2 xx 3 - 1`

            ৪র্থ সংখ্যা  =` 7 = 2 xx 4 - 1`

           ......................................

           ......................................

          n তম সংখ্যা = `2 xx n - 1 = 2n - 1`

          নির্ণেয় সাধারণ রাশি (2n - 1) যেখানে ` n in NN`

          উত্তর:  (2n - 1)

 খ. ’ক’ হতে পাই, উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাগুলোর সাধারণ রাশি = 2n - 1

     যেখানে `n in NN`

     এখানে প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা দেখানোর জন্য এটা প্রমাণ 

      করাই যতেষ্ট হবে যে, `(2n - 1)^2` একটি বিজোড় সংখ্যা।

      এখন, `(2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1`

                               = `4n^2 - 4n + 2 - 1`

                               = `2(2n^2 - 2n + 1) - 1`

                               =` 2m - 1 [2n^2 - 2n + 1 = m`ধরে যেখানে `m in NN`]

             m এর যেকোনো মানের জন্য 2m - 1 একটি বিজোড় সংখ্যা।

             সুতরাং প্রদত্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ সর্বদা বিজোড় সংখ্যা।

   গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।

       ধরি, x যেকোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

       :. x = 1 হলে, `x^2 = 1^2 = 1` যাকে 8 দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       এখন x > 1 হলে, x = 2n + 1 লেখা যায় যেখানে `n in NN`.

          `:. x^2 = (2n + 1)^2`

                    `= 4n^2 + 4n + 1`

                   ` = 4n(n + 1) + 1` 


       এখানে n এবং n + 1 রাশি দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং এদের মধ্যে 

       একটি জোড় সংখ্যা হবেই।

       :. 4n(n + 1) রাশিটি `4 xx 2` বা, 8 দ্বারা বিভাজ্য। ফলে 4n(n + 1) + 1 রাশিটিকে 

        দ্বারা ভাগ করলে 1 ভাগশেষ থাকবে।

       অতএব প্রদত্ত যেকোনো সংখ্যার বর্গকে 8 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

Question:স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো ইত্যাদি

 ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো লিখ।

 খ. প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. প্রমাণ কর যে, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে

     যোগফল একটি র্পণবর্গ সংখ্যা হবে। 

ক. ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 4, 6, 8ইত্যাদি।

 খ. মনে করি, x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

     :. 2x হবে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

     এখন 2x, 2x + 2  দুইটি ক্রমিক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা

      তাহলে 2x(2x + 2) = 2.2x(x + 1) = 4x(x + 1)

       যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে দুইটি x (x + 1)

       ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা, যেখানে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। 

       ফলে x(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা হবে।

       মনে করি x(x + 1) = 2m যেখানে m স্বাভাবিক সংখ্যা।

       4x(x + 1) `= 4 xx 2m`

        বা 2x(2x + 2) = 8m যা 8 দ্বারা বিভাজ্য

       অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য।

 গ. মনে করি চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে

     x, x + 1, x + 2, x + 3

     ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,

     x(x + 1) (x + 2 (x + 3) + 1

     = x(x + 3) (x + 1) (x + 2) + 1

     = `(x^2 + 3x) (x^2 + 3x + 2) + 1`

     = a(a + 2) + 1; `[x^2 + 3x = a]`

     =` a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2`

     = `(x^2 + 3x + 1)^2`  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার 

     :.চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলে সাথে 1 যোগ করলে যোগফল 

     একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।