Question:16>. `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c` হলে প্রমাণ কর যে,

      `x/a = y/b = z/c` 

মনে করি,

     `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c = k`

       :. bz - cy = ak.......(i)

       :. cx - az = bk.......(ii)
  
       :. ay - bx = ck........(iii)

    এখন  (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণকে যথাক্রমে a, b এবং 

    c দ্বারা গুণ করে পাই, 
      
      abz - acy = `a^2k`

      bcx - abz =` b^2k`

      acy - cbx = `c^2k`
 ---------------------------------
     0 =` k(a^2 + b^2 + c^2)` [ যোগ করে ]

  :. k = 0    [:. a, b, c  ধ্রবক হওয়ায় `a^2 + b^2 + c^2 != 0`]

  তাহলে `(bz - cy)/a = 0`  আবার `(cx - az)/b = 0`

         বা, bz - cy = 0            বা,  cx - az = 0

         বা, bz = cy                 বা,  cx = az

   `:. z/c = y/b......(iv)`    `:. x/a = z/c..........(v)`

   (iv) ও (v) নং হতে `x/a = y/b = z/c` (প্রমানিত)


   বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,

         `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c`

        বা,`(abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2`

         [প্রত্যেকটি অনুপাতের লব ও হরকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা গুণ করে]

        এখন উপরিউক্ত অনুপাত তিনটির লবের রাশিগুলোর সমষ্টি

       = abz - cay + bcx - abz + cay - bcx = 0

   `:.  (abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2 0/(a^2 + b^2 + c^2)`

   [:.অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী `a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`]

   বা,`(abz - cay)/a^2 = 0`    বা,` (bcx - abz)/b^2 0`  

   বা, `(a(bz - cy))/a^2 = 0`    বা, `(b(cx - az))/b^2 = 0`

   বা, `(bz - cy)/a = 0`           বা,  `(cx - az)/b = 0`

     বা, bz - cy = 0                  বা,  cx = az = 0

     বা, bz = cy                        বা, cx = az

    `:. z/c = y/b .....(i)     :.  x/a = z/c ........(ii)`

   (i) নং ও (ii) হতে  `x/a = y/b = z/c`      (প্রমাণিত)

Question:15.> `x/(b + c) = y/(c + a) = z/(a + b)` হলে, প্রমাণ কর যে, 

  `a/(y + z - x) = b/(z + x -y) = c/(x + y - z)` 

মনে করি, 

 `x/(b + c) = y/(c + a) = z/(a + b) = k`

 :. x = k (b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)

  এখন,     y + z - x = k(c + a) + k(a + b) - k(b + c)

                       = k(c + a + a + b - b - c) = 2ak

  :. `a/(y + z - x) = a/(2ak) = 1/(2k)`

  আবার, z + x - y = k(a + b) + k(b + c) - k(c + a)

                     = k(a + b + b + c - c - a)

                     = 2bk

  :. `b/(z + x - y) = b/(2bk) = 1/(2k)`

  আবার,  x + y - z = k(b + c) + k(c + a) - k(a + b)

                       = k(b + c + c + a - a - b)

                       = 2ck

 `:. c/(x + y - z) = c/(2ck) = 1/(2k)`

  যেহেতু,   `a/(y + z - x), b/(z + x - y),`এবং `c/(x + y - z)`

  প্রত্যেকটি অনুপাত `1/(2k)` এর সমান।

  `:. a/(y + z - x) = b/(z + x - y) = c/(x + y - z)`

Question:১৪.> `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = ((a + b)^2)/((b + c)^2)` হলে প্রমান কর যে, 

    a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি। 

দেওয়া আছে,

   `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(b + c)^2`

    বা, `(b + c)^2/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(a^2 + b^2)` [একান্তরকরণ করে]

    বা,`(b^2 + c^2 + 2bc)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab)/(a^2 + b^2)`

    বা, `(b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab - a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)`
           [যোজন-বিয়োজন করে]

    বা,`(2bc)/(b^2 + c^2) = (2ab)/(a^2 + b^2)`

    বা, `c/(b^2 + c^2) = a/(a^2 + b^2)` [উভয় পক্ষকে 2b দ্বারা ভাগ করে]

    বা, `ab^2 + ac^2 = a^2c + b^2c`

    বা, `ac^2 - a^2c = b^2c - ab^2`

    বা, `ac (c - a) = b^2 (c - a)`

    বা, `ac = b^2`

    বা, `(ac)/(bc) = (b^2)/(bc)` [উভয়পক্ষকে bc দ্বারা ভাগ করে]

    বা, `a/b = b/c`

    :.  a : b = b : c

    :. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।

Question:17.> `(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` এবং

  `a + b + c != 0`হলে, প্রমাণ কর যে, a = b = c 

দেওয়া আছে, 

 `(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` ` a + b + c != 0`

   বা, `(a + b - c - a - b)/(a + b) = (b + c - a - b - c)/(b + c) = (c + a - b - c - a)/(c + a)`
        [বিয়োজন করে]

   বা, `(-c)/(a + b) = (- a)/(b + c) = (- b)/(c + a)`

   বা, `c/(a + b) = a/(b + c) = b/(c + a)` [(-) দ্বারা গুণ করে]

   বা, `(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b` [ব্যস্তকরণ করে]

   বা, `(a + b + c)/c = (b + c + a)/a = (c + a + b)/b` [যোজন করে]

   বা, `1/c = 1/a = 1/b`

        [(a + b + c) দ্বারা ভাগ করে যেখানে `a + b + c != 0`]

    বা, c = a = b [ব্যস্তকরণ]

    :. a = b = c (প্রমাণিত)

Question:18.> `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`

  এবং `x + y + z != 0`হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত  =`1/(a + b + c)` 

মনে করি, 

  `x/(xa + yb + zc) = y(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc) = k`

   :. x = k(xa + yb + zc).........(i)

   y = k(ya + zb + xc).............(ii)

   z = k(za + xb + yc).............(iii)

   (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

   x + y + z = k(xa + ya + za + yb + zb + xb + zc + xc + yc)

   বা, x + y + z = k{x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)}

   বা, x + y + z = k(a + b + c) (x + y + z) 

   বা, (x + y + z) - k(a + b + c) (x + y + z) = 0

   বা, (x + y + z) {(1 - k(a + b + c)} = 0

   :. 1 - k(a + b + c) = 0  [:. `x + y + z != 0` ]

    বা, 1 = k(a + b + c)

    `:. k = 1/(a + b + c)`

  :. প্রতিটি অনুপাতের মান` = 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো )

   
   বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,

  `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`

    অনুপাতের ধর্ম হতে আমরা জানি,

   `a/b = b/c = c/d` ` a/b = c/b = c/d = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`

    :. প্রদত্ত অনুপাত তিনটির প্রত্যেকটি নিমোক্ত অনুপাতের সমান হবে,

   `(x + y + z)/(xa + yb + zc + ya + zb + xc + za + xb + yc)`
                     [লব ও হরের রাশিগুলোকে যোগ করে]

   `= (x + y + z)/(xa + xb + xc + ya + yb + yc + za + zb + zc)`

   `= (x + y + z)/(x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c))`

   `= (x + y + z)/((x + y + z) (a + b + c))`

   `= 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো)

Question:19.> (a + b + c) p = (b + c - a) q = (c + a - b) r

 = (a + b + c) s হয়, তবে প্রমাণ কর যে, `1/q + 1/r + 1/s = 1/p` 

মনে করি,

 (a + b + c) p = (b + c - a) q = (c + a - b) r

      = (a + b - c) s = k

      :. p (a + b + c) = k

      বা, p `= k/(a + b + c)`

      :. `1/p = (a + b + c)/k`........(i)

       আবার,  q (b + c - a) = k

       বা, `q = k/(b + c - a)`

       :. `1/q = (b + c - a)/k`.........(ii)

        আবার, r (c + a - b) = k

        বা,  r = `k/(c + a - b)`

        :. `1/r = (c + a - b)/k`...........(iii)

        এবং  s (a + b - c) = k

        বা,  s =` k/(a + b - c)`

        :.` 1/s = (a + b - c)/k`..........(iv)

    (ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

    `1/q + 1/r + 1/s = (b + c - a)/k + (c + a - b)/k + (a + b - c)/k`

    `= 1/k (b + c - a + c + a - b + a + b - c)`

    `= (a + b + c)/k`

    `= 1/p` [(i) নং থেকে]

     :. `1/q + 1/r + 1/s = 1/p`  (প্রমাণিত)

Question:২১.> যদি `p/q = a^2/b^2` `a/b = (sqrt(a + q))/(sqrt(a - q))` হয়, তবে 

       দেখাও যে, `(p + q)/a = (p - q)/q` 

দেওয়া আছে, 

 `p/q = a^2/b^2`

  বা, `(p + q)/(p - q) = (a^2 + b^2)/(a^2 - b^2)` [যোজন-বিয়োজন করে].........(i) 
  
   আবার, `a/b = (sqrt(a + q))/(sqrt(a - q))`

   বা, `a^2/b^2 = (a + q)/(a - q)`; [বর্গ করে] 

   বা, `(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = (a + q + a - q)/(a + q - a + q)` [যোজন-বিয়োজন করে]

   বা, `(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = (2a)/(2q)`

    :.` (a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = a/q`..........(ii)

    (i) এবং (ii) নং থেকে পাই,

   `(p + q)/(p - q) = a/q`

    বা, `(p + q)/a = (p - q)/q` (দেখানো হলো)

Question:১.> a, b, c, ও d ক্রমিক সমনাুপাতিক হলে,

   ক. a, b, c, d এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর।

   খ. দেখাও যে, `(a^2 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

   গ.  a, b, c এর ক্ষেত্রে `a^2 b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

    ` = a^3 + b^3 + c^3` সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই করে। 

ক. a, b, c ও d `a/b = b/c = c/d` ক্রমিক সমানুপাতিক হলে

 খ. দেওয়া আছে,` a/b = b/c = c/d`

       ধরি, `a/b = b/c = c/d = k`

          :. c = dk

         b = ck = dk.k = `dk^2`

       `a = bk = dk^2.k = dk^3`

  বামপক্ষ 
     `= (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = ((dk^3)^3 + (dk^2)^3)/((dk^2)^3 + (dk)^3`)

     `= (d^3k^9 + d^3k^6)/(d^3k^6 + d^3k^3) = (d^3k^3(k^3 + 1))/(d^3k^3(k^3 + 1)) = k^3`

  ডানপক্ষ  
    `= (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3) = ((dk^2)^3 + (dk)^3)/((dk)^3 + d^3)`

    `= (d^3k^6 + d^3k^3)/(d^3k^3 + d^3) = (d^3k^3 (k^3 + 1))/(d^3 (k^3 + 1)) = k^3`

     :. `(a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` (দেখানো হলো)

 
  গ. বামপক্ষ 
      `= a^2b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

      `= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

      `= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`

      `= (b^2c^2)/a + (ac)^2/b + (a^2b^2)/c`

      `= (ac.c^2)/a + (b^2)^2/b + (a^2.ac)/c` [:. ac `= b^2`]

      `= c^3 + b^4/b + a^3 = c^3 + b^3 + a^3`

      `= a^3 + b^3 + c^3`

        = ডানপক্ষ

      :. `a^2b^2c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3` (প্রমাণিত)

Question:২.> a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি এবং `x = (10ab)/(a + b)`

 ক. a, b, c এর মান d এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

 খ. প্রমান কর যে,`(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

      `= (ab + bc + cd)^2. 8`

 গ. সমানুপাতের ধর্ম ব্যবহার করে দেখাও যে,` (x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = 2.8` 

ক. দেওয়া আছে, a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।

  সুতরাং `a/b = b/c = c/d`

  ধরি,  `a/b = b/c = c/d = k`

          :. c = dk

  এবং  ` b = ck = dk.k = dk^2`

  এবং  `a = bk = dk^2.k = dk^3`


  খ. ’ক’ থেকে প্রাপ্ত `c = dk, b = dk^2, a = dk^3`

  বামপক্ষ 
    `= (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

    `= {(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2} {(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2}`

    `= {d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2} {d^2k^4 + d^2k^2 + d^2}`

   ` = d^2k^2 (k^4 + k^2 + 1) xx d^2 (k^4 + k^2 + 1)`

    `= d^2 xx d^2 k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

    `= d^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

  ডানপক্ষ  
     `= (ab + bc + cd)^2`

     `= (dk^3 xx dk^2 + dk^2 xx dk + dk xx d)^2`

     `= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2`

     `= {d^2k (k^4 + k^2 + 1)}^2`

     `= d^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

     :. `(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + sd)^2`(প্রমাণিত)

  গ. দেওয়া আছে, `x = (10ab)/(a + b)`

                  `x/(5a) = (2b)/(a + b)`

                `(x + 5a)/(x - 5a) = (2b + a + b)/(2b - a - b)` [যোজন-বিয়োজন]

                `(x + 5a)/(x - 5a) = (a + 3b)/(b - a)`..........(i)

        আবার, `x = (10ab)/(a + b)`

                 `x/(5b) = (2a)/(a + b)`

                 `(x + 5b)/(x - 5b) = (2a + a + b)/(2a - a - b)` [যোজন-বিয়োজন]

                ` (x + 5b)/(x - 5b) = (3a + b)/(a - b)`............(ii)

                   (i) নং ও (ii) নং যোগ করি,

                  `(x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = (a + 3b)/(b - a) = (a + 3b - 3a - b)/(b - a)`

                  `= (a + 3b)/(b - a) - (3a + b)/(b - a) = (a + 3b - 3a - b)/(b - a)`

                  `= (2b - 2a)/(b - a) = (2(b - a))/(b - a)`

                    = 2

                  `:. (x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = 2` (দেখানো হলো)

Question:4.> `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x - sqrt(1 - x))`

 ক. p = 1 হলে  x এর মান কত?

 খ. প্রমাণ কর যে, `p^2 - (2p)/x + 1 = 0`

 গ. `p = (2 + sqrt(2))/(2 - sqrt(2))` হলে x এর মান নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে,

  `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x - sqrt(1 - x))`  = p..........(i)


    p = 1 হলে (i) থেকে পাই,

   `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x - sqrt(1 - x)) = 1`

     বা, `sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) = sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)`

     বা,`sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) = 0`

     বা, `2sqrt(1 - x) = 0`

     বা, `sqrt(1 - x) = 0`

       1 - x = 0 [বর্গ করে] 

        :. x = 1


   খ.


  গ. দেওয়া আছে, 
    `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)) = p = (2 + sqrt(2))/(2 - sqrt(2))`

      বা, `(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) + sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x))/(sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x))`

      বা,`(2 + sqrt(2 + 2) - sqrt(2))/(2 + sqrt(2 - 2) + sqrt(2))` [যোজন-বিয়োজন করে]

      বা,`(2 sqrt(1 + x))/(2 sqrt(1 - x)) = 4/(2 sqrt(2))`

      বা, `(sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x)) = 2/sqrt(2)`

       বা, ` (sqrt(1 + x))/(sqrt(1 - x)) = sqrt(2)`

        বা, `(1 + x)/(1 - x) = 2` [বর্গ করে]

        বা,  1 + x = 2(1 - x)

         বা, 1 + x = 2 - 2x

         বা,  x + 2x = 2 - 1

          বা, 3x = 1

         `:. x = 1/3` (Ans)