Question:৯. `(m^2 + 3m + 1)^2` একটি পূর্ণ বর্গ রাশি এবং `m in NN` 

  ক. রাশিটির চলকের সর্বোচ্চ ঘাত কত?

  খ. প্রাপ্ত রাশি থেকে 1 বিয়োগ করলে রাশিটি চারটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল আকারে 

     প্রকাশিত হয়। ক্রমিক সংখ্যাগুলো নির্ণয় কর।

  গ. যদি m<10 হয় তবে m এর কোন মানের জন্য রাশির বর্গমূলের মান যৌগিক 

      সংখ্যা হবে? 

ক. প্রদত্ত রাশি =`(m^2 = 3m + 1)^2`

                = `m^4 + 9m^2 + 1 + 6m^3 + 6m + 2m^2`

                = `m^4 +6m^3 + 11m^2 + 6m + 1`

         প্রদত্ত রাশির চলক m এর সর্বোচ্চ ঘাত 4


  খ. প্রদত্ত রাশি থেকে 1 বাদ দিলে রাশিটি দাড়ায়

                =` (m^2 +3m + 1)^2 - 1`

                =` (m^2 + 3m + 1)^2 - (1)^2`

                =`(m^2 + 3m + 1 + 1) (m^2 + 3m + 1 -1)`

                =` (m^2 + 3m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` (m^2 + 2m + m + 2) (m^2 + 3m)`

                =` {m(m + 2) + 1(m + 2)} m(m + 3)`

                =` m(m + 1) (m + 2) (m + 3)`

      যেহেতু `m in NN` সুতরাং  m(m + 1), (m + 2) (m + 3)

        চারটি ক্রমিক সংখ্যা।

           Ans: m, m + 1, m + 2, m + 3

  গ. প্রদত্ত রাশির বর্গমূল =`sqrt((m^2 + 3m + 1)^2)`

                          =` m^2 + 3m + 1`

      :. `(m^2 + 3m + 1)` m = 1, 2.....9 পর্যন্ত মানগুলো বসিয়ে পাই,

          m = 1 হলে `(1^2 + 3 xx 1 + 1)` = 5 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 2 হলে `(2^2 + 3 xx 2 + 1)` = 11  যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 3 হলে` (3^2 + 3 xx 3 + 1)` = 19 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 4 হলে` (4^2 + 3 xx 4 + 1)` = 29 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 5 হলে` (5^2 + 3 xx 5 + 1)` = 41 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

          m = 6 হলে` (6^2 + 3 xx 6 + 1)` = 55 যা যৌগিক সংখ্যা নয়।

       :. m = 6 হলে প্রদত্ত রাশির বর্গমূল একটি যৌগিক সংখ্যা।

        (Ans): 6

Question:১০. `5/(12), sqrt(7), 0.735, 3.456, 16.457, sqrt(8), 2.036` কয়েকটি

      ধনাত্নক সংখ্যা।

     ক. উদ্দীপকের সংখ্যাগুলো থেকে মূলদ সংখ্যা লিখ।

     খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিকে প্রকাশ করে যোগফল নির্ণয় কর।

     গ. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো থেকে দুইটি অমূলদ সংখ্যা বাছাই করে এদের মধ্যে একটি মূলদ ও 

       একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। 

ক. মূলদ সংখ্যা হলো; `5/(12), 0.735, 3.456, 16.457, 2.036 ` (Ans)

 খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো হলো: 3.456, 16.457

    আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিকে প্রকাশ করে যোগ করা হলো:

    3.456 = 3.4564564|56

  16.457 = 16.4575757|57
--------------------------------
 যোগফল   = 19.9140322|13

     উত্তর: 19.9140322


  গ. অমূলদ সংখ্যা দুইটি হলো:` sqrt(7), sqrt(8)`

     এখানে, `sqrt(7) = 2.6457513`

              `sqrt(8) = 2.8284271` 

     এখন a = 2.7305 একটি মূলদ

     এবং b = 2.7306006.......একটি অমূলদ সংখ্যা বিবেচনা করি।

     স্পষ্টতই `sqrt(7) <a < sqrt(8)`

      এবং `sqrt(7) < b <sqrt(8)`

   :. নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা = 2.7305

      এবং অমূলদ সংখ্যা = 2.7306006......

       Ans: 2.7305, 2.7306006.........

Question:১১. `0.438 sqrt(10)/2`

   ক. সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যা লিখ;

      যেখানে অমূলদ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল।

   খ. প্রাপ্ত মূলদ ও প্রথম সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যার অনুপাত আকারে লিখ ও ভগ্নাংশ দুইটি 

      কিরুপ?

   গ. সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা নাও ও প্রমাণ কর। 

ক. এখানে, 0.438 = 0.4383838............

      এবং` sqrt(10)/2 `= 1.581138.........

      আবার পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল` sqrt(2)` = 1.4142.........

      0.438 ও `sqrt(10)/2` সংখ্যা দুইটির মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা 0.458 ও

      একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)` (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে প্রাপ্ত মূলদ সংখ্যা = 0.458

                                =` (458)/(1000)`

                                =` (229)/(500)`

       এবং 0.438 = `(438 - 4)/(990)`

                     =` (434)/(990)`

                     =` (217)/(495)`

        ১ম ভগ্নাংশের হর 500 লব 229

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

       ২য় ভগ্নাংশের হর 495 ও লব 217

       :. হর> লব, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

   গ.  0.438 ও `sqrt(10)/2` এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা `sqrt(2)`

             আমরা জানি, 1<2 <4

             :. `sqrt(1 < sqrt(2) < sqrt(4)`

             বা, `1 < sqrt(2) <2`

              `sqrt(2)` 1 2

          সুতরাং `sqrt(2)` এর মান 1 অপেক্ষা 2 ছোট।

          অতএব `sqrt(2)` পূর্ণ সংখ্যা নয়। এখন `sqrt(2)`কে যদি 

          ভগ্নাংশের আকারে লিখা যায় তবে, ধরি`sqrt(2) = p/q`; যেখানে

          p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

           :. `2 p^2/q^2` [বর্গ করে]

          বা, `2q = p^2/q` [ঊভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।]

          স্পষ্টত: 2q পূর্ণ  সংখ্যা কিন্তু ` p^2/q` পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ 

         p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

          :. 2q এবং `p^2/q` সমান হতে পারে না, অর্থাৎ `2q != p^2/q`

          :.` sqrt(2)` এর মান `p/q` আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,

         অর্থাৎ `sqrt(2 != p/q`

         অতএব,  `sqrt(2)` একটি অমূলদ সংখ্যা।

Question:১২.> `8 1/3, 3/)(11), 0.14` তিনটি ভগ্নাংশ।

  ক. সামান্য ভগ্নাংশগুলোকে আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

  খ. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

  গ. প্রাপ্ত সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো যোগ করে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক. এখানে সামান্য ভগ্নাংশগুলি যথাক্রমে,` 8 1/3` এবং` 3/(11)`

     এখন` 8 1/3 = (25)/3`    


                     3)25(8.33
                        
                         24
                      -----------
                           10

                             9
                       ------------
                             10

                               9
                       -------------

         :.` 8 1/3 = 8.33......... = 8.3`

            `3/(11)`     11)30(0.

Question:১৩.> `(1.185 -: 0.24) + (0.62 xx 0.3) - (0.45 + 0.134)`

     ক. গাণিতিক রাশিটির প্রথম তিনটি ভগ্নাংশকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে 

        প্রকাশ কর।

     খ. গাণিতিক রাশিটির প্রথম দুইটি পদের যোগফল কত?

     গ. গাণিতিক রাশিটির সরলকৃত মানকে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। 

ক. প্রথম তিনটি ভগ্নাংশ হলো, 1.185, 0.24 ও 0.62 ।ভগ্নাংশ তিনটিতে 

      অনাবৃত্ত অঙ্কের সংখ্যা যথাক্রমে 0, 0, 1 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 

      যথাক্রমে 3, 2, 1 এদের ল.সা.গু 6। অতএব সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোর

      অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1। আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে।

      সুতরাং

       1.185 = 1.185185

       0.24   = 0.2424242

       0.62   = 0.6222222

 খ. 1.185 =` (1185 - 1)/(999)`

              =`(1184)/(999)`

       0.24 =` (24)/(99)`

       0.62 =` (62 - 6)/(90)`

              =` (56)/(90)`

       0.3  =` 3/9 = 1/3`

       :. `1.185 -: 0.24 = (1184)/(999) -: (24)/(99)`

          = `(1184)/(999) xx (99)/(24)`

          =` (1628)/(333) = 4.8`

          `(56)/(90) xx 1/3` 

          =` (56)/(270) = 0.2074`

     4.8 ও 0.2074 যোগ করার জন্য সংখ্যা দুইটিকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক 

     ভগ্নাংশে রুপান্তর করতে হবে। যেখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 ও 

     আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 ও 3 এর ল.সা.গু 3।

     তাহলে  4.88888 |88

              0.20740|74
         --------------------
              5.09629|62

    :. নির্ণেয় যোগফল = 5.09629  (উত্তর)

 গ.  এখানে ‘খ’ হতে প্রাপ্ত যোগফল,

      `(1.185 -: 0.24) + (0.62 xx 0.3)`

       = 5.09629

     0.45 + 0.134 এর মান বের করার জন্য ভগ্নাংশ দুইটি সদৃশ আবৃত্ত 

     দশমিক ভগ্নাংশে রুপান্তর করি, যেখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 

     এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 তাহলে 

      0.45   = 0.455

      0.134 = 0.134
   --------------------
               = 0.589

    এখন গাণিতিক বাক্যটির সরলকৃত মান বের করার জন্য

    5.09629 থেকে 0.589 বিয়োগ করতে হবে । বিয়োগ করার জন্য ভগ্নাংশ দুইটিকে 

   সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে হবে। এক্ষেত্রে অনাবৃত্ত অংশের  

   অঙ্ক সংখ্যা 3হবে এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে। তাহলে,

    5.09629 |62

    0.58999 |99
---------------------
    4.50629 |63

  :.  গাণিতিক বাক্যটির সরলকৃত মান 
  
   = 4.50629

   =` (450629 - 450)/(99900)`

   =` (450179)/(99900)`

  :. সুতরাং নির্ণেয় সামান্য ভগ্নাংশ   =` (450179)/(99900)` (উত্তর)

Question:১৪.> তিনটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

   ক. সংখ্যাটি প্রথম দুটি সংখ্যার মাঝে আছে কিনা? ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে 

      তোমার উত্তরের স্বপক্ষে যুক্তি দেখাও দাও।

    খ. সংখ্যা তিনটির গড় নির্ণয় কর।

    গ. দ্বিতীয় সংখ্যাটির চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর এবং তিন 

       দশমিক স্থান বর্গমূলের আসন্ন মান নির্ণয় কর। 

ক. ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে পাই,

    `sqrt(2)` = 1.414213.........

    প্রথম সংখ্যা = 1.04 = 1.044444........

    দ্বিতীয় সংখ্যা = 5.1302 = 5.1302302........

    সুতরাং `sqrt(2)` সংখ্যাটি ১ম ও ২য় সংখ্যার মাঝে আছে।


 খ. এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 এবং আবৃত্ত অংশের 

     অঙ্ক হবে 1, 3, 1 এর ল. সা.গু 3

     প্রথমে তিনটি আবৃত্ত দশমিকে সদৃশ করে পাই,

       1.0444

       5.1302

       8.0444
     ------------
      14.2190

             + 1  [এখানে 1 হচ্ছে হাতের ]
  ---------------
     14.2191

  :. সংখ্যা তিনটির গড়  

  =`(14.2191)/3` 

  = `(142191 - 142)/(9990) xx 1/3`

  =` (142049)/(29970)`

  = 4.73970637

  :. তিনটি সংখ্যার গড়  = 4.73970637  (Ans)

 গ. 5.1302 এর বর্গমূল =` sqrt(5.1302)`

     5.1302 = 5.13023023......

     2|5.13023023.......|2.2650

        4
     -----------------
     42|113

            84
     -------------
    446| 2902

            2676
      --------------
      4525|22630

               22625
           -------------
                       5

       অতএব, 5.1302 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = 2.2650

      এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.265

     Ans: 2.2650, 2.265

Question:১৪.> `x =(sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b)`

         হলে, দেখাও যে,

       `3bx^2 - 4ax + 3b = 0` 

দেওয়া আছে,

  `x = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))`

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b) + sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) + 

       sqrt(2a - 3b) - sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))`
      [যোজন-বিয়োজন করে]

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (2sqrt(2a + 3b))/(2sqrt(2a - 3b))`

  বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b)/(sqrt(2a - 3b)`

  বা, `((x + 1)/(x - 1))^2 = (sqrt(2a + 3b)/sqrt(2a - 3b))^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

  বা, `(x + 1)^2/(x - 1)^2 = (2a + 3b)/(2a - 3b)`

  বা, `((x + 1)^2 + (x - 1)^2)/((x - 1)^2 - (x - 1)^2) = (2a + 3b + 2a - 3b)/(2a + 3b - 2a + 3b)`
        [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]

  বা, `(2(x^2 + 1))/(4x) = (4a)/(6b)`

  `:. [:. (a + b)^2 + (a - b)^2= 2(a^2 + b^2)` এবং 

  `(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab]`

  বা, `(x^2 + 1)/(2x) = (2a)/(3b)`

  বা, `3b(x^2 + 1) = 4ax` [আড়গুণন করে]

  বা, `3bx^2 + 3b - 4ax = 0`

    `:. 3bx^2 - 4ax + 3b = 0` (দেখানো হলো )

Question: 

Question: 

Question: