Question:5.> d, e, f, g `m^2 - (2m)/n `+ 1 = p

  d, e, f g

 `(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2) = (de + ef + fg)^2`

  p = 0` m = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n)` 

ক. প্রশ্নমতে, d : e = e : f = f : g

   বা, `d/e = e/f = f/g`

   ধরি, `d/e = e/f = f/g = k`

   এখন, ` f/g = k` ` f = gk`

  আবার,  `e/f = k` `e = fk = gk.k = gk^2`

   এবং `d/e = k` `d = ek = gk^2.k = gk^3`

    d, e, f কে g এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।

  খ. ‘ক’ থেকে পাই, `f = gk.e = gk^2` `d = gk^3`

 বামপক্ষ 
    =`(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2)`

    =`{(gk^3)^2 + (gk^2)^2 + (gk)^2} {(gk^2)^2 + (gk)^2 + g^2}`

     =` { g^2k^6 + g^2k^4 + g^2k^2} {g^2k^4 + g^2k^2 + g^2}`

     =`g^2k^2 (k^4 + k^2 + 1) xx g^2 (k^4 + k^2 + 1)`

     =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

  ডানপক্ষ 
    = `(de + ef + fg)^2`

    =` (gk^3.gk^2 + gk^2.gk + gk.g)^2`

     =`(g^2k^5 + d^2k^3 + g^2k)^2`

     =` {g^2k (k^4 + k^2 + 1)}^2`

     =` g^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`

    :. `(d^2 + e^2 + f^2) (e^2 + f^2 + g^2) = (de + ef + fg)^2` (প্রমাণিত)

  গ. দেওয়া আছে, 
    `m^2 - (2m)/n  + 1 = p`

      এবং p = 0

     :. `m^2 - (2m)/n  + 1 = 0`

     বা, `m^2 + 1 = (2m)/n`

      বা, `1/n = (m^2 + 1)/(2m)`

      বা, `(1 + n)/(1 - n) = (m^2 + 1 + 2m)/(m^2 + 1 - 2m)` [যোজন ও বিয়োজন করে]

      বা, `(1  + n)/(1 - n) = (m + 1)^2/(m - 1)^2`

      বা, ` (sqrt(1 + n))/(sqrt(1 - n)) = (m + 1)/(m - 1)`[বর্গ মূল করে]

      বা, `(m + 1 + m - 1)/(m + 1 - m + 1) = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))` [পুনরায় যোজন

                  বিয়োজন করে]

       বা, `(2m)/2 = (sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`

       :. m = `(sqrt(1 + n) + sqrt(1 - n))/(sqrt(1 + n) - sqrt(1 - n))`   (প্রমাণিত)

Question:6.> a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।

 ক. সমানুপাত ও ক্রমিক সমানুপাত বলতে কী বুঝ?

 খ. প্রমান কর যে, `(a+ b/b+ c)^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

 গ. দেখাও যে, `(a - d)^2 = (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2` 

ক. সমানুপাত: যদি চারটি রাশির প্রথম ও ‍দ্বিতীয় রাশির অনুপাত 

  তৃতীয় রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে উক্ত অনুপাতকে সমানুপাত বলে।

  ‍a, b, c ও d চারটি রাশি হলে, a: b = c : d কে সমানুপাত বলে।

  ক্রমিক সমানুপাতী:  a, b, ও c তিনটি সমজাতীয় রাশি হলে এবং

  a: b = b : c হলে, উক্ত অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

  a, b, ও c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি `b^2 = ac` হয়।

 খ. দেওয়া আছে, a, b, c, d  ক্রমিক সমানুপাতী

    :. `a/b = b/c = c/d`

     `b^2 = ac`

 এখন বামপক্ষ 
    = `(a + b)^2/(b + c)^2`

    = `(a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

    =  `(a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2) [:. b^2 = ac` ]

    =  `(a(a + 2b + c)/(c(a + 2b + c)`

    = `a/c`

  ডানপক্ষ   
    =  `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + ac)/(ac + c^2) = (a(a + c))/(c(a + c)) = ac`

    :.` ((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)

 
  গ.  যেহেতু a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী 

      :. `a/b = b/c = c/d`

  এখন, `a/b = b/c` এবং `b/c = c/d`এবং `a/b = c/d`

    বা, `ac = b^2`

    এবং, `bd = c^2`

    এবং ad = bc

 ডানপক্ষ 
    =` (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2`

    =` b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2`

    =` 2b^2 + 2c^2 + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`

    =` 2.ac + 2.bd + a^2 + d^2 - 2bc - 2ac - 2bd`

    =` a^2 - 2bc + d^2`

    =` a^2 - 2ad + d^2 [:. ad = bc`]

    =` (a - d)^2` বামপক্ষ

    :.` (a - d)^2 = (b - c)^2 + (a - c)^2 + (b - d)^2` (দেখানো হলো)

Question:7.> `(a^3 + b^3)/(a - b + c) = a(a + b)`হলে-----

    ক. প্রমাণ কর যে, `b^2 = ac`

    খ. প্রমাণ কর যে, `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

    গ. প্রমাণ কর, `a - 2b + c = (a - b)^2/a = (b - c)^2` 

ক. দেওয়া আছে, 
     `(a^3 + b^3)/(a - b + c) = a(a + b)`

     বা,  `((a + b) (a^2 - ab +b^2))/(a - b + c) = a(a + b)`

     বা, `(a^2 - ab + b^2)/(a - b + c) = a` [(a + b)]

     বা,` a^2 - ab + b^2 = a(a - b + c)`

     বা,  `a^2 - ab + b^2 = a^2 - ab + ac`

     বা, `a^2 - ab + b^2 - a^2 + ab = ac`

     বা, `b^2 = ac`

    `:. b^2 = ac` (প্রমাণিত)

   
 খ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ..............(i)

  এখন বামপক্ষ 
     `= ((a + b)/(b + c))^2`

     `= (a^2 + 2ab + b^2)/(b^2 + 2bc + c^2)`

     `= (a^2 + 2ab + ac)/(ac + 2bc + c^2)` [(i) নং থেকে]

     `= (a(a + 2b + c))/(c(a + 2b + c)) = a/c`

  ডানপক্ষ
    `= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

    `= (a^2 + ac)/(ac + c^2)`  [(i) নং থেকে]

    `= (a(a + c))/(c(a + c)) = a/c`

     :. `((a + b)/(b + c))^2 = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`  (প্রমাণিত)

  
 গ. ‘ক’ থেকে পাই, `b^2 = ac` ............(i)

   `:. (a - b)^2/a = (a^2 - 2ab + b^2)/a`

                `= (a^2 - 2ab + ac)` [(i) থেকে]

                `= a - 2b + c`.............(ii)

   আবার  `(b - c)^2/c = (b^2 - 2bc + c^2)`

             `= (ac - 2bc + c^2)/c` [(i) থেকে]

               = a - 2b + c ...............(iii)

          সমীকরণ  (ii) ও (iii) নং হতে পাই,

       a - 2b + c = `(a - b)^2/a = (b - c)^2/c`   (প্রমাণিত)

Question:৮.> `a/b = c/d` হলে--- 

   ক.  কোন শর্তের আলোকে a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হবে? 

   খ. দেখাও যে, `(a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

   গ. দেখাও যে, `(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` 

ক. ‍যদি a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে` a/b = b/c`........(i)

   আবার b, c, d যদি ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে `b/c = c/d` .......(ii)

    (i) ও (ii) নং হতে পাই, `a/b = b/c = c/d`

    যা, একটি ক্রমিক সমানুপাতী

     :.` a/b = b/c = c/d` নির্ণেয় শর্ত।

 
 খ. ‘ক’ হতে পাই,` a/b = b/c = c/d`.............(i)

    ধরি, `a/b = b/c = c/d = k`

    বা, a = bk, b = ck, c = dk.........(ii)

  বামপক্ষ 
    =` (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3)`

    =` (b^3k^3 + b^3)/(c^3k^3 + c^3)` [:. a = bk এবং b = ck]

    =` (b^3(k^3 + 1))/(c^3(k^3 + 1)) = b^3/c^3`

  ডানপক্ষ 
    =` (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)`

    =`(b^3 + (b/k)^3)/(c^3 + (c/k)^3)` [:. b = ck এবং c = dk]

    =` (b^3 (1 + 1/k^3))/(c^3 (1 + 1/k^3)) = b^3/c^3`

    `:. (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` (দেখানো হলো)


 গ. ‘খ’ হতে পাই, a = bk, b = ck, c = dk

   :. বামপক্ষ 
       =` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

       =` (b^2k^2 + c^2k^2 + d^2k^2) (b^2 + c^2 + d^2)`

       =` k^2(b^2 + c^2 + d^2)`

  ডানপক্ষ  
    =` (ab + bc + cd)^2`

    =` (bk.b + ck.c + dk.d)^2`

    =` (b^2k + c^2k + d^2k^2)^2`

    =`k^2(b^2 + c^2 + d^2)`

    = বামপক্ষ

    :.` (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2` (দেখানো হলো)

Question:৯.> `a/b = c/d = e/f = g/h` হলে---

 ক. দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাতের মান = লবের যোগফল/হরের যোগফল

 খ. দেখাও যে,`x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`এবং

    `x + y + z != 0` হলে প্রতিটি অনুপাত `1/(a + b + c)`

 গ. দেখাও যে,`(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` 

    এবং `a + b + c != 0` হলে প্রতিটি অনুপাতের মান `1/2` এবং a = b = c 

ক. দেওয়া আছে, `a/b = c/d = e/f = g/h`

    ধরি, `a/b = c/d = e/f = g/h = k`............(i)

    :. a = bk, c = dk,e = fk,g = hk.........(ii)

   :. ডানপক্ষ = লবের যোগফল/হরের যোগফল

   `= (a + c + e + g)/(b + d + f + h)`

  ` = (bk + dk + fk + hk)/(b + d + f + h)` [(ii) নং হতে]

  ` = k. (b + d + f + h)/(b + d + f + h)`

     = k

  কিন্তু k হচ্ছে প্রতিটি অনুপাতের মান। [(i) নং হতে ]

  :. প্রতিটি অনুপাতের মান = লবের যোগফল/হরের যোগফল  (দেখানো হলো)

 খ. দেওয়া আছে,

    `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`

     'ক' হতে পােই,

      প্রতিটি অনুপাতের মান = লবেরর যোগফল/হরের যোগফল

      ধরি, প্রতিটি অনুপাতের মান = k

      :. `k = (x + y + z)/(ax + by + cz + ya + zb + xc + za + xb + yc)`

       =` (x + y + z)/(x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)`

       =` (x + y + z)/((a + b + c) (x + y + z))`

        =` 1/(a + b + c)`  [:. x + y + z `!= 0`]

   :. প্রতিটি অনুপাতের মান `= 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো)

  গ. ’ক’ হতে পাই,

    প্রতিটি অনুপাতের মান k = লবের যোগফল/হরের যোগফল

    ধরি,`(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a) = k`

    :. `k = (a + b - c + b + c - a + c + a - b)/(a + b + b + c + c + a) = (a + b + c)/(2(a + b + c)`

    `= 1/2`  [:. a + b + c` !=` 0]

     বা, প্রতিটি অনুপাতের মান` = 1/2`

     আবার,` (a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)`

     বা,`(a + b - c - a - b)/(a + b) = (b + c - a - b - c)/(b + c)` 

                      ` = (c + a - b - c - a)/(c + a)` [বিয়োজন করে]

      বা,` (-c)/(a + b) = (-a)/(b + c) = (-b)/(c + a)`

      বা,` c/(a + b) = a/(b + c) = b/(c + a)`  [-1 দ্বারা গুণ করে]

      বা, `(a + b)/c = (b + c)/a = (a+c)/b`  [ব্যস্তকরণ করে]

      বা, ` (a + b + c)/c = (a + b + c)/a = (a + b + c)/b` [যোজন করে]

      বা,` 1/c = 1/a = 1/b` [:. a + b + c` !=` 0]

      বা, a = b = c দেখানো হলো

Question:১২.>(a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s হলে-----

  ক. ধ্রবক k এর মাধ্যমে `1/p` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. প্রমাণ কর যে, `1/q + 1/r + 1/s = 1/p`

  গ. প্রমাণ কর যে,  `(1/p^2 - 1/s^2) + (1q^2 - r^2) = (8bc)/k^2` 

ক. ধরি, (a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s = k

    :. (a + b + c)p = k

   বা, `(a + b + c)/k = 1/p`

     :.` 1/p = (a + b + c)/k`

 খ. ‘ক’ হতে পাই,

     :. `1/p = (a + b + c)/k`..........(i)

    আবার q (b + c - a) = k q = `k/(b + c - a)`

     :.` 1/q = (b + c - a)/k`..............(ii)

    এবং r (c + a - b) = k    `r = k/(c + a - b)`

    :. `1/r = (c + a - b)/k`..............(iii)

    আবার   s(a + b - c) = k `s = k/(a + b - c)`

        :.` 1/s = (a + b - c)/k`................(iv)

   (ii) নং (iii) নং এবং (iv) সমীকরণ যোগ করে পাই,

   `1/q + 1/r + 1/s = (b + c - a)/k + (c + a - b)/k + (a + b - c)/k`

                        =`1/k (b + c - a + c + a - b + a + b - c)`

                        =` (a + b + c)/k`

                        =` 1/p` [(i) নং থেকে]

         :.` 1/q + 1/r + 1/s = 1/p`   (প্রমাণিত)

   

  গ. ‘ক’ ও ‘খ’ হতে পাই,

   `1/p = (a + b + c)/k`

   `1/q = (b + c - a)/k`

   `1/r = (c + a - b)/k`

   এবং `1/s = (a + b - c)/k`

   এখন, `1/p^2 - 1/s^2 = ((a + b + c)/k)^2 - ((a + b - c)/k)^2`

   `= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)/(k^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca)/k^2`

   `= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - a^2 - b^2 - c^2 - 2ab + 2bc + 2ca)/k^2`

   `= (4bc + 4ca)/k^2`

  আবার,  `1/q^2 - 1/r^2 = ((b + c - a)/k)^2 - ((c + a - b)/k)^2`

  `= (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab)/(k^2) - (c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc)/k^2`

  `= (b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab - c^2 - a^2 - b^2 - 2ca + 2ab + 2bc)/k^2`

  `= (4bc - 4ca)/k^2`

 :.` (1/p^2 - 1/s^2) + (1/q^2 - 1/r^2) = (4bc + 4ca)/k^2 + (4bc - 4ca)/k^2`

                                                         =` (4bc + 4ca + 4bc - 4ca)/k^2 = (8bc)/k^2`

  :. `(1/p^2 - 1/s^2) + (1/q^2 - 1/r^2) = (8bc)/k^2`  (প্রমাণিত)

Question:১০.> রেজা ও তার পিতার বর্তমান বয়সের অনুপাত 1 : 3; 8

      বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত 3 : 7

    ক. 8 বছর পরে পিতা ও রেজার বয়সের অনুপাত চলক x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    খ. রেজা ও পিতার বর্তমান বয়স নির্ণয় কর।

    গ. কত বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 15 হবে।

     অনুশীলনী-১১.১ 

ক. দেওয় আাছে, রেজা ও তার পিতার বর্তমান বয়সের অনুপাত 1 : 3

   মনে করি রেজার বর্তমান বয়স x বছর 

   এবং তার পিতার বর্তমান বয়স 3x বছর 

   :. 8 বছর পর রেজার বয়স হবে (x + 8) বছর এবং তার পিতার বয়স হবে (3x + 8) বছর।

   :. 8 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে (x + 8) : (3x + 8) (Ans)


  খ. ‘ক’ অংশ হতে পাই,

     8 বছর পর রেজা ও তার পিতার বয়সের অনুপাত (x + 8) : (3x + 8)

    দেওয়া আছে, 8 বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 3 : 7

    প্রশ্নানুসারে,(x + 8) : (3x + 8) = 3 : 7

    বা,`(x + 8)/(3x + 8) = 3/7`

    বা, 9x + 24 = 7x + 56 [আড়গণন করে]

    বা, 9x - 7x = 56 - 24

    বা, 2x = 32

    বা, ` x = (32)/2`

    :. x = 16

    :. 16 

  
  গ. ‘খ’ অংশ হতে পাই,

         রেজার বর্তমান বয়স বছর এবং তার পিতার বর্তমান বয়স 48 বছর।

         মনে করি y বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 7 : 15

         আবার y বছর পর রেজার বয়স হবে (16 + y) বছর 

         তার পিতার বয়স হবে (48 + y) বছর।

         প্রশ্নানুসারে, (16 + y) : (48 + y) = 7 : 15

        বা, `(16 + y)/(48 + y) = 7/(15)`

        বা, 240 + 15y = 336 + 7y

        বা, 15y - 7y = 336 - 240

        বা, 8y = 96

        বা, y = `(96)/8`

         :. y = 12

         :. 12  বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে 7 : 15

         Ans: 12

Question:১১.> যদি a, b c ক্রমিক সমানুপাতী হয় তবে----

 ক. দেখাও যে, `b^2 = ac` 4, 6 9

 খ. প্রমাণ কর, `a^2b^2c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`

 গ. প্রমাণ কর, `(abc(a + b + c)^3)/(ab + bc + ca)^3 = 1` 

ক. দেওয়া আছে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী

  :. a : b = b : c বা, `a/b = b/c` 

   বা, `ac = b^2`

   বা, `b^2 = ac`.........(i)

   ধরি, a = 4, b = 6 c = 9

  (i) নং হতে পাই, ac = `4 xx 9` = 36

   এবং `b^2 = 6^2 = 36`

  :. `b^2 = ac` বা,` 6^2 = 4 xx 9`বা, `4/6 = 6/9`

  :. 4, 6, 9  ক্রমিক সমানুপাতী (Ans)

  

 খ. বামপক্ষ 
     `= a^2b^2c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

    ` = (a^2b^2c^2)/(a^3) + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

    ` = (b^2(ac)^2)/a^3 + (b^2(ac)^2)/b^3 + (b^2(ac)^2)/c^3`

    ` = (ac(ac)^2)/a^3 + (b^2(b^2)^2)/b^3 + ((ac)(ac)^2)/c^3` [’ক’ হতে পাই, `b^2 = ac`]

    ` = (a^3c^3)/a^3 + b^6/b^3 + (a^3 c^3)/c^3 `

     `= c^3 + b^3 + a^3`

    ` = a^3 + b^3 + c^3`= ডানপক্ষ

   `:. a^2 b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) `

   `= a^3 + b^3 + c^3` প্রমাণিত

 গ. বামপক্ষ 
     =`(abc (a + b + c)^3)/(ab + bc + ca)^3`

     =` (abc(a + b + c)^3)/(ab + bc + b^2)^3`

   ` = (b.b^2(a + b + c)^3)/(b^3(a + c + b)^3`

   ` = (b^3(a + b + c)^3)/(b^3(a + b + c)^3)`

     = 1 = ডানপক্ষ

     :. `(abc(a + b + c)^3)/(ab + bc + ca)^3 = 1` (প্রমাণিত)

Question:৬.> একটি কাঠের পুল তৈরির প্রাক্কলিত ব্যয়  90.000টাকা। কিন্তু 

    খরচ বেশি হয়েছে 21,000 টাকা। খরচ শতকরা কত বৃদ্ধি পেয়েছে? 

    অনুশীলনী-১১.২ 

মনে করি, শতকরা খরচ বৃদ্ধি টাকা

  :. প্রাক্কলিত খরচ/খরচ বৃদ্ধি `= (90000)/(21600) = (100)/x`

   বা, 90000x = 21600` xx` 100

   বা, x = `(21600 xx 100)/(90000)`

     :. x = 24

Question:৭.> ধানে চাল ও তুষের অনুপাত 7 : 3 হলে এতে শতকরা কী পরিমাণ চাল আছে? 

ধরি, ধানে চাল 7x কেজি থাকলে তুষ থাকে 3x কেজি।

  :. সর্বমোট = (7x + 3x) কেজি = 10x কেজি ।

  ধানে চালের শতকরা পরিমাণ = ধানে চালের পরিমাণ/ধানের পরিমাণ` xx` 100

                              `(7x xx 100)/(10x)` = 70