Question:১.দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে `a` মিটার এবং `b`মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: ১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ` = a` মিটার

  `:.`১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= a xx a` বর্গমিটার  `= a^2` বর্গমিটর

    ২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য `= b` মিটার

  `:.`২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= b xx b` বর্গমিটার `= b^2` বর্গমিটার

   এখন,`"১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল "/"২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল"` = `(a^2)/(b^2)`

   `:.`১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল`= a^2 : b^2`  

     Ans.`a^2 : b^2`

Question:২.একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর। 

সমাধান: মনে করি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ `r`একক এবং বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য `x`একক।
        
  আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল `= pi r^2`বর্গ একক

  বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল `= x^2`বর্গ একক

  `:.`প্রশ্নমতে,
                  
      `pi r^2 = x^2`

       বা,`r^2/x^2 = 1/pi`
 
       বা,`r/x = 1/(sqrt(pi))`..............(i)

       আবার, বৃত্তের পরিসীমা `= 2 pi r`একক

      এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা `= 4 x` একক

     `:. "বৃত্তের পরিসীমা"/"বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা"= (2 pi r)/(4 x)`

         `= (pi r)/(2 x)`

         `= pi/2 xx r/x`

         `= pi/2 xx 1/(sqrt(pi))` [ (i)নং থেকে মান বসিয়ে ]

         `= (sqrt(pi))/2`

     `:.`বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা`=sqrt(pi) : 2`

       Ans.`sqrt(pi) : 2`

Question:৩.দুইটি সংখ্যার অনুপাত `3 : 4` এবং তাদের ল. সা. গু. `180`; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। 

সমাধান: মনে করি, সংখ্যা দুইটি `3x`এবং`x`
                                 [ `x` অনুপাতের সাধারণ গুণিতক ]

    `3x` এবং `4x` এর ল. সা. গু. `=3 xx 4 xx x`

                                   `= 12x`

   প্রশ্নমতে, `12x = 180`

    বা,`x =(180)/(12)`

    `:. x = 15`

   `:.` ১ম সংখ্যা `= 3 xx 15 = 45` এবং

     ২য় সংখ্যা `= 4 xx 15 = 60`

     Ans. `45`ও `60`

Question:৪.একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত `1 : 4`,অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর। 

সমাধান: মনে করি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা `= x`

    এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা `= 4x` [  এখানে, `x`ধনাত্নক আনুপাতিক ধ্রুবক  ]

     মোট ছাত্র সংখ্যা `= x + 4x = 5x`

  `:.`অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার `="অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্য"/"মোট ছাত্র সংখ্যা" xx 100%` 

                                           `= x/(5x) xx 100%` 

                                           `= 20%` 

                  Ans.`20%`

Question:৫.একটি দ্রব্য ক্রয় করে `28%`ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণেয় কর। 

সমাধান:মনে করি, ক্রয়মূল্য `= 100` টাকা

   `:. 20%` ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য `= ( 100 - 28 )`টাকা

                                `= 72` টাকা

    `:. "বিক্রয়মূল্য"/"ক্রয়মূল্য"`

     `= (72)/(100)`

     `= (18)/(25)`

     `:.` বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য`= 18 : 25`

          Ans. `18 : 25`

Question:৬.পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি `70` বছর। তাদের বয়সের অনুপাত `7` বছর পূর্বে ছিল `5 : 2`। `5` বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে ? 

সমাধান: `7`বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল `5 : 2`

  `:.` ধরি, `7` বছর পূর্বে  পিতার বয়স ছিল `5x` বছর।

   `:.` এবং `7` বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল `2x` বছর

   `:.` বর্তমানে পিতার বয়স `= (5x + 7 )` বছর

   এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স `= ( 2x + 7)` বছর

     প্রশ্নমতে, `5x + 7 + 2x + 7 = 70`

      বা, `7x + 14 = 70`

      বা, `7x = 70 - 14`

       বা, ` 7x = 56`

       বা, `x = (56)/7`

        `:.  x = 8`

  `:. 5` বছর পরে পিতার বয়স হবে `= (5x + 7 + 5)` বছর

                                        `= (5x + 12)`বছর

                                        `= (5 xx 8 + 12)`বছর

                                        `= (40 + 12)`বছর

                                        `= 52`বছর

  এবং `5` বছর পরে পুত্রের বয়স হবে`= (2x + 7 + 5)` বছর

                                       `= (2x + 12)`বছর

                                       `= (2 xx 8 + 12)`বছর

                                       `= (16 + 12)`বছর

                                       `= 28`বছর

 `:. 5`বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত `= 52 : 28`
                                              `= 13 : 7`

         Ans. `13 : 7`

Question:৭.যদি `a : b = b : c` হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

(i). `a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

(ii). `a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`

(iii). `(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1`

(iv). `a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c` 

সমাধান:
(i).ধরি, `a/b = b/c = k`

`:. b = ck`

`a = bk = ck.k = ck^2`

বামপক্ষ 
`= a/c`

`= (ck^2)/c`
 
`= k^2`

ডানপক্ষ 

`= (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)`

`= ((ck^2)^2 + (ck)^2)/((ck)^2 + c^2)`

`= (c^2k^4 + c^2k^2)/(c^2k^2 + c^2)`

`= (c^2k^2(k^2 + 1))/(c^2(k^2 + 1))`

`=k^2`

`:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত )বিকল্প সমাধান:
দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c`

বা,`a/b = b/c`

বা, `a^2/b^2 = b^2/c^2`   [  উভয়পক্ষকে বর্গ করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/b^2 = (b^2 + c^2)/c^2`  [  যোজন করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = b^2/c^2`  [  একান্তরকরণ করে  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (ac)/c^2`    [  `:. a/b = b/c :. ac = b^2`  ]

বা, `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = a/c`

`:. a/c = (a^2 + b^2)/(b^2 + c^2)` ( প্রমাণিত )
(ii).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

বা, `a/b = b/c`

`:. b^2 = ac`

বামপক্ষ 

`= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

`= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

`= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`

`= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c`

`= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c`  [  `:.`মান বসিয়ে  ]

`= c^3 + b^4/b + a^3`

`= c^3 + b^3 + a^3`

`= a^3 + b^3 + c^3`

 `=`ডানপক্ষ 

 `:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`( প্রমাণিত )


(iii).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

অর্থাৎ, `a/b = b/c`

মনে করি, 

`a/b = b/c = k`

`:. b=ck` এবং 

`a=bk=ck.k=ck^2`

বামপক্ষ 

`= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)`

`= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)`

`= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)`

`= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)`

`= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)`

`= 1`

`=`ডানপক্ষ

`:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1`   ( প্রমাণিত )


(iv).দেওয়া আছে, 

`a : b = b : c` 

অর্থাৎ, `a/b = b/c`

মনে করি, `a/b = b/c = k`

 `:. b = ck`

` a = bk = ck.k = ck^2`

প্রথম রাশি 

`= a - 2b + c`

`= ck^2 - 2ck + c`

`= c(k^2 - 2k + 1)`

`= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}`

`= c(k - 1)^2`

দ্বিতীয় রাশি 

`= ((a - b)^2)/a`

`= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)`

`=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)`

`= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)`

`= c((k - 1)^2`

তৃতীয় রাশি 

`= ((b - c)^2)/c`

`= ((ck - c)^2)/c`

`= ({c(k - 1)}^2)/c`

`= (c^2(k - 1)^2)/c`

`= c(k - 1)^2`

`:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`   ( প্রমাণিত )

Question:৭.যদি `a : b = b : c` হয়, তবে প্রমাণ কর যে,    (ii).  `a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3` 

সমাধান:   (ii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` 

          বা, `a/b = b/c`

            `:. b^2 = ac`

বামপক্ষ `= a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`

         `= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`

         `= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`

         `= (b^2c^2)/a +((ac)^2)/b + (a^2b^2)/c`

         `= (ac.c^2)/a + ((b^2)^2)/b + (a^2 .ac)/c`  [  `:.`মান বসিয়ে  ]

         `= c^3 + b^4/b + a^3`

         `= c^3 + b^3 + a^3`

         `= a^3 + b^3 + c^3`

         `=`ডানপক্ষ 

 `:. a^2b^2c^2(1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3`( প্রমাণিত )

Question:৭.যদি `a : b = b : c` হয়, তবে প্রমাণ কর যে, (iii). `(abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1` 

সমাধান:   (iii).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c`

 মনে করি, `a/b = b/c = k`

    `:. b=ck` এবং `a=bk=ck.k=ck^2`

 বামপক্ষ 
   `= (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3)`

   `= (ck^2 xx ck xx c(ck^2 + ck + c)^3)/((ck^2 xx ck + ck xx c + c xx ck^2)^3)`

   `= (c^3k^3{c(k^2 + k + 1)}^3)/((c^2k^3 + c^2k + c^2k^2)^3)`

   `= (c^3k^3 xx c^3(k^2 + k + 1)^3)/({c^2k(k^2 + 1 + k)}^3)`

   `= (c^6 k^3(k^2 + k +1)^3)/(c^6k^3(k^2 + k + 1)^3)`

   `= 1`

   `=`ডানপক্ষ

  `:. (abc(a + b + c)^3)/((ab + bc + ca)^3) = 1`   ( প্রমাণিত )

Question:৭.যদি `a : b = b : c` হয়, তবে প্রমাণ কর যে, (iv). `a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c` 

সমাধান:(iv).দেওয়া আছে, `a : b = b : c` অর্থাৎ, `a/b = b/c`

              মনে করি, `a/b = b/c = k`

                   `:. b = ck`

                ` a = bk = ck.k = ck^2`

 প্রথম রাশি 
     `= a - 2b + c`

     `= ck^2 - 2ck + c`

     `= c(k^2 - 2k + 1)`

     `= c {(k)^2 - 2 xx k xx 1 + (1)^2}`

     `= c(k - 1)^2`

 দ্বিতীয় রাশি 
      `= ((a - b)^2)/a`

      `= ((ck^2 - ck)^2)/(ck^2)`

      `=({ck(k - 1)}^2)/(ck^2)`

      `= (c^2k^2(k - 1)^2)/(ck^2)`

      `= c((k - 1)^2`

 তৃতীয় রাশি 
    `= ((b - c)^2)/c`

    `= ((ck - c)^2)/c`

    `= ({c(k - 1)}^2)/c`

    `= (c^2(k - 1)^2)/c`

    `= c(k - 1)^2`

  `:. a - 2b + c = ((a - b)^2)/a = ((b - c)^2)/c`   ( প্রমাণিত )