1. Question:১৪.> `x =(sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b)` হলে, দেখাও যে, `3bx^2 - 4ax + 3b = 0` 

    Answer
    দেওয়া আছে,
    
      `x = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))`
    
      বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b) + sqrt(2a + 3b) - sqrt(2a - 3b))/(sqrt(2a + 3b) + 
    
           sqrt(2a - 3b) - sqrt(2a + 3b) + sqrt(2a - 3b))`
          [যোজন-বিয়োজন করে]
    
      বা, `(x + 1)/(x - 1) = (2sqrt(2a + 3b))/(2sqrt(2a - 3b))`
    
      বা, `(x + 1)/(x - 1) = (sqrt(2a + 3b)/(sqrt(2a - 3b)`
    
      বা, `((x + 1)/(x - 1))^2 = (sqrt(2a + 3b)/sqrt(2a - 3b))^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 
    
      বা, `(x + 1)^2/(x - 1)^2 = (2a + 3b)/(2a - 3b)`
    
      বা, `((x + 1)^2 + (x - 1)^2)/((x - 1)^2 - (x - 1)^2) = (2a + 3b + 2a - 3b)/(2a + 3b - 2a + 3b)`
            [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
    
      বা, `(2(x^2 + 1))/(4x) = (4a)/(6b)`
    
      `:. [:. (a + b)^2 + (a - b)^2= 2(a^2 + b^2)` এবং 
    
      `(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab]`
    
      বা, `(x^2 + 1)/(2x) = (2a)/(3b)`
    
      বা, `3b(x^2 + 1) = 4ax` [আড়গুণন করে]
    
      বা, `3bx^2 + 3b - 4ax = 0`
    
        `:. 3bx^2 - 4ax + 3b = 0` (দেখানো হলো )

    1. Report
  2. Question:16>. `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c` হলে প্রমাণ কর যে, `x/a = y/b = z/c` 

    Answer
    মনে করি,
    
         `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c = k`
    
           :. bz - cy = ak.......(i)
    
           :. cx - az = bk.......(ii)
      
           :. ay - bx = ck........(iii)
    
        এখন  (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণকে যথাক্রমে a, b এবং 
    
        c দ্বারা গুণ করে পাই, 
          
          abz - acy = `a^2k`
    
          bcx - abz =` b^2k`
    
          acy - cbx = `c^2k`
     ---------------------------------
         0 =` k(a^2 + b^2 + c^2)` [ যোগ করে ]
    
      :. k = 0    [:. a, b, c  ধ্রবক হওয়ায় `a^2 + b^2 + c^2 != 0`]
    
      তাহলে `(bz - cy)/a = 0`  আবার `(cx - az)/b = 0`
    
             বা, bz - cy = 0            বা,  cx - az = 0
    
             বা, bz = cy                 বা,  cx = az
    
       `:. z/c = y/b......(iv)`    `:. x/a = z/c..........(v)`
    
       (iv) ও (v) নং হতে `x/a = y/b = z/c` (প্রমানিত)
    
    
       বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,
    
             `(bz - cy)/a = (cx - az)/b = (ay - bx)/c`
    
            বা,`(abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2`
    
             [প্রত্যেকটি অনুপাতের লব ও হরকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা গুণ করে]
    
            এখন উপরিউক্ত অনুপাত তিনটির লবের রাশিগুলোর সমষ্টি
    
           = abz - cay + bcx - abz + cay - bcx = 0
    
       `:.  (abz - cay)/a^2 = (bcx - abz)/b^2 = (cay - bcx)/c^2 0/(a^2 + b^2 + c^2)`
    
       [:.অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী `a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`]
    
       বা,`(abz - cay)/a^2 = 0`    বা,` (bcx - abz)/b^2 0`  
    
       বা, `(a(bz - cy))/a^2 = 0`    বা, `(b(cx - az))/b^2 = 0`
    
       বা, `(bz - cy)/a = 0`           বা,  `(cx - az)/b = 0`
    
         বা, bz - cy = 0                  বা,  cx = az = 0
    
         বা, bz = cy                        বা, cx = az
    
        `:. z/c = y/b .....(i)     :.  x/a = z/c ........(ii)`
    
       (i) নং ও (ii) হতে  `x/a = y/b = z/c`      (প্রমাণিত)

    1. Report
  3. Question:15.> `x/(b + c) = y/(c + a) = z/(a + b)` হলে, প্রমাণ কর যে, `a/(y + z - x) = b/(z + x -y) = c/(x + y - z)` 

    Answer
    মনে করি, 
    
     `x/(b + c) = y/(c + a) = z/(a + b) = k`
    
     :. x = k (b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)
    
      এখন,     y + z - x = k(c + a) + k(a + b) - k(b + c)
    
                           = k(c + a + a + b - b - c) = 2ak
    
      :. `a/(y + z - x) = a/(2ak) = 1/(2k)`
    
      আবার, z + x - y = k(a + b) + k(b + c) - k(c + a)
    
                         = k(a + b + b + c - c - a)
    
                         = 2bk
    
      :. `b/(z + x - y) = b/(2bk) = 1/(2k)`
    
      আবার,  x + y - z = k(b + c) + k(c + a) - k(a + b)
    
                           = k(b + c + c + a - a - b)
    
                           = 2ck
    
     `:. c/(x + y - z) = c/(2ck) = 1/(2k)`
    
      যেহেতু,   `a/(y + z - x), b/(z + x - y),`এবং `c/(x + y - z)`
    
      প্রত্যেকটি অনুপাত `1/(2k)` এর সমান।
    
      `:. a/(y + z - x) = b/(z + x - y) = c/(x + y - z)`

    1. Report
  4. Question:১৪.> `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = ((a + b)^2)/((b + c)^2)` হলে প্রমান কর যে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি। 

    Answer
    দেওয়া আছে,
    
       `(a^2 + b^2)/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(b + c)^2`
    
        বা, `(b + c)^2/(b^2 + c^2) = (a + b)^2/(a^2 + b^2)` [একান্তরকরণ করে]
    
        বা,`(b^2 + c^2 + 2bc)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab)/(a^2 + b^2)`
    
        বা, `(b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2)/(b^2 + c^2) = (a^2 + b^2 + 2ab - a^2 - b^2)/(a^2 + b^2)`
               [যোজন-বিয়োজন করে]
    
        বা,`(2bc)/(b^2 + c^2) = (2ab)/(a^2 + b^2)`
    
        বা, `c/(b^2 + c^2) = a/(a^2 + b^2)` [উভয় পক্ষকে 2b দ্বারা ভাগ করে]
    
        বা, `ab^2 + ac^2 = a^2c + b^2c`
    
        বা, `ac^2 - a^2c = b^2c - ab^2`
    
        বা, `ac (c - a) = b^2 (c - a)`
    
        বা, `ac = b^2`
    
        বা, `(ac)/(bc) = (b^2)/(bc)` [উভয়পক্ষকে bc দ্বারা ভাগ করে]
    
        বা, `a/b = b/c`
    
        :.  a : b = b : c
    
        :. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।

    1. Report
  5. Question:17.> `(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` এবং `a + b + c != 0`হলে, প্রমাণ কর যে, a = b = c 

    Answer
    দেওয়া আছে, 
    
     `(a + b - c)/(a + b) = (b + c - a)/(b + c) = (c + a - b)/(c + a)` ` a + b + c != 0`
    
       বা, `(a + b - c - a - b)/(a + b) = (b + c - a - b - c)/(b + c) = (c + a - b - c - a)/(c + a)`
            [বিয়োজন করে]
    
       বা, `(-c)/(a + b) = (- a)/(b + c) = (- b)/(c + a)`
    
       বা, `c/(a + b) = a/(b + c) = b/(c + a)` [(-) দ্বারা গুণ করে]
    
       বা, `(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b` [ব্যস্তকরণ করে]
    
       বা, `(a + b + c)/c = (b + c + a)/a = (c + a + b)/b` [যোজন করে]
    
       বা, `1/c = 1/a = 1/b`
    
            [(a + b + c) দ্বারা ভাগ করে যেখানে `a + b + c != 0`]
    
        বা, c = a = b [ব্যস্তকরণ]
    
        :. a = b = c (প্রমাণিত)

    1. Report
  6. Question:18.> `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)` এবং `x + y + z != 0`হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত =`1/(a + b + c)` 

    Answer
    মনে করি, 
    
      `x/(xa + yb + zc) = y(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc) = k`
    
       :. x = k(xa + yb + zc).........(i)
    
       y = k(ya + zb + xc).............(ii)
    
       z = k(za + xb + yc).............(iii)
    
       (i) নং (ii) নং এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
    
       x + y + z = k(xa + ya + za + yb + zb + xb + zc + xc + yc)
    
       বা, x + y + z = k{x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)}
    
       বা, x + y + z = k(a + b + c) (x + y + z) 
    
       বা, (x + y + z) - k(a + b + c) (x + y + z) = 0
    
       বা, (x + y + z) {(1 - k(a + b + c)} = 0
    
       :. 1 - k(a + b + c) = 0  [:. `x + y + z != 0` ]
    
        বা, 1 = k(a + b + c)
    
        `:. k = 1/(a + b + c)`
    
      :. প্রতিটি অনুপাতের মান` = 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো )
    
       
       বিকল্প সমাধান: দেওয়া আছে,
    
      `x/(xa + yb + zc) = y/(ya + zb + xc) = z/(za + xb + yc)`
    
        অনুপাতের ধর্ম হতে আমরা জানি,
    
       `a/b = b/c = c/d` ` a/b = c/b = c/d = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)`
    
        :. প্রদত্ত অনুপাত তিনটির প্রত্যেকটি নিমোক্ত অনুপাতের সমান হবে,
    
       `(x + y + z)/(xa + yb + zc + ya + zb + xc + za + xb + yc)`
                         [লব ও হরের রাশিগুলোকে যোগ করে]
    
       `= (x + y + z)/(xa + xb + xc + ya + yb + yc + za + zb + zc)`
    
       `= (x + y + z)/(x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c))`
    
       `= (x + y + z)/((x + y + z) (a + b + c))`
    
       `= 1/(a + b + c)` (দেখানো হলো)

    1. Report
  7. Question:19.> (a + b + c) p = (b + c - a) q = (c + a - b) r = (a + b + c) s হয়, তবে প্রমাণ কর যে, `1/q + 1/r + 1/s = 1/p` 

    Answer
    মনে করি,
    
     (a + b + c) p = (b + c - a) q = (c + a - b) r
    
          = (a + b - c) s = k
    
          :. p (a + b + c) = k
    
          বা, p `= k/(a + b + c)`
    
          :. `1/p = (a + b + c)/k`........(i)
    
           আবার,  q (b + c - a) = k
    
           বা, `q = k/(b + c - a)`
    
           :. `1/q = (b + c - a)/k`.........(ii)
    
            আবার, r (c + a - b) = k
    
            বা,  r = `k/(c + a - b)`
    
            :. `1/r = (c + a - b)/k`...........(iii)
    
            এবং  s (a + b - c) = k
    
            বা,  s =` k/(a + b - c)`
    
            :.` 1/s = (a + b - c)/k`..........(iv)
    
        (ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
    
        `1/q + 1/r + 1/s = (b + c - a)/k + (c + a - b)/k + (a + b - c)/k`
    
        `= 1/k (b + c - a + c + a - b + a + b - c)`
    
        `= (a + b + c)/k`
    
        `= 1/p` [(i) নং থেকে]
    
         :. `1/q + 1/r + 1/s = 1/p`  (প্রমাণিত)

    1. Report
  8. Question:২১.> যদি `p/q = a^2/b^2` `a/b = (sqrt(a + q))/(sqrt(a - q))` হয়, তবে দেখাও যে, `(p + q)/a = (p - q)/q` 

    Answer
    দেওয়া আছে, 
    
     `p/q = a^2/b^2`
    
      বা, `(p + q)/(p - q) = (a^2 + b^2)/(a^2 - b^2)` [যোজন-বিয়োজন করে].........(i) 
      
       আবার, `a/b = (sqrt(a + q))/(sqrt(a - q))`
    
       বা, `a^2/b^2 = (a + q)/(a - q)`; [বর্গ করে] 
    
       বা, `(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = (a + q + a - q)/(a + q - a + q)` [যোজন-বিয়োজন করে]
    
       বা, `(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = (2a)/(2q)`
    
        :.` (a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = a/q`..........(ii)
    
        (i) এবং (ii) নং থেকে পাই,
    
       `(p + q)/(p - q) = a/q`
    
        বা, `(p + q)/a = (p - q)/q` (দেখানো হলো)

    1. Report
  9. Question:১.> a, b, c, ও d ক্রমিক সমনাুপাতিক হলে, ক. a, b, c, d এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন কর। খ. দেখাও যে, `(a^2 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` গ. a, b, c এর ক্ষেত্রে `a^2 b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)` ` = a^3 + b^3 + c^3` সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই করে। 

    Answer
    ক. a, b, c ও d `a/b = b/c = c/d` ক্রমিক সমানুপাতিক হলে
    
     খ. দেওয়া আছে,` a/b = b/c = c/d`
    
           ধরি, `a/b = b/c = c/d = k`
    
              :. c = dk
    
             b = ck = dk.k = `dk^2`
    
           `a = bk = dk^2.k = dk^3`
    
      বামপক্ষ 
         `= (a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = ((dk^3)^3 + (dk^2)^3)/((dk^2)^3 + (dk)^3`)
    
         `= (d^3k^9 + d^3k^6)/(d^3k^6 + d^3k^3) = (d^3k^3(k^3 + 1))/(d^3k^3(k^3 + 1)) = k^3`
    
      ডানপক্ষ  
        `= (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3) = ((dk^2)^3 + (dk)^3)/((dk)^3 + d^3)`
    
        `= (d^3k^6 + d^3k^3)/(d^3k^3 + d^3) = (d^3k^3 (k^3 + 1))/(d^3 (k^3 + 1)) = k^3`
    
         :. `(a^3 + b^3)/(b^3 + c^3) = (b^3 + c^3)/(c^3 + d^3)` (দেখানো হলো)
    
     
      গ. বামপক্ষ 
          `= a^2b^2 c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3)`
    
          `= (a^2b^2c^2)/a^3 + (a^2b^2c^2)/b^3 + (a^2b^2c^2)/c^3`
    
          `= (b^2c^2)/a + (a^2c^2)/b + (a^2b^2)/c`
    
          `= (b^2c^2)/a + (ac)^2/b + (a^2b^2)/c`
    
          `= (ac.c^2)/a + (b^2)^2/b + (a^2.ac)/c` [:. ac `= b^2`]
    
          `= c^3 + b^4/b + a^3 = c^3 + b^3 + a^3`
    
          `= a^3 + b^3 + c^3`
    
            = ডানপক্ষ
    
          :. `a^2b^2c^2 (1/a^3 + 1/b^3 + 1/c^3) = a^3 + b^3 + c^3` (প্রমাণিত)

    1. Report
  10. Question:২.> a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি এবং `x = (10ab)/(a + b)` ক. a, b, c এর মান d এর মাধ্যমে প্রকাশ কর। খ. প্রমান কর যে,`(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)` `= (ab + bc + cd)^2. 8` গ. সমানুপাতের ধর্ম ব্যবহার করে দেখাও যে,` (x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = 2.8` 

    Answer
    ক. দেওয়া আছে, a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।
    
      সুতরাং `a/b = b/c = c/d`
    
      ধরি,  `a/b = b/c = c/d = k`
    
              :. c = dk
    
      এবং  ` b = ck = dk.k = dk^2`
    
      এবং  `a = bk = dk^2.k = dk^3`
    
    
      খ. ’ক’ থেকে প্রাপ্ত `c = dk, b = dk^2, a = dk^3`
    
      বামপক্ষ 
        `= (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)`
    
        `= {(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2} {(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2}`
    
        `= {d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2} {d^2k^4 + d^2k^2 + d^2}`
    
       ` = d^2k^2 (k^4 + k^2 + 1) xx d^2 (k^4 + k^2 + 1)`
    
        `= d^2 xx d^2 k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`
    
        `= d^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`
    
      ডানপক্ষ  
         `= (ab + bc + cd)^2`
    
         `= (dk^3 xx dk^2 + dk^2 xx dk + dk xx d)^2`
    
         `= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2`
    
         `= {d^2k (k^4 + k^2 + 1)}^2`
    
         `= d^4k^2 (k^4 + k^2 + 1)^2`
    
         :. `(a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + sd)^2`(প্রমাণিত)
    
      গ. দেওয়া আছে, `x = (10ab)/(a + b)`
    
                      `x/(5a) = (2b)/(a + b)`
    
                    `(x + 5a)/(x - 5a) = (2b + a + b)/(2b - a - b)` [যোজন-বিয়োজন]
    
                    `(x + 5a)/(x - 5a) = (a + 3b)/(b - a)`..........(i)
    
            আবার, `x = (10ab)/(a + b)`
    
                     `x/(5b) = (2a)/(a + b)`
    
                     `(x + 5b)/(x - 5b) = (2a + a + b)/(2a - a - b)` [যোজন-বিয়োজন]
    
                    ` (x + 5b)/(x - 5b) = (3a + b)/(a - b)`............(ii)
    
                       (i) নং ও (ii) নং যোগ করি,
    
                      `(x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = (a + 3b)/(b - a) = (a + 3b - 3a - b)/(b - a)`
    
                      `= (a + 3b)/(b - a) - (3a + b)/(b - a) = (a + 3b - 3a - b)/(b - a)`
    
                      `= (2b - 2a)/(b - a) = (2(b - a))/(b - a)`
    
                        = 2
    
                      `:. (x + 5a)/(x - 5a) + (x + 5b)/(x - 5b) = 2` (দেখানো হলো)

    1. Report
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd