বীজগণিতিক রাশি

  2. Question:`x^2 = 5 + 2sqrt(6)`

 ক. x এর মান নির্ণয় কর।

 খ. `x^2 + 1/x^2` এর মান কত?

 গ. `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)` প্রমাণ কর। 
    Answer
    ক. দেওয়া আছে, 
    `x^2 = 5 + 2sqrt(6)`

       `= 3 + 2sqrt(3) xx 2 + 2`

       `= (sqrt(3))^2 + 2.sqrt(3).sqrt(2) + (sqrt(2))^2`

       `= (sqrt(3) + sqrt(2))^2`

       `:. x = sqrt(3) + sqrt(2)`


 খ. ’ক’ হতে পাই,

  `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

 `:. 1/x = 1/(sqrt(3) + sqrt(2)`

       `= (1 (sqrt(3) - sqrt(2)))/((sqrt(3) + sqrt(2)) (sqrt(3) - sqrt(2))`

       `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2`

       `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(3 - 2)`

       `= sqrt(3) - sqrt(2)`

   `:. x + 1/x = sqrt(3) + sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(2) = 2sqrt(3)`

  প্রদত্ত রাশি
    `= x^2 + 1/x^2`

    `= (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

    `= (2sqrt(3)^2 - 2`

    `= 4.3 - 2`

      = 12 - 2

      = 10    (Ans)

  গ. ‘খ’ থেকে পাই, 

   বামপক্ষ, 
   `x + 1/x = 2sqrt(3)`

      `= (x^6 + 1)/x^3`

      `= x^6/x^3 + 1/x^3`

      `= x^3 + 1/x^3`

      `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

      `= (2sqrt(3))^3 - 3.2sqrt(3)`

      `= 8.3sqrt(3) - 6sqrt(3)`

      `= 24sqrt(3) - 6sqrt(3)`

      `= 18sqrt(3)`

        = ডানপক্ষ

  `:. (x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)`

    1. Report

  3. Question:যদি `x = 3 + 2sqrt(2)` হয় তবে

  ক. `1/x` এর মান কত?

  খ. `x^(3/2) - 1/x^(3/2)` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. প্রমাণ কর যে, `x^4 + 1/x^4 = 1154` 
    Answer
    ক.  দেওয়া আছে,

     `x = 3 + 2sqrt(2)`

   `:. 1/x = 1/(3 + 2sqrt(3))`

     `= (3 - 2sqrt(2))/(3 + 2sqrt(2)) (3 - 2sqrt(2))`

     `= (3 - 2sqrt(2))/(9 - 8)`

     `= 3 - 2sqrt(2)`

    `:. 1/x = 3 - 2sqrt(2)`  (Ans)


  খ. দেওয়া আছে, 

            `x = 3 + 2sqrt(2)`

            বা, `x = 2 + 2sqrt(2) + 1`

            বা, `x = (sqrt(2))^2 + 2.sqrt(2.1) + (1)^2`

            বা, `x = (sqrt(2 + 1))^2`

            :. `sqrt(x) = sqrt(2 + 1)............`(i)

    এখন, `1/sqrt(x) = 1/(sqrt(2 + 1)`

           `= (sqrt(2 - 1))/((sqrt(2 + 1)) (sqrt(2 - 1))`

           `= (sqrt(2 - 1))/(2 - 1)`

          `:. 1/sqrt(x) = sqrt(2 - 1)`..............(ii)


 এখন, `x^(3/2) - x^((1/3)/2)`

        `= (sqrt(x))^3 - (1/sqrt(x))^3`

        `= (sqrt(x - 1)/sqrt(x))^3 + 3.sqrt(x) . 1/sqrt(x) (sqrt(x) - 1/sqrt(x))`

        `= (sqrt(2 + 1 - sqrt(2 + 1))^3 + 3(sqrt(2 + 1 - sqrt(2 + 1))`

        `= (2)^3 + 3(2)`

        `= 8 + 6`

          = 14  (Ans)

  গ. দেওয়া আছে,

     ’ক’ থেকে পাই,  `x = 3 + 2sqrt(2)`

         `1/x = 3 - 2sqrt(2)`

    বামপক্ষ 
     `= x^4 + 1/x^4`

     `=  (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

     `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2.1/x^2`

     `= {(x + 1/x)^2 - 2.x. 1/x}^2 - 2`

     `= {(3 + 2sqrt(2 )+ 3 - 2sqrt(2))^2 - 2}^2 - 2` [x ও `1/x` এর মান বসিয়ে]

     `= {(6)^2 - 2}^2 - 2`

     `= (36 - 2)^2 - 2`

     `= (34)^2 - 2`

     `= 1156 - 2`

     `= 1154`

       = ডানপক্ষ

 `:. x^4 + 1/x^4 = 1154` (প্রমাণিত)

    1. Report

  4. Question:`x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0; x>0`

  ক. `(x - 1/x)^2` এর মান কত?

  খ.  `(x^8 + 1)/x^4` এর মান নির্ণয় কর।

   গ.  প্রমাণ কর যে, `x^5 - 1/x^5 = 82` 
    Answer
    ক. দেওয়া আছে, 

       `x^2 - 2sqrt(2) x + 1 = 0`

      বা,  `x^2 + 1 = 2sqrt(2) x`

      বা, `x^2/x + 1/x = 2sqrt(2)`  [x]

      বা, `x + 1/x = 2sqrt(2)`

      বা, `(x + 1/x)^2 = (2sqrt(2))^2`

      বা, `(x - 1/x)^2 + 4.x.1/x = 8`

       বা, `(x - 1/x)^2 + 4 = 8`

         `:. (x - 1/x)^2 = 4` (Ans)
 

  খ. প্রদত্ত রাশি` = (x^8 + 1)/x^4`

                  ` = x^8/x^4 + 1/x^4 `

                   `= x^4 + 1/x^4 `

                   `= (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

                   `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2x^2. 1/x^2`

                   `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x}^2 - 2`

                   `= (4 + 2)^2 - 2` [:. `(x - 1/x)^2 = 4`]

                   `= (6)^2 - 2 `

                    `= 36 - 2`

                      = 34  (Ans)

  গ. ‘ক’ হতে পাই,

       `(x - 1/x)^2 = 4`

     `:. x - 1/x = 2 [:. x > 0]`

   এখন,  `(x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2)`

          `= x^5 + x - 1/x - 1/x^5`

   বা,`x^5 - 1/x^5 = (x^3 - 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) - (x - 1/x)`

         `= {(x - 1/x)^3 + 3.x.1/x(x - 1/x)}`

         `= {(x - 1/x)^2 + 2.x.1/x} - (x - 1/x)`

         `= {2^3 + 3.2} {2^2 + 2} - 2`

         `= (8 + 6) (4 + 2) - 2`

         `= (14 xx 6) - 2`

         `:. x^5 - 1/x^5 = 82`   (প্রমাণিত)

    1. Report

  5. Question:কোনো ধনাত্নক সংখ্যার বর্গের মান `7 + 4sqrt(3)`

 ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করে এর মান নির্ণয় কর।

 খ. সংখ্যাটির বর্গমূলের সাথে এর গুণাত্নক বিপরীত সংখ্যার বর্গমূলের সমষ্ঠি নির্ণয় কর।

 গ. সংখ্যাটি ঘন থেকে এর গুণাত্নক বিপরীত সংখ্যার ঘন বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হবে? 
    Answer
    ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করলে,

    `x^2 = 7 + 4sqrt(3)`

     `= 4 + 4sqrt(3) + 3`

     `= 2^2 + 2.2.sqrt(3) + (sqrt(3))^2`

     `= (2 + sqrt(3))^2`

  :.` x = 2 + sqrt(3)` [:. x ধনাত্নক]   (Ans)


 খ. ‘ক’ থেকে পাই,

          `x = 2 + sqrt(3)`

         `:. 1/x = 1/(2 + sqrt(3)`

          `= (2 - sqrt(3))/((2 + sqrt(3)) (2 - sqrt(3))`

          `= (2 - sqrt(3))/(2^2 - (sqrt(3))^2`

          `= 2 - sqrt(3)`

          `= sqrt(x)`

    1. Report

  6. Question:`a = sqrt(13) + 2sqrt(3)` হলে,

  ক. `1/a` নির্ণয় কর।

  খ. ` (13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1) = sqrt(13)` প্রমাণ কর।

  গ. দেখাও যে, `a^4 = 2498 - 1/a^4` 
    Answer
    ক. দেওয়া আছে,

        `a = sqrt(13) + 2sqrt(3)`

      `:. 1/a = 1/(sqrt(13) + 2sqrt(3)`

       `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/((sqrt(13) + 2sqrt(3)) (sqrt(13) - 2sqrt(3))`

                     [লব ও হরকে `sqrt(13) - 2sqrt(3)` দ্বারা গুণ করে]

       `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/((sqrt(13)^2 - (2sqrt(3))^2`

       `= (sqrt(13) - 2sqrt(3))/(13 - 12)`

       `= sqrt(13) - 2sqrt(3)`

      `:. 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`   (Ans)


 খ. ‘ক’ হতে ` a = sqrt(13) + 2sqrt(3)` এবং` 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)`

      এখন, `(13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1`

             `= (13a)/(a(a - sqrt(13) + 1/a)`

             `= (13)/(a + 1/a - sqrt(13)`

             `= (13)/(sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3) - sqrt(13)`

             `= (13)/(sqrt(13) = sqrt(13)`

         `:. (13a)/(a^2 - sqrt(13a) + 1) = sqrt(13)`  (প্রমাণিত)

   গ.  আমরা জনি,

       `(a + 1/a)^2 = a^2 + 2.a.1/a + (1/a)^2`

      `(sqrt(13) + 2sqrt(3) + sqrt(13) - 2sqrt(3))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`

                                          `[:. a = sqrt(13) + 2sqrt(3) = 1/a = sqrt(13) - 2sqrt(3)]`

       বা, ` (2sqrt(13))^2 = a^2 + 1/a^2 + 2`

       বা, `52 = a^2 + 1/a^2 + 2`

       বা, `a^2 + 1/a^2 = 50`

        বা, `(a^2 + 1/a^2)^2 = (50)^2` [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

        বা, `(a^2)^2 + 2.a^2.1/a^2 + (1/a^2)^2 = 2500`

        বা, `a^4 + 1/a^4 + 2 = 2500`

        বা, `a^4 + 1/a^4 = 2500 - 2`

        বা, `a^4 + 1/a^4 = 2498`

         `:. a^4 = 2498 - 1/a^4`    (দেখানো হলো)

    1. Report

  7. Question:`x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)` একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হলে----

 ক. দেখাও যে, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0`

 খ. প্রমাণ কর যে, `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

 গ. `x^5 + 1/x^5` এর মান নির্ণয় কর। 
    Answer
    ক. দেওয়া আছে,

        `x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)`

        `(x^6 + 1)/x^3 = 18sqrt(3)`

       `x^6 + 1  = 18sqrt(3) x^3`

      `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0`

      `:. x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 1 = 0` (দেখানো হলো)


    খ.  ‘ক’ অংশ হতে পাই,

       `x^6 - 18sqrt(3) x^6 + 1 = 0`

       বা, `x^6 - 18sqrt(3) x^3 + 243 - 242 = 0`

       বা, `(x^3)^2 - 2.x^3.9sqrt(3) + (9sqrt(3))^2 - 242 = 0`

       বা, `(x^3 - 9sqrt(3))^2 = 242`

       বা, `(x^2 - 9sqrt(3))^2 = 121 xx 2`

        বা,  `x^3 - 9sqrt(3) = 11sqrt(2)` [বর্গ মূল করে]

         বা, `x^3 = 9sqrt(3) + 11sqrt(2)`

         বা, `x^3 = 3sqrt(3) + 9sqrt(2) + 6sqrt(3) + 2sqrt(2)`

         বা, `x^3 = (sqrt(3))^3 + 3.(sqrt(3))^2. sqrt(2) + 3.sqrt(3) . (sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^3`

         বা, `x^3 = (sqrt(3) + sqrt(2))^3`

          বা, `x = sqrt(3) + sqrt(2)`  [ঘনমূল করে]

         `:. x = sqrt(3) + sqrt(2)`   (প্রমাণিত)

  গ. ‘খ’ হতে পাই,

      `x = sqrt(3) + sqrt(2)`

    `:. 1/x = 1/(sqrt(3) + sqrt(2)`

    `= (sqrt(3) - sqrt(2))/((sqrt(3) + sqrt(2)) (sqrt(3) - sqrt(2))` 

                                 [লব ও হরকে `sqrt(3) - sqrt(2)` দ্বারা গুণ করে]

     `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2`

     `= (sqrt(3) - sqrt(2))/(3 - 2)`

     `= sqrt(3) - sqrt(2)`

     `:. x + 1/x = sqrt(3) + sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(2) = 2sqrt(3)`

     এখন, `x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                                   `= (2sqrt(3))^2 - 2`

                                     = 12 - 2

                                     = 10

     আবার, `(x^3 + 1/x^3) (x^2 + 1/x^2) = x^5 + 1/x^5 + (x + 1/x)`

               বা, `18sqrt(3) xx 10 = x^5 + 1/x^5 + 2sqrt(3) [:. x^3 + 1/x^3 = 18sqrt(3)]`

                বা, `x^5 + 1/x^5 = 180sqrt(3) - 2sqrt(3)`

               `:. x^5 + 1/x^5 = 178sqrt(3)`   (Ans)

    1. Report

  8. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

`abx^2 + acx^3 + adx^4` 
    Answer
    `abx^2 + acx^3 + adx^4`

 `= ax^2 (b + cx + dx^2)` (Ans)

    1. Report

  9. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `a^2 + ab + ac + bc` 
    Answer
    `a^2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b)`

                                 `= (a + b) (a + c)` (Ans)

    1. Report

  10. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

  `ab + a - b - 1` 
    Answer
    `ab + a - b - 1 = a(b + 1) - 1(b + 1)`

                      `= (b + 1) (a - 1)` (Ans)

    1. Report

  11. Question:উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

 `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)` 
    Answer
    `(x - y) (x + y) + (x - y) (y + z) + (x - y) (z + x)`

 `= (x - y) {(x + y) + (y + z) + (z + x)}`

 `= (x - y) (x + y + y + z + z + x)`

 `= (x - y) {2(x + y + z)}`

 `= 2(x - y) (x + y + z)`   (Ans)

    1. Report
First7891011Last
/16
Copyright © 2024. Powered by Intellect Software Ltd