Question:a + b = 3 ab = 2

   ক. `a^2 - ab + b^2` এবং 

   খ. `a^3 + b^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a + b = 3 ab = 2

   ক. প্রদত্ত রাশি `= a^2 - ab + b^2`

                    `= a^2 + b^2 - ab`

                    `= (a + b)^2 - 2ab - ab`   [সূত্র ব্যবহার করে]

                    `= (a + b)^2 - 3ab`  [মান বসিয়ে]

                    `= (3)^2 - 3.2 = 9 - 6`

                      = 3   (Ans)


  খ. প্রদত্ত রাশি `= a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)`

                   `= (3)^3 - 3.2.3`  [মান বসিয়ে]

                   `= 27 - 18 `

                    `= 9`

Question:a - b = 5 এবং ab - 36 হলে

    ক. `a^2 + ab + b^2` এবং

    খ. `a^3 - b^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, a - b = 5 ab = 36

  ক.  প্রদত্ত রাশি `= a^2 + b^2 + ab`

                 ` = (a - b)^2 + 2ab + ab`  [সূত্র প্রয়োগ করে]

                  `= (a - b)^2 + 3ab`

                  `= (5)^2 + 3.36` [মান বসিয়ে]

                  `= 25 + 108`

                    = 133    (Ans)


    খ.  প্রদত্ত রাশি` = a^3 - b^3`

                      `= (a - b)^3 + 3ab(a - b)`  [সূত্র প্রয়োগ করে]

                      `= (5)^3 + 3.36.5`  [মান বসিয়ে]

                      `= 125 + 540`

                       `= 665   `(Ans)

Question:`m + 1/m = a` হলে  `m^3 + 1/m^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `m + 1/m = a`

    বা, `(m + 1/m)^3 = a^3`

    বা, `m^3 + (1/m)^3 + 3.m.1/m (m + 1/m) = a^2`

    বা, `m^3 + 1/m^3 + 3(m + 1/m) = a^3`

     বা, `m^3 + 1/m^3 = a^3 - 3 (m + 1/m)`

      :. `m^3 + 1/m^3 = a^3 - 3a`   [মান বসিয়ে]

Question:`x + 1/x = p` হলে `x^3 - 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, `x - 1/x = p`

          বা, ` (x - 1/x)^3 = p^3` [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

          বা, `x^3 - 1/x^3 - 3.x.1/x (x - 1/x) = p^3`

          বা, `x^3 - 1/x^3 - 3(x - 1/x) = p^3`

          বা, `x^3 - 1/x^3 = p^3 + 3(x - 1/x)`

         `:. x^3 - 1/x^3 = p^3 + 3p`  (Ans)

Question:যদি `a - 1/a = 1` হয়, তবে দেখাও যে,  `a^3 - 1/a^3 = 4` 

দেওয়া আছে, `a - 1/a = 1`

    বামপক্ষ = `a^3 - 1/a^3`

           `= (a - 1/a)^3 + 3.a.1/a (a - 1/a)` [সূত্র ব্যবহার করে]

           `= (a - 1/a)^3 + 3(a - 1/a)`

           `= 1^3 + 3.1`

          ` = 1 + 3`

             = 4

             = ডানপক্ষ

       `:. a^3 - 1/a^3 = 4`

Question:যদি হয়, a + b + c = 0 তবে দেখাও যে,

 ক.` a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`

 খ.`(b + c)^2/(3ab) + (c + a)^2/(3ca) + (a + b)^2/(3ab) = 1` 

ক. দেওয়া আছে, a + b + c = 0

        বা, a + b = c

        বা, `(a + b)^3 = (-c)^3` [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

        বা, `a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = -c^3`

        বা, `a^3 + b^3 + 3ab(-c) = -c^3` [:. a + b = - c]

          `:. a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`  (দেখানো হলো)

  
  খ. দেওয়া আছে, 
           a + b + c = 0
   
       :. a + b = -c, b + c = - a

          c + a = -b

   বামপক্ষ   `= (b + c)^2/(3bc) + (c + a)^2/(3ca) + (a + b)^2/(3ab)`

              `= (-a)^2/(3bc) + (-b)^2/(3ca) + (-c)^2/(3ab)`

              `= a^2/(3bc) + b^2/(3ca) + c^2/(3ab)`

              `= (a^3 + b^3 + c^3)/(3abc)`

             `= ((a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3)/(3abc)` [সূত্র ব্যবহার করে]

             `= ((-c)^3 - 3ab(-c) + c^3)/(3abc)` [:. a + b = - c]

            `= (-c^3 + 3abc + c^3)/(3abc)`

            `= (3abc)/(3abc)`

            `= 1`

              = ডানপক্ষ

    `:. (b + c)^2/(3bc) + (c + a)^2/(3ca) + (a + b)^2/(3ab) `

      `= 1`  (দেখানো হলো)

Question:p - q = r হলে, দেখাও যে,  `p^3 - q^3 - r^3 = 3pqr` 

দেওয়া আছে,  p - q = r

     বা, `(p - q)^3 = r^3`;  [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

     বা, `p^3 - q^3 - 3pq (pq - q) = r^3`

     বা,  `p^3 - q^3 - 3pq.r = r^3`

     বা, `p^3 - q^3 - 3pq.r = r^3`;  [মান বসিয়ে]

    `:. p^3 - q^3 - r^3 = 3pqr`  (দেখানো হলো)

Question:`2x - 2/x = 3` হলে, দেখাও যে,`8(x^3 - 1/x^3) = 63` 

দেওয়া আছে, 
 
  `2x - 2/x = 3`

   বা, `2(x - 1/x) = 3`

   বা, `x - 1/x = 3/2`.........(i)

   বা, `(x - 1/x)^3 = (3/2)^3`  [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

   বা, `x^3 - 1/x^3 - 3.x.1/x (x - 1/x) = (27)/8`

   বা, `x^3 - 1/x^3 - 3.3/2 = (27)/8`   [(i) হতে ]

   বা, `x^3 - 1/x^3 = (27)/8 + 9/2`

   বা, `x^3 - 1/x^3 = (27 + 36)/8`

    বা, `x^3 - 1/x^3 = (63)/8`

  `:. 8(x^3 - 1/x^3) = 63`  (দেখানো হলো)

Question:` a = sqrt(6) + sqrt(5)`  হলে   `(a^6 - 1)/a^3` এর মান নির্ণয় কর। 

দেওয়া আছে, 

  ` a = sqrt(6) + sqrt(5)`

 `:. 1/a = 1/(sqrt(6) + sqrt(5))`  [ব্যস্তকরণ করে]

 `= (sqrt(6) - sqrt(5))/((sqrt(6) + sqrt(5)) (sqrt(6) - sqrt(5)))`

                                    [লব ও হরকে `sqrt(6) - sqrt(5)` দ্বারা গুণ করে]

  `= (sqrt(6) - sqrt(5))/((sqrt(6))^2 - (sqrt(5)^2))`

  `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(6 - 5)`

  `= sqrt(6) - sqrt(5)`

  :. `a - 1/a = sqrt(6) + sqrt(5) - (sqrt(6) - sqrt(5))`

                  `= sqrt(6) + sqrt(5) - sqrt(6) + sqrt(5)`

                  `= 2sqrt(5)`

    প্রদত্ত রাশি, `= (a^6 - 1)/a^3`

                 `= a^6/a^3 - 1/a^3`

                `= a^3 - 1/a^3`

                `= (a - 1/a)^3 + 3a.1/a (a - 1/a)`  [সূত্র প্রয়োগ করে]

                `= (a - 1/a)^3 + 3(a - 1/a)`

                `= (2sqrt(5))^3 + 3. 2sqrt(5)`

               `= 8. 5sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 40sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 46sqrt(5)`   (Ans)

Question:x + y = 3 এবং xy = 2

   ক. x - y এর মান নির্ণয় কর।

   খ. ` (x^3 + y^3) + 2(x^2 + y^2)` এর মান নির্ণয় কর।

   গ. প্রমাণ কর যে, `x^4 + y^4 = 17` 

ক. দেওয়া আছে, 

       x + y = 3 এবং xy = 2

    আমরা জানি, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

           `= (3)^2 - 4.2`  [মান বসিয়ে]

             = 9 - 8

      বা, `(x - y)^2 = 1`

     :.` x - y = +- 1`  (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, 

           x + y = 3 এবং xy = 2

     ‘ক’ হতে পাই, `x - y = +- 1`

  প্রমাণ করতে হবে যে, `x^4 + y^4 = 17`

               বামপক্ষ  =` x^4 + y^4`

                         = `(x^2)^2 + (y^2)^2`

                         = `(x^2 - y^2)^2 + 2x^2y^2`

                         =` {(x + y) (x - y)}^2 + 2(xy)^2`

                         =` {3. (+- 1)}^2 + 2.(2)^2` [মান বসিয়ে]

                        =` 9 + 8 `

                       = 17

                       = ডানপক্ষ

                 `:. x^4 + y^4 = 17`   (প্রমাণিত)