Question:যদি x + y = 3,  হয়, xy = 2 হয়, তবে উদ্দীপকের আলোকে নিম্নের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

  ক. x - y এর মান নির্ণয় কর।

  খ. `(x^3 + y^3) + 4(x^2 + y^2)` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. প্রমাণ কর যে, `x^8 + y^8 = 257` 

ক. দেওয়া আছে, x + y = 3, xy = 2 তাহলে,

    আমরা জানি, `(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy`

                          `= (3)^2 - 4.2`  [মান বসিয়ে]

                         `= 9 - 8 = 1`

              অতএব, x - y = 1   (Ans)


 খ. দেওয়া আছে, x + y = 3, xy = 2  তাহলে,

   প্রদত্ত রাশি, `= (x^3 + y^3) + 4(x^2 + y^2)`

                 `= (x + y)^3 - 3xy (x + y) + 4{(x + y)^2 - 2xy}`

                 `= (3)^3 - 3.2.3 + 4{(3)^2 - 2.2}` [মান বসিয়ে]

                `= 27 - 18 + 4(9 - 4)`

                  = 9 + 4.5

                  = 9 + 20

                 = 29   (Ans)

  গ.  দেওয়াে আছে, x + y = 3, xy = 2

       আমরা পাই, `x^8 + y^8`

                  `= (x^4)^2 + (y^4)^2`

                  `= (x^4 + y^4)^2 - 2.x^4.y^4`

                  `= {(x^2)^2 + (y^2)^2}^2 - 2x^4y^4`

                  `= {(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2}^2 - 2(xy)^4`

                  `= [{(x + y)^2 - 2xy}^2 - 2(xy)^2]^2 - 2(xy)^4`

                 `= [{(3)^2 - 2.2}^2 - 2(2)^2]^2 - 2(2)^4`  [মান বসিয়ে]

                 `= [{9 - 4}^2 - 2.4]^2 - 2.16`

                `= [{5}^2 - 8]^2 - 32`

                `= [25 - 8]^2 - 32`

                `= [17]^2 - 32`

                `= 289 - 32`

                  = 257

         :.` x^8 + y^8 = 257` (প্রমাণিত)

Question:`2^(y + 1/y + 1) = 32` একটি সমীকরণ।

 ক. `y + 1/y` এর মান নির্ণয় কর।

 খ. দেখাও যে, `(y^6 + 1)/y^3 = 52`

 গ. প্রমাণ কর যে, `1/y^4 = 194 - y^4` 

ক. দেওয়া আছে, 

          `2^(y + 1/y + 1) = 32`

        বা, `2^(y + 1/y + 1) = 2^5`

        বা,  `y + 1/y + 1 = 5`

        বা,  `y + 1/y = 5 - 1`

        `:. y + 1/y = 4`  (Ans)

 খ. ‘ক’ হতে পাই, ` y + 1/y = 4`

   বামপক্ষ = `(y^6 + 1)/y^3 = 52`

           `= (y^6 + 1)/y^3`

           `= y^6/y^3 + 1/y^3`

           `= y^3 + 1/y^3`

           `= (y + 1/y)^3 - 3.y.1/y (y + 1/y)`

           `= (4)^3 - 3.4 [:. y + 1/y = 4]`

           `= 64 - 12 = 52`

             =  ডানপক্ষ

        `:. (y^6 + 1)/y^3 = 52` (দেখানো হলো)


 গ. ‘ক’ হতে পাই, `y + 1/y = 4`

     প্রমাণ করতে হবে, `1/y^4 = 194 - y^4`

                       বা, `y + 1/y = 4`

                       বা, `(y + 1/y)^2 = (4)^2`  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] 

                       বা, `y^2 + 2.y. 1/y + (1/y)^2 = 16`

                       বা, `y^2 + 1/y^2 = 16 - 2`

                       বা, `y^2 + 1/y^2 = 14`

                       বা, `(y^2 + 1/y^2)^2 = (14)^2`  [পুনরায় উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

                       বা, `(y^2)^2 + 2.y^2. 1/y^2 + (1/y^2)^2 = 196`

                       বা, `y^2 + 2 + 1/y^4 = 196`

                        বা, `y^4 + 1/y^4 = 196 - 2`

                        বা, `y^2 + 1/y^4 = 194`

                 :. `1/y^4 = 194 - y^4`   (প্রমাণিত হলো)

Question:একটি ধনাত্নক সংখ্যার বর্গ ঐ সংখ্যার পাঁচগুণ হতে 1 কম।

 ক. ধনাত্নক সংখ্যাটি x হলে দেখাও যে, `x + 1/x = 5`

 খ. দেখাও যে, `x^3 - 1/x^3 = 24sqrt(21)`

 গ. দেখাও যে, `x^5 + 1/x^5 = 2525` 

ক. ধরি সংখ্যাটি x

    :. সংখ্যাটির বর্গ `x^2`

   প্রশ্নমতে, `x^2 = 5x - 1`

    বা, `x^2 + 1 = 5x`

     বা, `(x^2 + 1)/x = 5`

        `:. x + 1/x = 5`  (দেখানো হলো)

 

 খ. ‘ক’ হতে পাই,  `x + 1/x = 5`

  এখন, `(x + 1/x)^2 = (x + 1/x)^2 - 4.x.1/x`

                      `= 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21`

   `:. x - 1/x = sqrt(21)`

 বামপক্ষ   `= x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3.x.1/x (x - 1/x)`

                                    `= (sqrt(21))^3 + 3.sqrt(21)`

                                    `= 21sqrt(21) + 3.sqrt(21)`

                                   `= 24sqrt(21)`

                                     = ডানপক্ষ

                  :. `x^3 - 1/x^3 = 24sqrt(21)`   (দেখানো হলো)

  গ. ‘ক’ হতে পাই,

      এখন, `x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x = 5^2 - 2 = 25 - 2 = 23`

      আবার, `x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3.x. 1/x (x + 1/x)`

                 `= 5^3 - 3.5 = 125 - 15 = 110`

     এখন,  `(x^2 + 1/x^2) (x^3 + 1/x^3) = 23 xx 110`

         বা,  `x^3 + x + 1/x + 1/x^5 = 2530`

         বা,  `x^5 + 1/x^5 + (x + 1/x) = 2530`

         বা,  `x^5 + 1/x^5 = 2530 - 5`

         বা, `x^5 + 1/x^3 = 2525`   (দেখানো হলো)

Question:`x^2 - 1 = 5x` এবং `a^2 = 3 + 2sqrt(2)` হলে---

  ক. `x + 1/x` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. প্রমাণ কর যে, `(x^8 + 1)/x^4 = 727`

  গ. দেখাও যে, `(x^2 - 1/x^2) (a^3 + 1/a^3) = 50sqrt(58)` 

ক. দেওয়া আছে, `x^2 - 1 = 5x`

    বা, `(x^2 - 1)/x = 5`

 `:. x - 1/x = 5`.............(i)

 এখন, `(x + 1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 4.x.1/x = (5)^2 + 4 = 25 + 4 = 29`

    `:. x + 1/x = +-  sqrt(29) `   (Ans)


 খ. ‘ক’ হতে পাই, `x + 1/x = sqrt(29)` [প্রমানের সুবিধার্ধে শুধু ধনাত্নক মান দিয়ে]

   বামপক্ষ` = (x^8 + 1)/x^4`

            `= x^4 + 1/x^4`

            `= (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

            `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2`

            `= {(x + 1/x)^2 - 2.x.1/x}^2 - 2`

            `= {(sqrt(29))^2 - 2}^2 - 2`

            `= (29 - 2)^2 - 2`

            `= (27)^2 - 2`

            `= 729 - 2`

            `= 727`

              = ডানপক্ষ

           `:. (x^8 + 1)/x^4 = 727`  (প্রমাণিত)


  গ. 'ক' হতে পাই, `x + 1/x = sqrt(29)` এবং `x - 1/x = 5`

       দেওয়া আছে,` a^2 = 3 + 2sqrt(2)`

                     বা, `a^2 = 2 + 2sqrt(2) + 1`

                      বা, `a^2 = (sqrt(2))^2 + 2.sqrt(2.1) + (1)^2`

                       বা, `a^2 = (sqrt(2) + 1)^2`

                        বা, `a = +- (sqrt(2) + 1)`

     `:. a = sqrt(2) + 1` ........(i)   [প্রমাণের সুবিধার্থে শুধু ধনাত্নক মান নিয়ে]

    এখন, `1/a = 1/(sqrt(2) + 1)`

           `= (sqrt(2) - 1)/((sqrt(2) + 1) (sqrt(2) - 1)`

           `= (sqrt(2) - 1)/(sqrt(2))^2 - (1)^2`

           `= (sqrt(2) - 1)/(2 - 1)`

           `= sqrt(2) - 1`

        `:. a + 1/a = sqrt(2) + 1 + sqrt(2) - 1 = 2sqrt(2)`

  বামপক্ষ `= (x^2 - 1/x^2) (a^3 + 1/a^3)`

           `= {(x + 1/x) (x - 1/x)} {(a + 1/a)^3 - 3.a.1/a (a + 1/a)}`

           `= (sqrt(29) xx 5) {(2sqrt(2))^3 - 3 xx 2sqrt(2)}`

           `= 5sqrt(29) xx (16sqrt(2) - 6sqrt(2))`

           `= 5sqrt(29) xx 10sqrt(2)`

           `= 50sqrt(58)`

             = ডানপক্ষ

        `:. (x^2 - 1/x^2) (a^3 + 1/a^3) = 50sqrt(58)`  (দেখানো হলো)

Question:`x^2 - 2sqrt(42) - 13 = 0; x > 0`

  ক. দেখাও যে, `x = sqrt(7) + sqrt(6)`

  খ. প্রমাণ কর যে, `x^3 + 1/x^3 = 50sqrt(7)`

  গ. `(x^5 - 1/x^5)` এর মান নির্ণয় কর। 

ক.  দেওয়া আছে, `x^2 - 2sqrt(42) - 13 = 0`

            বা, `x^2 = 13 + 2sqrt(42)`

             বা, `x^2 = 7 + 2sqrt(42) + 6`

             বা, `x^2 = (sqrt(7))^2 + 2.sqrt(7).sqrt(6) + (sqrt(6))^2`

             বা,  `x^2 = (sqrt(7) + sqrt(6))^2`

             `:. x = sqrt(7) + sqrt(6)`  (দেখানো হলো)

 খ. এখন, `1/x = 1/(sqrt(7) + sqrt(6)`

        বা, `1/x = (1. sqrt(7) - sqrt(6))/((sqrt(7) + sqrt(6)) (sqrt(7) - sqrt(6))`

        বা, `1/x = (sqrt(7) - sqrt(6))/((sqrt(7))^2 - (sqrt(6))^2`

         বা, `1/x = (sqrt(7) - sqrt(6))/(7 - 6)`

         বা, `1/x = sqrt(7) - sqrt(6)`

         `:. x + 1/x = sqrt(7) + sqrt(6) + sqrt(7) - sqrt(6)`

        `:. x + 1/x = 2sqrt(7)`

      বামপক্ষ `= x^3 + 1/x^3`

               `= (x + 1/x)^3 - 3.2sqrt(7)`  [মান বসিয়ে]

              `= 56sqrt(7) - 6sqrt(7)`

             `= 50sqrt(7)`

               = ডানপক্ষ

           `:. x^3 + 1/x^3 = 50sqrt(7)`

 গ. এখন, `x - 1/x = (sqrt(7) + sqrt(6)) - (sqrt(7) - sqrt(6))`

                         `=  sqrt(7) + sqrt(6) - sqrt(7) + sqrt(6) = 2sqrt(6)`

               `:. x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                                         `= (2sqrt(7))^2 - 2`  [মান বসিয়ে]

                                         `= 28 - 2 = 26`

      এখন,   `x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3.x.1/x (x - 1/x)`

                                    `= (2sqrt(6))^3 + 3.2sqrt(6)`  [মান বসিয়ে]

                                   ` = 48sqrt(6) + 6sqrt(6) = 54sqrt(6)`

                               `:.  (x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3) = 26 xx 54sqrt(6)`

                                 বা, `x^5 - 1/x + x - 1/x^3 = 1404sqrt(6)`

                                 বা, `(x^5 + 1/x^5) + (x - 1/x) = 1404sqrt(6)`

                                  বা, `x^5 - 1/x^5 + 2sqrt(6) = 1404sqrt(6)`

                                  বা, `x^5 - 1/x^5 + 2sqrt(6) = 1404sqrt(6)`

                                  বা, `x^5 - 1/x^5 = 1404sqrt(6) - 2sqrt(6) = 1402sqrt(6)`

                                   `:. x^5 - 1/x^5 = 1402sqrt(6)`   (Ans)

Question:`x^2 - 2sqrt(30) - 11 = 0, x > 0`

   ক. x এর মান নির্ণয় কর।

   খ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 42sqrt(6)`

   গ. `(x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3)` এর মান নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে, `x^2 - 2sqrt(30) - 11 = 0, x > 0`

             বা, `x^2 = 2sqrt(30) + 11`

             বা, `x^2 = 6 + 2sqrt(30) + 5`

             বা, `x^2 = (sqrt(6))^2 + 2.sqrt(6).sqrt(5) + (sqrt(5))^2`

             বা, `x^2 = (sqrt(6) + sqrt(5))^2`

               `:. x = sqrt(6) + sqrt(5)`


 খ. যেহেতু `x = sqrt(6) + sqrt(5)`

          `:. 1/x = 1/(sqrt(6) + sqrt(5))`

        `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(sqrt(6) - sqrt(5)) (sqrt(6) + sqrt(5))` 
                                                       [লব ও হরকে `(sqrt(6) - sqrt(5))` দ্বার গুণ করে ]

       `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(sqrt(6)^2 - (sqrt(5))^2 `

        `= (sqrt(6) - sqrt(5))/(6 - 5) = sqrt(6) - sqrt(5)`

        `:. x + 1/x = 2sqrt(6)`

    বামপক্ষ  `= x^3 + 1/x^3`

              `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

              `= (2sqrt(6))^3 - 3.2sqrt(6)`

             `= 48sqrt(6) - 6sqrt(6)`

             `= 42sqrt(6)`

               = ডানপক্ষ

   `:. x^3 + 1/x^3 = 42sqrt(6)` (দেখানো হলো)

   
  গ. এখন, `x - 1/x = 2sqrt(5)`

      `:. x^2 + 1/x^2 = (x - 1/x)^2 + 2.x.1/x = (2sqrt(5))^2 + 2 = 20 + 2 = 22`

       এবং `x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3.x.1/x (x - 1/x)`

              `= (2sqrt(5)^3 + 3.2sqrt(5)`

              `= 40sqrt(5) + 6sqrt(5)`

               `= 46sqrt(5)`

       অতএব `(x^2 + 1/x^2) (x^3 - 1/x^3)`

                `= 22 xx 46sqrt(5) = 1012sqrt(5)`  (Ans)

Question:a + b = 5 এবং ab = 6 হলে,

  ক. প্রমাণ কর যে, `(a - b)^2 = 1`

  খ. `a^3 + b^3 + 4(a - b)^2` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `3(a^2 + b^2) = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2` 

ক. দেওয়া আছে, a + b = 5 ab = 6

    এখন, বামপক্ষ `= (a - b)^2`

                     `= (a + b)^2 - 4ab`

                     `= 5^2 - 4.6`  [মান বসিয়ে]

                     `= 25 - 24`

                     `= 1`

                       =  ডানপক্ষ

      `:. (a - b)^2 = 1`   (প্রমাণিত)

 খ.   প্রদত্ত রাশি, `a^3 + b^3 + 4 (a - b)^2`

                `= {(a + b)^3 - 3ab (a + b)} + 4.1` ['ক' হতে পাই]

                `= {5^2 - 3.6.5} + 4` [মান বসিয়ে]

                `= {(125 - 90} + 4`

                `= 35 + 4`

                `= 39`  (Ans)


  গ. বামপক্ষ` = 3 (a^2 + b^2)`

               `= 3/2. 2(a^2 + b^2)`

               `= 3/2 {(a + b)^2 + (a - b)^2}`

               `= 3/2 {5^2 + 1} = 3/2 {25 + 1} = 3/2.26 = 39`

              ` = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2`  [’খ’ হতে পাই]

                 = ডানপক্ষ

       `:. 3 (a^2 + b^2) = a^3 + b^3 + 4(a - b)^2`  (দেখানো হলো)

Question:`x = sqrt(5) + sqrt(3)`

 ক. `1/x` এর মান কত?

 খ. `x^3 + 1/x^3` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `4(x^2 - 1/x^2)`  এর মান `x^3 + 1/x^3`

         এর মানের চেয়ে বড়। 

ক. দেওয়া আছে, `x = sqrt(5) + sqrt(3)`

    বা, `1/x = 1/(sqrt(5) + sqrt(3))`  [ব্যস্তকরণ করে]

    `= (1 (sqrt(5) - sqrt(3)))/((sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) - sqrt(3))`

                            [লব ও হরকে `sqrt(5) - sqrt(3)` দ্বারা গুণ করে ]

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/(sqrt(5))^2 - (sqrt(3))^2 = (sqrt(5) - sqrt(3))/(5 - 3)`

    `= (sqrt(5) - sqrt(3))/2`  (Ans)


  খ. `x + 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) + (sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) + sqrt(5) - sqrt(3))/2`

       `= (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`

   এখন, `x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x (x + 1/x)`

              `= (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)`

              `= ((3sqrt(5) + sqrt(3)/2)^3 - 3((3sqrt(5) + sqrt(3))/2)`

              `= (4.22)^3 - 3 xx 4.22`  [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

              `= 75.151 - 12.66`

              `= 62.491`   (Ans)

   গ.   `x + 1/x = (3sqrt(5) + sqrt(3))/2`  [’খ’ হতে পাই,]

      এবং  `x - 1/x = sqrt(5) + sqrt(3) - ((sqrt(5) - sqrt(3))/2)`

        `= (2sqrt(5) + 2sqrt(3) - sqrt(5) + sqrt(3))/2 = (sqrt(5) + 3sqrt(3))/2`

      `:. 4(x^2 - 1/x^2) = 4(x + 1/x) (x - 1/x)`

                                    `= 4. ((3sqrt(5) + sqrt(3))/2) ((sqrt(5) + 3sqrt(3))/2)`

                                    `= (3sqrt(5) + sqrt(3)) (sqrt(5) + 3sqrt(3))`

                                     `= 15 + sqrt(15) + 9sqrt(15) + 9`

                                     `= 24 + 10sqrt(15)`

                                     `= 24 + 10(3.873)`

                                     `= 24 + 38.73`    [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

                                       = 62.73

        `:. 4(x^2 - 1/x^2)` এর মান  `x^3 + 1/x^3` এর চেয়ে বড়।

Question:`x + 1/x = 2sqrt(2)`

  ক. `x^2 + 1/x^2` এর মান নির্ণয় কর।

  খ. `x^4 + 1/x^4` এর মান নির্ণয় কর।

  গ. দেখাও যে, `x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)` 

ক. দেওয়া আছে, `x + 1/x = 2sqrt(2)`

 `:. x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2.x.1/x`

                        `= (2sqrt(2))^2 - 2 = 4.2 - 2 = 8 - 2`

                        `= 6` (Ans)


  খ. এখন, `x^4 + 1/x^4 = (x^2)^2 + (1/x^2)^2`

                           `= (x^2 + 1/x^2)^2 - 2.x^2. 1/x^2`

                          `= {(x + 1/x)^2 - 2.x.1/x}^2 - 2`

                          `= {(2sqrt(2))^2 - 2}^2 - 2`

                          `= (8 - 2)^2 - 2`

                          `= 6^2 - 2 = 36 - 2`

                          `= 34`  (Ans)

 গ. বামপক্ষ`= x^3 + 1/x^3`

         `= (x + 1/x)^3 - 3.x.1/x. (x + 1/x)`

         `= (2sqrt(2))^3 - 3(2sqrt(2))`

         `= 2^3.(sqrt(2))^3 - 6sqrt(2)`

         `= 8.2sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 16sqrt(2) - 6sqrt(2)`

         `= 10sqrt(2)`

          = ডানপক্ষ

        :.` x^3 + 1/x^3 = 10sqrt(2)`  (দেখানো হলো)

Question:`a + b = sqrt(7)` এবং `a - b = sqrt(5)` হলে

  ক. `a^2 + b^2` এর মান কত?

  খ. প্রমাণ কর যে, `8ab(a^2 + b^2) = 24`

  গ. `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)` এর মান নির্ণয় কর। 

ক. দেওয়া আছে, `a + b = sqrt(7), a - b = sqrt(5)`

 আমরা জানি,`2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2`

                                   `= (sqrt(7))^2 + (sqrt(5))^2`

                                   `= 7 + 5 = 12`

       `:. a^2 + b^2 = 6`   (Ans)


 খ. `a^2 + b^2 = 6`  [(ক) হতে পাই]

     এখন, `8ab(a^2 + b^2) = 4ab.2(a^2 + b^2)`

                                    `= {(a + b)^2 - (a - b)^2} 2.6`

                                   `= {(sqrt(7))^2 - (sqrt(5))^2}.12`

                                   `= (7 - 5).12 = 24`

                              `:. 8ab (a^2 + b^2) = 24`


  গ. দেওয়া আছে,

     `a + b = sqrt(7)`............(i)

      `a - b = sqrt(5)`.............(ii)

    `:. (a + b) (a - b) = sqrt(7) xx sqrt(5)`

      বা, `a^2 - b^2 = sqrt(35)`

     সমীকরণ  (i) ও  (ii) যোগ করে পাই,

    `a + b + a - b = sqrt(7) + sqrt(5)`

     বা, `2a = sqrt(7) + sqrt(5)`

    `:. a = (sqrt(7) + sqrt(5))/2`

   এখন, `(a - b)^3 + (a + b)^3 + 6a(a^2 - b^2)`

     `= (sqrt(5))^3 + (sqrt(7))^3 + 6((sqrt(7) + sqrt(5))/2) (sqrt(35))`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 3sqrt(245) + 3sqrt(175)`

     `= 5sqrt(5) + 7sqrt(7) + 21sqrt(5) + 15sqrt(7)`

     `= 22sqrt(7) + 26sqrt(5)`   (Ans)